аспирант, 153025 Россия, г. Иваново, ул. Ермака, 39
аспирант, Ermak str., 39, Ivanovo, 153025, Russia
Пусть K — произвольный корневой класс групп (это означает, что K содержит хотя бы одну неединичную группу, замкнут относительно взятия подгрупп и прямых произведений конечного числа сомножителей и удовлетворяет условию Грюнберга: если 1 ≤ Z ≤ Y ≤ X — субнормальный ряд группы X такой, что фактор-группы X/Y и Y /Z принадлежат классу K, то в груп- пе X существует нормальная подгруппа T такая, что T ⊆ Z и фактор-группа X/T принадлежит классу K). В данной статье исследуются условия ап- проксимируемости классом K (K-аппроксимируемости) частного случая общей конструкции HNN-расширения, когда связанные подгруппы совпадают. Пусть G = (B, t; t¯¹Ht = H, φ). В случае, когда B ∈ K и подгруппа H нормальна в группе B, автором получено достаточное условие K-аппроксимируемости группы G, которое становится и необходимым, если класс K замкнут относительно факторизации (т. е. взятия гомоморфных образов). Также установлены критерии K-аппроксимируемости группы G при условии, что класс K замкнут относительно факторизации, группа B K-аппроксимируема, а подгруппа H нормальна в группе B и удовлетворяет хотя бы одному из следующих ограничений: группа AutG(H) всех автоморфизмов подгруппы H, представляющих собой ограничения на эту подгруппу всевозможных внутренних автоморфизмов группы G, является абелевой; группа AutG(H) конечна; автоморфизм φ совпадает с ограничением на подгруппу H некоторого внутреннего автоморфизма группы B; подгруппа H конечна; подгруппа H является бесконечной циклической; подгруппа H имеет конечный ранг Гирша–Зайцева (т. е. обладает конечным субнормальным рядом, каждый фактор которого является либо периодической, либо бесконечной циклической группой). Кроме того, найдено достаточное условие K-аппроксимируемости группы G в случае, когда группа B K-аппроксимируема, а подгруппа H является ее ретрактом (в этом утверждении класс K не обязан быть замкнутым относительно факторизации).
Let K be an arbitrary root class of groups. This means that K contains at least one non-unit group, is closed under taking subgroups and direct products of a finite number of factors and satisfies the Gruenberg condition: if 1 ≤ Z ≤ Y ≤ X is a subnormal series of a group X such that X/Y ∈ K and Y/Z ∈ K, there exists a normal subgroup T of X such that T ⊆ Z and X/T ∈ K. In this paper we study the property ‘to be residually a K-group’ of an HNN-extension in the case when its associated subgroups coincide. Let G = (B, t; t¯¹Ht = H, φ). We get a sufficient condition for G to be residually a K-group in the case when B ∈ K and H is normal in B, which turns out to be necessary if K is closed under factorization. We also obtain criteria for G to be residually a K-group provided that K is closed under factorization, B is residually a K-group, H is normal in B and satisfies at least one of the following conditions: AutG(H) is abelian (we denote by AutG(H) the group of all automorphisms of H which are the restrictions on this subgroup of all inner automorphisms of G); AutG(H) is finite; φ coincides with the restriction on H of an inner automorphism of B; H is finite; H is infinite cyclic; H is of finite Hirsh-Zaitsev rank (i. e. H possesses a finite subnormal series all factors of which are either periodic or infinite cyclic). Besides, we find a sufficient condition for G to be residually a K-group in the case when B is residually a K-group and H is a retract of B (K is not necessarily closed under the factorization in this statement).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.