maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-3-5-34mais-107Research ArticleОригинальные статьиArticlesМетод центральных многообразий в задаче асимптотического интегрирования функционально-дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. ICenter Manifold Method in the Asymptotic Integration Problem for Functional Differential Equations with Oscillatory Decreasing Coefficients. IНестеровПавел НиколаевичNesterovP. N.

канд. физ.-мат. наук, доцент, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

канд. физ.-мат. наук, доцент, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

nesterov.pn@gmail.comЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201420062014213534Copyright © Нестеров П.Н., 20142014Нестеров П.Н.Nesterov P.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/107

В работе исследуется задача асимптотического интегрирования некоторого класса линейных систем функционально-дифференциальных уравнений в окрестности бесконечности. Изучается вопрос о построении асимптотики решений указанных систем в критическом случае. С помощью идеологии метода центральных многообразий нами показано существование так называемого критического многообразия, положительно инвариантного относительно траекторий исходной системы. Установлено, что асимптотика решений системы на данном многообразии описывает в главном асимптотику всех решений исходной системы. В первой части работы предложен алгоритм приближенного построения критического многообразия. Кроме того, обоснована однозначная разрешимость возникающих в ходе реализации этой процедуры вспомогательных алгебраических задач.

In this paper, we study the asymptotic integration problem in the neighborhood of infinity for a certain class of linear functional differential systems. We construct the asymptotics for solutions of the considered systems in the critical case. Using the ideas of the center manifold method, we show the existence of the so-called critical manifold that is positively invariant for trajectories of the initial system. We establish that the asymptotics for solutions of the system on this manifold defines the asymptotics for all solutions of the initial system. In the first part of this work, we propose an algorithm for an approximate construction of the critical manifold. Moreover, we establish the unique solvability for auxiliary algebraic problems that occur within the algorithm implementation.

функционально-дифференциальные уравнениякритическое многообразиеасимптотическое интегрированиеfunctional-differential equationscritical manifoldasymptotic integrationгрант Президента РФ, проектная часть государственного задания в сфере научной деятельностиReferencesБеллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. (Bellman R., Cooke K.L. Differential-Difference equations. New York: Academic Press, 1963.)Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. (Bellman R., Cooke K.L. Differential-Difference equations. New York: Academic Press, 1963.)Нестеров П.Н. Асимптотическое интегрирование одного класса систем функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2013. №1(3). С. 137–145. [Nesterov P.N. Asimptoticheskoe integrirovanie odnogo klassa sistem funktsional’no-differentsial’nykh uravneniy // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta imeni N.I. Lobachevskogo. 2013. №1(3). P. 137–145 (in Russian)].Нестеров П.Н. Асимптотическое интегрирование одного класса систем функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2013. №1(3). С. 137–145. [Nesterov P.N. Asimptoticheskoe integrirovanie odnogo klassa sistem funktsional’no-differentsial’nykh uravneniy // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta imeni N.I. Lobachevskogo. 2013. №1(3). P. 137–145 (in Russian)].Нестеров П.Н. Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, №6. С. 731–742. (English transl.: Nesterov P.N. Averaging method in the asymptotic integration problem for systems with oscillatory-decreasing coefficients // Differ. Equ. 2007. V. 43, No. 6. P. 745–756.)Нестеров П.Н. Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, №6. С. 731–742. (English transl.: Nesterov P.N. Averaging method in the asymptotic integration problem for systems with oscillatory-decreasing coefficients // Differ. Equ. 2007. V. 43, No. 6. P. 745–756.)Нестеров П.Н. Об асимптотике критических решений систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, №3. C. 21–41. (English transl.: Nesterov P.N. On asymptotics for critical solutions of systems of differential equations with oscillatory decreasing coefficients // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, No. 7. P. 500–515.)Нестеров П.Н. Об асимптотике критических решений систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, №3. C. 21–41. (English transl.: Nesterov P.N. On asymptotics for critical solutions of systems of differential equations with oscillatory decreasing coefficients // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, No. 7. P. 500–515.)Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. (Hale J.K. Theory of functional differential equations. New York: Springer-Verlag, 1977.)Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. (Hale J.K. Theory of functional differential equations. New York: Springer-Verlag, 1977.)Ai S. Asymptotic integration of delay differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1992. Vol. 165. P. 71–101.Ai S. Asymptotic integration of delay differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1992. Vol. 165. P. 71–101.Ait Babram M., Hbid M.L., Arino O. Approximation scheme of a center manifold for functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 1997. Vol. 213. P. 554–572.Ait Babram M., Hbid M.L., Arino O. Approximation scheme of a center manifold for functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 1997. Vol. 213. P. 554–572.Arino O., Gyõri I. Asymptotic integration of delay differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1989. Vol. 138. P. 311–327.Arino O., Gyõri I. Asymptotic integration of delay differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1989. Vol. 138. P. 311–327.Arino O., Gyõri I., Pituk M. Asymptotically diagonal delay differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 204. P. 701–728.Arino O., Gyõri I., Pituk M. Asymptotically diagonal delay differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 204. P. 701–728.Arino O., Hbid M.L., Ait Dads E. (Eds.) Delay differential equations and applications. Dordrecht: Springer, 2006.Arino O., Hbid M.L., Ait Dads E. (Eds.) Delay differential equations and applications. Dordrecht: Springer, 2006.Balachandran B., Kalm´ar-Nagy T., Gilsinn D.E. (Eds.) Delay differential equations: recent advances and new directions. New York: Springer, 2009.Balachandran B., Kalm´ar-Nagy T., Gilsinn D.E. (Eds.) Delay differential equations: recent advances and new directions. New York: Springer, 2009.Gyõri I., Pituk M. L²-Perturbation of a linear delay differential equation // J. Math. Anal. Appl. 1995. Vol. 195. P. 415–427.Gyõri I., Pituk M. L²-Perturbation of a linear delay differential equation // J. Math. Anal. Appl. 1995. Vol. 195. P. 415–427.Carr J. Applications of centre manifold theory. New York: Springer-Verlag, 1981.Carr J. Applications of centre manifold theory. New York: Springer-Verlag, 1981.Cassel J.S., Hou Z. Lp-Perturbation of linear functional differential equations // Monatsh. Math. 1999. Vol. 128. P. 211–226.Cassel J.S., Hou Z. Lp-Perturbation of linear functional differential equations // Monatsh. Math. 1999. Vol. 128. P. 211–226.Castillo S., Pinto M. Levinson theorem for functional differential systems // Nonlinear Anal. 2001. Vol. 47. P. 3963–3975.Castillo S., Pinto M. Levinson theorem for functional differential systems // Nonlinear Anal. 2001. Vol. 47. P. 3963–3975.Castillo S., Pinto M. An asymptotic theory for nonlinear functional differential equations // Comput. Math. Appl. 2002. Vol. 44. P. 763–775.Castillo S., Pinto M. An asymptotic theory for nonlinear functional differential equations // Comput. Math. Appl. 2002. Vol. 44. P. 763–775.Hale J., Verduyn Lunel S.M. Introduction to functional differential equations. Appl. Math. Sciences 99. New York: Springer-Verlag, 1993.Hale J., Verduyn Lunel S.M. Introduction to functional differential equations. Appl. Math. Sciences 99. New York: Springer-Verlag, 1993.Kolmanovskii V., Myshkis A. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.Kolmanovskii V., Myshkis A. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.Nesterov P. Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients // Monatsh. Math. 2013. Vol. 171, No. 2. P. 217–240.Nesterov P. Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients // Monatsh. Math. 2013. Vol. 171, No. 2. P. 217–240.Pituk M. The Hartman–Wintner theorem for functional differential equations // J. Differential Equations. 1999. Vol. 155. P. 1–16.Pituk M. The Hartman–Wintner theorem for functional differential equations // J. Differential Equations. 1999. Vol. 155. P. 1–16.Pituk M. A Perron type theorem for functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 2006. Vol. 316. P. 24–41.Pituk M. A Perron type theorem for functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 2006. Vol. 316. P. 24–41.Pituk M. Asymptotic behavior and oscillation of functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 2006. Vol. 322. P. 1140–1158.Pituk M. Asymptotic behavior and oscillation of functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 2006. Vol. 322. P. 1140–1158.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.