maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-3-91-105mais-112Research ArticleОригинальные статьиArticlesОб одной оптимальной кубатурной формуле для классов функций, задаваемых модулями непрерывностиOn an Optimal Quadrature Formula for Classes of Functions Given by Modulus of ContinuityШабозовМирганд ШабозовичShabozovM. Sh.

доктор физ.-мат. наук, академик АН Республики Таджикистан, профессор, 734063, Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/4

доктор физ.-мат. наук, академик АН Республики Таджикистан, профессор, A˘ıni Street, 299/4, Dushanbe city, 734063, Tajikistan

shabozov@mail.ruИнститут математики АН Республики Таджикистан им. А. ДжураеваТаджикистанA. Juraev Institute of mathematics, Academy of Sciences of the Republic TajikistanTajikistan20142006201421391105Copyright © Шабозов М.Ш., 20142014Шабозов М.Ш.Shabozov M.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/112

Рассматривается задача минимизации погрешности кубатурной формулы на классах функций, задаваемых модулями непрерывности. Для кубатурных формул с фиксированными узлами на границе прямоугольной области и решетчатым расположением узлов дается точное решение задачи на широких классах функций двух переменных. Ранее Н.П. Корнейчуком было доказано, что если граничные узлы прямоугольной решетки Qk,i  = { xk-1 ≤ x ≤ xk , yi-1 ≤ y ≤ yi} не включать в число узлов кубатурной формулы

Z Z (Q) f(x, y)dxdy = Xm k=1 Xn i=1 pkif(xk, yi) + Rmn(f), (1)

то среди всех кубатурных формул вида (1) наилучшей для классов функций Hω1,ω2 (Q), Hω1p1 (Q) и Hω1p2(Q) является формула средних прямоугольников.

В работе доказано, что если в число узлов формулы (1) добавить все граничные узлы (такие формулы называются формулами типа Маркова), то для указанных классов функций наилучшей является формула трапеций. Вычислены точные оценки погрешности для всех классов функций.

The problem of minimizing the error of a cubature formula on the classes of functions given by modulus of continuity for cubature formulas with fixed nodes on the boundary of gird rectangular localization domain of nodes is considered. We give the exact solution of this problem on the wide classes of functions of two variables. It was previously shown by N.P. Korneychuk that if the boundary nodes of a rectangular lattice Qk,i = { xk-1 ≤ x ≤ xk , yi-1 ≤ y ≤ yi} are not included in the number of nodes cubature formula

Z Z (Q) f(x, y)dxdy = Xm k=1 Xn i=1 pkif(xk, yi) + Rmn(f), (1)

the formula of average rectangles is the best for classes of functions ω1,ω2 (Q), Hω1p1 (Q) and Hω1p2(Q) among all quadrature formulas of the form (1). It is proved that if into the number of nodes in the formula (1) all boundary nodes (such formulas are called Markov-type) are added, then for these classes of functions the best formula is trapezoids. The exact errors for all classes of functions are calculated.

оптимальные формулыэкстремальная задачаформула типа Марковамодуль непрерывностиузлы и коэффициентыоценка остаткаoptimal formulasextremal problemformula of Markov typemodulus of continuitynotes and coefficientserror estimateReferencesНикольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988. (English transl.: Nikol’skiĭ S.M. Quadrature formulas. Moskva: Nauka, 1988.)Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988. (English transl.: Nikol’skiĭ S.M. Quadrature formulas. Moskva: Nauka, 1988.)Корнейчук Н.П. Наилучшие кубатурные формулы для классов функций многих переменных // Математические заметки. 1968. Т. 3, №5. С. 565–576. (English transl.: Korneĭchuk N.P. Best cubature formulas for certain classes of functions of several variables // Matematicheskie Zametki. 1968. V. 3, №5. P. 565–576.)Корнейчук Н.П. Наилучшие кубатурные формулы для классов функций многих переменных // Математические заметки. 1968. Т. 3, №5. С. 565–576. (English transl.: Korneĭchuk N.P. Best cubature formulas for certain classes of functions of several variables // Matematicheskie Zametki. 1968. V. 3, №5. P. 565–576.)Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. (Korneĭchuk N.P. Exact Constants in Approximation Theory. Moskva: Nauka, 1987; English transl. in Encyclopedia Math. Appl., V. 38, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991.)Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. (Korneĭchuk N.P. Exact Constants in Approximation Theory. Moskva: Nauka, 1987; English transl. in Encyclopedia Math. Appl., V. 38, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.