maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-3-121-128mais-114Research ArticleОригинальные статьиArticlesВычисление ляпуновской величины для логистического уравнения с быстро осциллирующим запаздываниемCalculating Lyapunov Value for the Logistic Equation with Rapidly Oscillating DelayБыковаНадежда ДмитриевнаBykovaN. D.

аспирант, 115409, Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31;

ассистент, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

аспирант, Kashirskoye shosse 31, Moscow, 115409, Russia;

ассистент, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

n.bykova90@gmail.comНациональный исследовательский ядерный университет «МИФИ»; Ярославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияNational Research Nuclear University MEPhI; P.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201420062014213121128Copyright © Быкова Н.Д., 20142014Быкова Н.Д.Bykova N.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/114

Рассматривается логистическое уравнение с быстро осциллирующим периодическим по времени кусочно-постоянным или кусочно-линейным запаздыванием. Показано, что в первом случае усредненным уравнением является логистическое уравнение с двумя запаздываниями, а во втором — логистическое уравнение с распределенным запаздыванием. Получен критерий устойчивости состояния равновесия в каждом из случаев. Рассмотрен вопрос о динамических свойствах исходного уравнения при условии, когда в усредненном уравнении реализуется критический случай в задаче об устойчивости стационара. Установлено, что локальная динамика определяется ляпуновской величиной, знак которой зависит от параметров задачи.

We consider the local dynamic of the logistic equation with rapidly oscillating timeperiodic piecewise constant or piecewise linear coefficient of delay. It was shown that the averaged equation is a logistic equation with two delays in first case and logistic equation with distributed delay in second case. The criterion of equilibrium point stability was obtained in both cases. Dynamical properties of the original equation were considered in the critical case of equilibrium point of averaged equation stability problem. It was shown, that local dynamic in the critical case is defined by Lyapunov value whose sign depends on the parameters of the problem.

усреднениеустойчивостьнелинейная динамикаметод нормальных формaveragingstabilitynonlinear dynamicsnormal formбазовая часть государственного задания на НИР ЯрГУReferencesWu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. SpringerVerlag, 1996.Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. SpringerVerlag, 1996.Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958. 408 с. (English transl.: Bogoliubov N.N., Mitropolsky Y.A. Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. New York, Gordon and Breach, 1961. 573 p.)Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958. 408 с. (English transl.: Bogoliubov N.N., Mitropolsky Y.A. Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. New York, Gordon and Breach, 1961. 573 p.)Колесов Ю.С., Колесов В.С., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1979. 162 с. [Kolesov Yu.S., Kolesov V.S., Fedik I.I. Avtokolebaniya v sistemakh s raspredelennymi parametrami. Kiev: Naukova dumka, 1979. 162 s. (in Russian)].Колесов Ю.С., Колесов В.С., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1979. 162 с. [Kolesov Yu.S., Kolesov V.S., Fedik I.I. Avtokolebaniya v sistemakh s raspredelennymi parametrami. Kiev: Naukova dumka, 1979. 162 s. (in Russian)].Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1974. 10. № 10. С. 1778–1788. [Kolesov Yu.S., Mayorov V.V. Novyy metod issledovaniya ustoychivosti resheniy lineynykh differentsial’nykh uravneniy s blizkimi k postoyannym pochti periodicheskimi koeffitsientami // Differentsialnye uravneniya. 1974. 10. № 10. S. 1778–1788 (in Russian)].Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1974. 10. № 10. С. 1778–1788. [Kolesov Yu.S., Mayorov V.V. Novyy metod issledovaniya ustoychivosti resheniy lineynykh differentsial’nykh uravneniy s blizkimi k postoyannym pochti periodicheskimi koeffitsientami // Differentsialnye uravneniya. 1974. 10. № 10. S. 1778–1788 (in Russian)].Кащенко С.А., Майоров В.В. Алгоритм исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с последействием и быстро осциллирующими коэффициентами // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1977. С. 70–81. [Kashchenko S.A., Mayorov V.V. Algoritm issledovaniya ustoychivosti resheniy lineynykh differentsialnykh uravneniy s posledeystviem i bystro ostsilliruyushchimi koeffitsientami // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1977. S. 70–81. (in Russian)].Кащенко С.А., Майоров В.В. Алгоритм исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с последействием и быстро осциллирующими коэффициентами // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1977. С. 70–81. [Kashchenko S.A., Mayorov V.V. Algoritm issledovaniya ustoychivosti resheniy lineynykh differentsialnykh uravneniy s posledeystviem i bystro ostsilliruyushchimi koeffitsientami // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1977. S. 70–81. (in Russian)].Кащенко С. А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Труды семинара Петровского. 1991. Вып. 15. С. 128–155. [Kaschenko S.A. Issledovaniye ustoychivosti resheniy lineynykh parabolicheskikh uravneniy s blizkimi k postoyannym koeffitsiyentami i maloy diffuziyey // Trudy seminara Petrovskogo. 1991. Vyp. 15. S. 128–155 (in Russian)].Кащенко С. А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Труды семинара Петровского. 1991. Вып. 15. С. 128–155. [Kaschenko S.A. Issledovaniye ustoychivosti resheniy lineynykh parabolicheskikh uravneniy s blizkimi k postoyannym koeffitsiyentami i maloy diffuziyey // Trudy seminara Petrovskogo. 1991. Vyp. 15. S. 128–155 (in Russian)].Быкова Н.Д., Глызин С.Д., Кащенко С.А. Параметрический резонанс при двухчастотном возмущении в логистическом уравнении с запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 3. С. 86–98. [Bykova N.D., Glyzin S.D., Kaschenko S.A. Applying the Averaging Principle to a Logistic Equation with Rapidly Oscillating Delay // Modeling and Analysis of Information Systems. 2013. V. 20, № 3. P. 86–98 (in Russian)].Быкова Н.Д., Глызин С.Д., Кащенко С.А. Параметрический резонанс при двухчастотном возмущении в логистическом уравнении с запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 3. С. 86–98. [Bykova N.D., Glyzin S.D., Kaschenko S.A. Applying the Averaging Principle to a Logistic Equation with Rapidly Oscillating Delay // Modeling and Analysis of Information Systems. 2013. V. 20, № 3. P. 86–98 (in Russian)].Быкова Н.Д., Григорьева Е.В. Применение принципа усреднения к логистическому уравнению с быстро осциллирующим запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2014. Т. 21, № 1. С. 89–93. [Bykova N.D., Grigorieva E.V. Applying the Averaging Principle to a Logistic Equation with Rapidly Oscillating Delay // Modeling and Analysis of Information Systems. 2014. V. 21, № 1. P. 89–93 (in Russian)].Быкова Н.Д., Григорьева Е.В. Применение принципа усреднения к логистическому уравнению с быстро осциллирующим запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2014. Т. 21, № 1. С. 89–93. [Bykova N.D., Grigorieva E.V. Applying the Averaging Principle to a Logistic Equation with Rapidly Oscillating Delay // Modeling and Analysis of Information Systems. 2014. V. 21, № 1. P. 89–93 (in Russian)].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.