maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-2-71-89mais-121Research ArticleОригинальные статьиArticlesНеклассические релаксационные колебания в нейродинамикеNon-Classical Relaxation Oscillations in NeurodynamicsГлызинСергей ДмитриевичGlyzinS. D.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

glyzin@uniyar.ac.ruКолесовАндрей ЮрьевичKolesovA. Yu.

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kolesov@uniyar.ac.ruРозовНиколай ХристовичRozovN. Kh.

д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент РАЕН, декан факультета педагогического образования,

119991 Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1

д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент РАЕН, декан факультета педагогического образования,

Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russia

fpo.mgu@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияM.V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2014200420142127189Copyright © Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х., 20142014Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х.Glyzin S.D., Kolesov A.Y., Rozov N.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/121

Предлагается новая математическая модель функционирования отдельного нейрона, являющаяся сингулярно возмущенной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с одной быстрой и одной медленной переменными и представляющая собой модификацию известной модели ФитцХью–Нагумо. Исследуются вопросы о существовании и устойчивости в рассматриваемой системе так называемого неклассического релаксационного цикла, у которого медленная компонента асимптотически близка к разрывной функции, а быстрая компонента δ-образна. На основе свойств уединенного сингулярно возмущенного генератора изучается динамика континуальной цепочки однонаправленно связанных нейронов. Для полученной цепочки показано существование сколь угодно большого числа бегущих волн. Для иллюстрации наличия у системы нарастающего с уменьшением бифуркационного параметра числа устойчивых бегущих волн привлекались численные методы.

A modification of the well-known FitzHugh–Nagumo model from neuroscience is proposed. This model is a singularly perturbed system of ordinary differential equations with a fast variable and a slow one. The existence and stability of a nonclassical relaxation cycle in this system are studied. The slow component of the cycle is asymptotically close to a discontinuous function, while the fast component is a δ-like function. A onedimensional circle of unidirectionally coupled neurons is considered. It is shown the existence of an arbitrarily large number of traveling waves for this chain. In order to illustrate the increasing of the number of stable traveling waves numerical methods were involved.

нейронная модель ФитцХью–Нагуморелаксационный цикласимптотикаустойчивостьбуферностьimpuls neuronFitzHugh–Nagumo modelrelaxation cycleasymptoticsstabilitybufferingReferencesHodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117. P. 500 – 544.Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117. P. 500 – 544.Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc IRE. 1962. V. 50. P. 2061 – 2070.Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc IRE. 1962. V. 50. P. 2061 – 2070.FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophys. J. 1961. V. 1. P. 445 – 466.FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophys. J. 1961. V. 1. P. 445 – 466.Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 248 с. [English transl.: Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Differential equations with small parameters and relaxation oscillations. Plenum Press, 1980. 228 p.]Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 248 с. [English transl.: Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Differential equations with small parameters and relaxation oscillations. Plenum Press, 1980. 228 p.]Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. C., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995. [Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Periodicheskiye dvizheniya i bifurkatsionnyye protsessy v singulyarno vozmushchennykh sistemakh. M.: Fizmatlit, 1995 (in Russian)].Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. C., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995. [Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Periodicheskiye dvizheniya i bifurkatsionnyye protsessy v singulyarno vozmushchennykh sistemakh. M.: Fizmatlit, 1995 (in Russian)].Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Феномен буферности в нейродинамике // ДАН. 2012. Т. 443. № 2. С. 168 – 172. [English transl.: Glyzin S., Kolesov A., Rozov N. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady Mathematics. 2012. V. 85, № 2. P. 297–300.]Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Феномен буферности в нейродинамике // ДАН. 2012. Т. 443. № 2. С. 168 – 172. [English transl.: Glyzin S., Kolesov A., Rozov N. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady Mathematics. 2012. V. 85, № 2. P. 297–300.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Дискретные автоволны в нейронных системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 5. С. 840–858. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Discrete autowaves in neural systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. V. 2, № 5. P. 702–719.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Дискретные автоволны в нейронных системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 5. С. 840–858. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Discrete autowaves in neural systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. V. 2, № 5. P. 702–719.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 2. С. 155 – 170. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: III // Differential Equations. 2012. V. 48, № 2. P. 159–175.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 2. С. 155 – 170. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: III // Differential Equations. 2012. V. 48, № 2. P. 159–175.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в сетях Хопфилда с запаздыванием // Изв РАН. Сер. матем. 2013. Т. 77. № 2. С. 53 – 96. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in hopfield networks with delay // Izvestiya. Mathematics. 2013. V. 77, № 2. P. 271–312.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в сетях Хопфилда с запаздыванием // Изв РАН. Сер. матем. 2013. Т. 77. № 2. С. 53 – 96. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in hopfield networks with delay // Izvestiya. Mathematics. 2013. V. 77, № 2. P. 271–312.]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.