Пусть \(\Omega = A^N\) - пространство правосторонних бесконечных последовательностей символов из алфавита \(A = \{0,1\}\), \(N = {1,2,\dots} \), \[\rho(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \sum_{k=1}^{\infty}|x_{k} - y_{k}|2^{-k} \] - метрика на \(\Omega\), и \(\mu\) - вероятностная мера на \(\Omega\). Пусть \(\boldsymbol{\xi_0}, \boldsymbol{\xi_1}, \dots, \boldsymbol{\xi_n}\) - независимые случайные точки на \(\Omega\), распределенные по мере \(\mu\). Будем изучать оценку \(\eta_n^{(k)}(\gamma)\) - величину обратной к энтропии \(1/h\), которая определяется следующим образом. \[\eta_n^{(k)}(\gamma) = k \left(r_{n}^{(k)}(\gamma) - r_{n}^{(k+1)}(\gamma)\right),\] где \[r_n^{(k)}(\gamma) =\frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^{n} \gamma\left(\min_{i:i \neq j} {^{(k)}} \rho(\boldsymbol{\xi_{i}}, \boldsymbol{\xi_{j}})\right),\] \(\min ^{(k)}\{X_1,\dots,X_N\}= X_k\), если \(X_1\leq X_2\leq \dots\leq X_N\). Число \(k\) и функция \(\gamma(t)\) - вспомогательные параметры. Основной результат работы

Теорема. Пусть \(m\) - мера Бернулли с вероятностями \(p_0,p_1>0\), \(p_0+p_1=1\), \(p_0=p_1^2\), тогда \(\forall eps>0\) существует непрерывная функция \(\gamma(t)\) такая, что  \[\left|E\eta_n^{(k)}(\gamma) -  \frac1h\right| <eps,\quad DD\eta_n^{(k)}(\gamma)\to 0,n\to \infty. \]