Пусть \(x^{(0)}\in{\mathbb R}^n, R>0\). Через \(B=B(x^{(0)};R)\) обозначим евклидов шар в \({\mathbb R}^n\), задаваемый неравенством \(\|x-x^{(0)}\|\leq R\), \(\|x\|:=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}\). Положим \(B_n:=B(0,1)\). Под \(C(B)\) будем понимать пространство непрерывных функций \(f:B\to{\mathbb R}\) с нормой \(\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|,\) под \(\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)\) - совокупность многочленов от \(n\) переменных степени \(\leq 1\), то есть линейных функций на \({\mathbb R}^n\). Пусть \(x^{(1)}, \ldots, x^{(n+1)}\) - вершины \(n\) - мерного невырожденного симплекса \(S\subset B\). Интерполяционный проектор \(P:C(B)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)\), соответствующий \(S\), определяется равенствами \(Pf\left(x^{(j)}\right)= %f_j:=f\left(x^{(j)}\right).\) Через \(\|P\|_B\) обозначим норму \(P\) как оператора из \(C(B)\) в \(C(B)\). Определим \(\theta_n(B)\) как минимальную величину \(\|P\|_B\) при условии \(x^{(j)}\in B\). В статье получена формула для вычисления \(\|P\|_B\) через \(x^{(0)}\), \(R\) и коэффициенты базисных многочленов Лагранжа, соответствующих \(S.\) Более подробно исследован случай, когда \(S\) - правильный симплекс, вписанный в \(B_n\). Доказано, что в этой ситуации справедливо равенство \(\|P\|_{B_n}=\max\{\psi(a),\psi(a+1)\},\) где \(\psi(t)=\frac{2\sqrt{n}}{n+1}\bigl(t(n+1-t)\bigr)^{1/2}+\bigl|1-\frac{2t}{n+1}\bigr|)\) \((0\leq t\leq n+1)\), целое \(a\) имеет вид \(a=\bigl\lfloor\frac{n+1}{2}-\frac{\sqrt{n+1}}{2}\bigr\rfloor.\) Для такого проектора \(\sqrt{n}\leq\|P\|_{B_n}\leq\sqrt{n+1}\), причём равенство \(\|P\|_{B_n}=\sqrt{n+1}\) имеет место тогда и только тогда, когда число \(\sqrt{n+1}\) является целым. Приводятся точные значения \(\theta_n(B_n)\) для \(1\leq n\leq 4\). Даются результаты компьютерных вычислений, дополняющие теоретический анализ. Обсуждаются некоторые другие вопросы, связанные с интерполяцией на евклидовом шаре, в том числе открытые.