maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2019-3-450-468mais-1234Research ArticleDiscrete Mathematics in Relation to Computer ScienceСравнение диффеоморфных изображений на основе формирования персистентных гомологийThe Comparison of Diffeomorphic Images Based on the Construction of Persistent Homologyhttps://orcid.org/0000-0002-8106-9813ЧукановСергей НиколаевичChukanovSergey N.

д-р техн. наук, профессор

PhD

ch_sn@mail.ruФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омский филиалРоссияSobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk BranchRussian Federation201928092019263450468Copyright © Чуканов С.Н., 20192019Чуканов С.Н.Chukanov S.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/1234

Анализ формы объекта – проблема, которая связана такими областями, как геометрия, топология, обработка изображений, машинное обучение или вычислительная анатомия. При анализе формы оценивается деформация между исходной и терминальной формой объекта. Наиболее используемой моделью анализа формы является модель диффеоморфного метрического отображения больших деформаций (Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping – LDDMM). Модель LDDMM может быть дополнена функциональной негеометрической информацией объектов (объем, цвет, момент времени формирования). В работе рассмотрены алгоритмы построения множеств баркодов для сравнения диффеоморфных изображений, которые являются вещественными значениями, принимаемыми персистентными гомологиями. Отличительной особенностью использования персистентных гомологий по отношению к методам алгебраической топологии является получение большего количества информации о форме объекта. Важным направлением применения персистентных гомологий является изучение инвариантов больших объемов данных. Предлагается метод, основанный на персистентных когомологиях, который объединяет технологии персистентных гомологий с внедренной негеометрической информацией, представленной в виде функций от симплициальных комплексов. Предлагаемая структура расширенных баркодов с использованием когомологий повышает эффективность методов персистентных гомологий. Предложена модификация метода Вассерштейна для нахождения расстояния между изображениями введением негеометрической информации. Рассмотрена возможность формирования баркодов изображений инвариантных к преобразованиям вращения, сдвига и подобия.

An object shape analysis is a problem that is related to such areas as geometry, topology, image processing and machine learning. For analyzing the form, the deformation between the source and terminal form of the object is estimated. The most used form analysis model is the Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping (LDDMM) model. The LDDMM model can be supplemented with functional non-geometric information about objects (volume, color, formation time). The paper considers algorithms for constructing sets of barcodes for comparing diffeomorphic images, which are real values taken by persistent homology. A distinctive feature of the use of persistent homology with respect to methods of algebraic topology is to obtain more information about the shape of the object. An important direction of the application of persistent homology is the study invariants of big data. A method based on persistent cohomology is proposed that combines persistent homology technologies with embedded non-geometric information presented as functions of simplicial complexes. The proposed structure of extended barcodes using cohomology increases the effectiveness of persistent homology methods. A modification of the Wasserstein method for finding the distance between images by introducing non-geometric information was proposed. The possibility of the formation of barcodes of images invariant to transformations of rotation, shift and similarity is considered.

 

распознавание образовдиффеоморфные преобразованияперсистентные (ко)гомологиирасстояние Вассерштейнаpattern recognitiondiffeomorphic transformationspersistent (co)homologyWasserstein distance1.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 18–07–00526 и № 18–08–01284. 2 Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН № I.5.1., проект № 0314-2019-0020.1 The work was funded by RFBR according to the research projects № 18–07–00526 and № 18–08-01284. 2 The work was funded by the program of fundamental scientific researches of the SB RAS № I.5.1., project № 0314-2019-0020.ReferencesTrouve A., Younes L., “Metamorphoses through lie group action”, Foundations of Computational Mathematics, 5:2 (2005), 173–198.Trouve A., Younes L., “Metamorphoses through lie group action”, Foundations of Computational Mathematics, 5:2 (2005), 173–198.Younes L., Arrate F., Miller M. I., “Evolutions equations in computational anatomy”, NeuroImage, 45:1 (2009), 540–550.Younes L., Arrate F., Miller M. I., “Evolutions equations in computational anatomy”, NeuroImage, 45:1 (2009), 540–550.Beg M., Miller M., Trouve A., Younes L., “Computing large deformation metric mappings via geodesic flows of diffeomorphisms”, Int. Journal of Computer Vision, 61:2 (2005), 139–157.Beg M., Miller M., Trouve A., Younes L., “Computing large deformation metric mappings via geodesic flows of diffeomorphisms”, Int. Journal of Computer Vision, 61:2 (2005), 139–157.Marsland S., McLachlan R. I., “A Hamiltonian particle method for diffeomorphic image registration”, Biennial International Conference on Information Processing in Medical Imaging, 2006, 396–407.Marsland S., McLachlan R. I., “A Hamiltonian particle method for diffeomorphic image registration”, Biennial International Conference on Information Processing in Medical Imaging, 2006, 396–407.Carlsson G., “Topological pattern recognition for point cloud data”, Acta Numerica, 2014, № 23, 289–368.Carlsson G., “Topological pattern recognition for point cloud data”, Acta Numerica, 2014, № 23, 289–368.Hatcher A., Algebraic topology, Cambridge UP, 2002, 544 pp.Hatcher A., Algebraic topology, Cambridge UP, 2002, 544 pp.Лейхтер С. В., Чуканов С. Н., “Сравнение изображений на основе их диффеоморфного преобразования”, Компьютерная оптика, 42:1 (2018), 96–104;Leichter S. V., Chukanov S. N., “Matching of images based on their diffeomorphic mapping”, Computer Optics, 42:1 (2018), 96–104,Chukanov S. N., “Definitions of invariants for n-dimensional traced vector fields of dynamic systems”, Pattern Recognition and Image Analysis, 19:2 (2009), 303–305.Chukanov S. N., “Definitions of invariants for n-dimensional traced vector fields of dynamic systems”, Pattern Recognition and Image Analysis, 19:2 (2009), 303–305.Чуканов С. Н., Ульянов Д. В., “Формирование инвариантов при визуализации векторных полей на основе построения оператора гомотопии”, Компьютерная оптика, 36:4 (2012), 622–626;Chukanov S. N., Ulianov D. V., “Formation of invariants in the visualization of vector fields based on the construction of the homotopy operator”, Computer Optics, 36:4 (2012), 622–626,Чуканов С. Н., “Формирование инвариантов при визуализации векторных полей, определяемых интегральными кривыми динамических систем”, Автометрия, 47:2 (2011), 58–63;Chukanov S. N., “Constructing invariants for visualization of vector fields defined by integral curves of dynamic systems”, Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing,, 47:2 (2011), 58-63,Edelsbrunner H.,Harer J. L., Computational topology: an introduction., American Mathematical Society, Providence, RI, 2010, 282 pp.Edelsbrunner H.,Harer J. L., Computational topology: an introduction., American Mathematical Society, Providence, RI, 2010, 282 pp.Гарбер А., Эдельсбруннер Г., Иванов А., Мусин О., Невский М., “Международная конференция «Геометрия, топология и приложения»”, Моделирование и анализ информационных систем, 20:6 (2013), 95–102;Garber A., Edelsbrunner H., Ivanov A., Musin O., Nevskii M., “International Conference "Geometry, Topology, and Applications"”, Modeling and Analysis of Information Systems, 20:6 (2013), 95–102Adams H., Tausz A., JavaPlex Tutorial, 2011, 20 pp.Adams H., Tausz A., JavaPlex Tutorial, 2011, 20 pp.Duzhin S. V., Chebotarevskii B. D W., Transformation groups for beginners, 25, American Mathematical Society, 2004, 192 pp.Duzhin S. V., Chebotarevskii B. D W., Transformation groups for beginners, 25, American Mathematical Society, 2004, 192 pp.Cang Z., Wei G., “Persistent cohomology for data with multicomponent heterogeneous information”, 2018 http://gis-lab.info/qa/srtm.html.Cang Z., Wei G., “Persistent cohomology for data with multicomponent heterogeneous information”, 2018 http://gis-lab.info/qa/srtm.html.De Silva V., Morozov D., Vejdemo-Johansson M., “Persistent cohomology and circular coordinates”, Discrete and Computational Geometry, 45:4 (2011), 737–759.De Silva V., Morozov D., Vejdemo-Johansson M., “Persistent cohomology and circular coordinates”, Discrete and Computational Geometry, 45:4 (2011), 737–759.Chung F. R. K., Graham F. C., Spectral graph theory, American Mathematical Society, 1997, 207 pp.Chung F. R. K., Graham F. C., Spectral graph theory, American Mathematical Society, 1997, 207 pp.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.