maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-1-7-31mais-124Research ArticleОригинальные статьиArticlesУгловой пограничный слой в нелинейных эллиптических задачах, содержащих производные первого порядкаCorner Boundary Layer in Nonlinear Elliptic Problems Containing Derivatives of First OrderБутузовВалентин ФедоровичButuzovV. F.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математики,

119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математики,

Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russia

butuzov@phys.msu.ruДенисовИгорь ВасильевичDenisovI. V.

д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры алгебры, математического анализа и геометрии,

300026, Тула, пр-т Ленина, 125

д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры алгебры, математического анализа и геометрии,

pr. Lenina, 125, Tula, 300026, Russia

den_tspu@mail.ruМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРоссияM.V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л.Н. ТолстогоРоссияL.N. Tolstoy Tula State Pedagogical UniversityRussian Federation201420022014211731Copyright © Бутузов В.Ф., Денисов И.В., 20142014Бутузов В.Ф., Денисов И.В.Butuzov V.F., Denisov I.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/124

В прямоугольной области рассмотрена первая краевая задача для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения

ε 2∆u − ε αA(x, y) ∂u/∂y = F(u, x, y, ε)

с нелинейной по u функцией F. Для α > 1 построено полное асимптотическое разложение решения, равномерное в замкнутом прямоугольнике. Если 0 < α < 1, то равномерное асимптотическое приближение строится в нулевом и первом приближении. Отмечены особенности асимптотики в случае α = 1.

In a rectangular domain the first boundary value problem is considered for a singularly perturbed elliptic equation

ε 2∆u − ε αA(x, y) ∂u/∂y = F(u, x, y, ε)

with a nonlinear on u function F. The complete asymptotic solution expansion uniform in a closed rectangle is constructed for α > 1. If 0 < α < 1, the uniform asymptotic approximation is constructed in zero and first approximations. The features of the asymptotic behavior are noted in the case α = 1 .

пограничный слойсингулярно возмущенное уравнениеасимптотическое разложение решенияboundary layersingularly perturbed equationasymptotic expansionReferencesБутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения µ²∆u − k² (x, y)u = f(x, y) в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 9. С. 1654 – 1660. (English transl.: Butuzov V.F. The asymptotic properties of solutions of the equation µ²∆u − k² (x, y)u = f(x, y) in a rectangle // Differential Equations. 1973. V. 9, No. 9. P. 1274.)Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения µ²∆u − k² (x, y)u = f(x, y) в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 9. С. 1654 – 1660. (English transl.: Butuzov V.F. The asymptotic properties of solutions of the equation µ²∆u − k² (x, y)u = f(x, y) in a rectangle // Differential Equations. 1973. V. 9, No. 9. P. 1274.)Бутузов В.Ф. Об асимптотике решений сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11. № 6. С. 1030 – 1041. (English transl.: Butuzov V.F. On asymptotics of solutions of singularly perturbed equations of elliptic type in the rectangle // Differential Equations. 1975. V. 11, No. 6. P. 780.)Бутузов В.Ф. Об асимптотике решений сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11. № 6. С. 1030 – 1041. (English transl.: Butuzov V.F. On asymptotics of solutions of singularly perturbed equations of elliptic type in the rectangle // Differential Equations. 1975. V. 11, No. 6. P. 780.)Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенное уравнение эллиптического типа с двумя малыми параметрами // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 10. С. 1793 – 1803. (English transl.: Butuzov V.F. A singularly perturbed elliptic equation with two small parameters // Differential Equations. 1976. V. 12, No. 10. P. 1261.)Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенное уравнение эллиптического типа с двумя малыми параметрами // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 10. С. 1793 – 1803. (English transl.: Butuzov V.F. A singularly perturbed elliptic equation with two small parameters // Differential Equations. 1976. V. 12, No. 10. P. 1261.)Денисов И.В. Квазилинейные сингулярно возмущенные эллиптические уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. № 11. С. 1666 –1678. (English transl.: Denisov I.V. Quasilinear singularly perturbed elliptic equations in a rectangle // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1995. V. 35, No. 11. P. 1341 – 1350.)Денисов И.В. Квазилинейные сингулярно возмущенные эллиптические уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. № 11. С. 1666 –1678. (English transl.: Denisov I.V. Quasilinear singularly perturbed elliptic equations in a rectangle // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1995. V. 35, No. 11. P. 1341 – 1350.)Денисов И.В. Задача нахождения главного члена угловой части асимптотики решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 5. С. 779 – 791. (English transl.: Denisov I.V. The problem of finding the dominant term of the corner part of the asymptotics of the solution to a singularly perturbed elliptic equation with a nonlinearity // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1999. V. 39, No. 5. P. 747 – 759.)Денисов И.В. Задача нахождения главного члена угловой части асимптотики решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 5. С. 779 – 791. (English transl.: Denisov I.V. The problem of finding the dominant term of the corner part of the asymptotics of the solution to a singularly perturbed elliptic equation with a nonlinearity // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1999. V. 39, No. 5. P. 747 – 759.)Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. № 3. С. 390 – 406. (English transl.: Denisov I.V. The corner boundary layer in nonlinear singularly perturbed elliptic equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2001. V. 41, No. 3. P. 362 – 378.)Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. № 3. С. 390 – 406. (English transl.: Denisov I.V. The corner boundary layer in nonlinear singularly perturbed elliptic equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2001. V. 41, No. 3. P. 362 – 378.)Денисов И.В. Угловой погранслой в немонотонных сингулярно возмущенных краевых задачах с нелинейностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44, № 9. С. 1674 – 1692. (English transl.: Denisov I.V. The corner boundary layer in nonmonotone singularly perturbed boundary value problems with nonlinearities // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2004. V. 44, No. 9. P. 1592 – 1610.)Денисов И.В. Угловой погранслой в немонотонных сингулярно возмущенных краевых задачах с нелинейностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44, № 9. С. 1674 – 1692. (English transl.: Denisov I.V. The corner boundary layer in nonmonotone singularly perturbed boundary value problems with nonlinearities // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2004. V. 44, No. 9. P. 1592 – 1610.)Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 1. С. 62 – 79. (English transl.: Denisov I.V. Corner boundary layer in nonlinear singularly perturbed elliptic problems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2008. V. 48, No. 1. P. 59 – 75.)Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 1. С. 62 – 79. (English transl.: Denisov I.V. Corner boundary layer in nonlinear singularly perturbed elliptic problems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2008. V. 48, No. 1. P. 59 – 75.)Денисов И.В. О некоторых классах функций // Чебышевский сборник. Т. X. Вып. 2 (30). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2009. С. 79 – 108. (Denisov I.V. O nekotoryh klassah funktsiy // Chebyshevskiy sbornik. T. X. V. 2 (30). Tula: Izd-vo Tul. gos. ped. univ. im. L.N Tolstoy, 2009. S. 79–108 [in Russian].)Денисов И.В. О некоторых классах функций // Чебышевский сборник. Т. X. Вып. 2 (30). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2009. С. 79 – 108. (Denisov I.V. O nekotoryh klassah funktsiy // Chebyshevskiy sbornik. T. X. V. 2 (30). Tula: Izd-vo Tul. gos. ped. univ. im. L.N Tolstoy, 2009. S. 79–108 [in Russian].)Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. (Vasilieva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskie metody v teorii singulyarnyh vozmusheniy. Moskva: Vysshaya shkola, 1990 [in Russian].)Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. (Vasilieva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskie metody v teorii singulyarnyh vozmusheniy. Moskva: Vysshaya shkola, 1990 [in Russian].)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.