maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-1-32-44mais-125Research ArticleОригинальные статьиArticlesОб одном механизме жесткого возбуждения колебаний в нелинейных флаттерных системахOn One Means of Hard Excitation of Oscillations in Nonlinear Flutter SystemsГлызинСергей ДмитриевичGlyzinS. D.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

glyzin@uniyar.ac.ruКолесовАндрей ЮрьевичKolesovA. Yu.

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений ,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kolesov@uniyar.ac.ruРозовНиколай ХристовичRozovN. Kh.

д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент РАЕН, декан факультета педагогического образования,

119991 Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1

д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент РАЕН, декан факультета педагогического образования,

Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russia

fpo.mgu@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияM.V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2014200220142113244Copyright © Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х., 20142014Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х.Glyzin S.D., Kolesov A.Y., Rozov N.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/125

Рассматриваются так называемые конечномерные флаттерные системы, т.е. системы обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающие при галеркинских аппроксимациях некоторых краевых задач теории аэроупругости, а также в ряде радиофизических приложений. Исследуется вопрос о малых параметрических колебаниях этих уравнений в случае резонанса 1 : 3. С помощью сочетания аналитических и численных методов устанавливается, что упомянутый резонанс может служить причиной жесткого возбуждения колебаний. А именно, показывается возможность появления у флаттерных систем наряду с устойчивым нулевым состоянием равновесия как устойчивых инвариантных торов любой конечной размерности, так и хаотических аттракторов.

Considered are so-called finite-dimensional flutter systems, i.e. systems of ordinary differential equations, arising from Galerkin approximations of certain boundary value problems of aeroelasticity theory as well as from a number of radiophysics applications. We study small oscillations of these equations in case of 1 : 3 resonance. By combining analytical and numerical methods, it is concluded that the mentioned resonance can cause a hard excitation of oscillations. Namely, for flutter systems shown is the possibility of coexistence, along with the stable zero state, of stable invariant tori of arbitrary finite dimension as well as chaotic attractors.

нелинейные флаттерные системыпараметрическое внешнее воздействиежесткое возбуждение колебанийинвариантный торхаосnonlinear flutter systemsparametric external impacthard excitation of oscillationsinvariant toruschaosReferencesБолотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с. (English transl.: Bolotin V. V. Nonconservative problems of the theory of elastic stability. Elsevier Science & Technology, Jan 1, 1963. Aeroelasticity. 324 p.)Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с. (English transl.: Bolotin V. V. Nonconservative problems of the theory of elastic stability. Elsevier Science & Technology, Jan 1, 1963. Aeroelasticity. 324 p.)Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1987. 352 с. (English transl.: Panovko Ja. G., Gubanov I. I. Stability and Oscillations of Elastic Systems. Paradoxes, Fallacies, and Concepts. New York : Consultants Bureau, 1965. 289 p.)Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1987. 352 с. (English transl.: Panovko Ja. G., Gubanov I. I. Stability and Oscillations of Elastic Systems. Paradoxes, Fallacies, and Concepts. New York : Consultants Bureau, 1965. 289 p.)Dowell E. H. Aeroelasticity of plates and shells. Mechanics: The Dynamical systems. Leyden, The Netherlands: Noordhoff International Publishing, 1975.Dowell E. H. Aeroelasticity of plates and shells. Mechanics: The Dynamical systems. Leyden, The Netherlands: Noordhoff International Publishing, 1975.Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 734 с. (Filippov A. P. Kolebaniya deformiruyemykh system. Moscow: Mashinostroyeniye, 1970 [in Russian].)Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 734 с. (Filippov A. P. Kolebaniya deformiruyemykh system. Moscow: Mashinostroyeniye, 1970 [in Russian].)Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с. (Vol’mir A. S. Ustoychivost’ deformiruyemykh system. Moscow: Nauka, 1967 [in Russian].)Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с. (Vol’mir A. S. Ustoychivost’ deformiruyemykh system. Moscow: Nauka, 1967 [in Russian].)Колесов Ю. С., Колесов В. С., Федик И. И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1979. (Kolesov Yu. S., Kolesov V. S., Fedik I. I. Avtokolebaniya v sistemakh s raspredelennymi parametrami. Kiyev: Naukova dumka, 1979 [in Russian].)Колесов Ю. С., Колесов В. С., Федик И. И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1979. (Kolesov Yu. S., Kolesov V. S., Fedik I. I. Avtokolebaniya v sistemakh s raspredelennymi parametrami. Kiyev: Naukova dumka, 1979 [in Russian].)Holmes P. J., Marsden J. E. Bifurcations to divergence and flutter in flow-induced oscillations: a infinite-dimensional analysis // Automatica. 1978. V. 14. P. 367–384.Holmes P. J., Marsden J. E. Bifurcations to divergence and flutter in flow-induced oscillations: a infinite-dimensional analysis // Automatica. 1978. V. 14. P. 367–384.Holmes P. J. Bifurcations to divergence and flutter in flow-induced oscillations: a finitedimensional analysis // J. of Sound and Vibration. 1977. V. 53, № 4. P. 471–503.Holmes P. J. Bifurcations to divergence and flutter in flow-induced oscillations: a finitedimensional analysis // J. of Sound and Vibration. 1977. V. 53, № 4. P. 471–503.Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Резонансная динамика нелинейных флаттерных систем // Тр. МИАН. 2008. Т. 261. С. 154–175. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko Ye. F., Rozov N. Kh. Resonance Dynamics of Nonlinear Flutter Systems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2008. V. 261. P. 149–170.)Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Резонансная динамика нелинейных флаттерных систем // Тр. МИАН. 2008. Т. 261. С. 154–175. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko Ye. F., Rozov N. Kh. Resonance Dynamics of Nonlinear Flutter Systems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2008. V. 261. P. 149–170.)Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Многоликий хаос. М.: Физматлит, 2012. 432 с. (Mishchenko Ye. F., Sadovnichiy V. A., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Mnogolikiy khaos. M.: Fizmatlit, 2012 [in Russian].)Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Многоликий хаос. М.: Физматлит, 2012. 432 с. (Mishchenko Ye. F., Sadovnichiy V. A., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Mnogolikiy khaos. M.: Fizmatlit, 2012 [in Russian].)Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с. (English transl.: Bogolyubov N. N., Mitropolski Yu. A. Asymptotic methods in the theory of non-linear oscillations. New York: Gordon and Breach, 1961. 537 p.)Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с. (English transl.: Bogolyubov N. N., Mitropolski Yu. A. Asymptotic methods in the theory of non-linear oscillations. New York: Gordon and Breach, 1961. 537 p.)Фомин В. Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972. 240 с. (Fomin V. N. Matematicheskaya teoriya parametricheskogo rezonansa v lineynykh raspredelennykh sistemakh. L.: Izd-vo LGU, 1972. 240 p. [in Russian].)Фомин В. Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972. 240 с. (Fomin V. N. Matematicheskaya teoriya parametricheskogo rezonansa v lineynykh raspredelennykh sistemakh. L.: Izd-vo LGU, 1972. 240 p. [in Russian].)Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 718 с. (Yakubovich V. A., Starzhinskiy V. M. Lineynyye differentsial’nyye uravneniya s periodicheskimi koeffitsiyentami i ikh prilozheniya. Moscow: Nauka, 1972 [in Russian].)Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 718 с. (Yakubovich V. A., Starzhinskiy V. M. Lineynyye differentsial’nyye uravneniya s periodicheskimi koeffitsiyentami i ikh prilozheniya. Moscow: Nauka, 1972 [in Russian].)Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. 405 с. (Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnyye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M.: Fizmatlit, 2004 [in Russian].)Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. 405 с. (Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnyye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M.: Fizmatlit, 2004 [in Russian].)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Механизм жесткого возбуждения колебаний, связанный с резонансом 1 : 2 // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45, № 11. С. 2000–2016. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. The mechanism of hard excitation of self-oscillations in the case of the resonance 1 : 2 // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2005. V. 45, No 11. P. 1923–1938.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Механизм жесткого возбуждения колебаний, связанный с резонансом 1 : 2 // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45, № 11. С. 2000–2016. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. The mechanism of hard excitation of self-oscillations in the case of the resonance 1 : 2 // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2005. V. 45, No 11. P. 1923–1938.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.