maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-1-45-52mais-126Research ArticleОригинальные статьиArticlesКлассические и неклассические симметрии нелинейного дифференциального уравнения для описания волн в жидкости с пузырьками газаClassical and Nonclassical Symmetries of Nonlinear Differential Equation for Describing Waves in a Liquid with Gas BubblesКудряшовНиколай АлексеевичKudryashovN. A.

доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой,

115409 Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31

доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой,

Kashirskoe shosse, 31, Moscow, 115409, Russia

nakudryashov@mephi.ruСинельщиковДмитрий ИгоревичSinelshchikovD. I.

кандидат физ.-мат. наук, ст. преподаватель,

115409 Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31

кандидат физ.-мат. наук, ст. преподаватель,

Kashirskoe shosse, 31, Moscow, 115409, Russia

disinelshchikov@mephi.ruНациональный исследовательский ядерный университет МИФИРоссияNational Research Nuclear University MEPhIRussian Federation2014200220142114552Copyright © Кудряшов Н.А., Синельщиков Д.И., 20142014Кудряшов Н.А., Синельщиков Д.И.Kudryashov N.A., Sinelshchikov D.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/126

Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение для описания нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости жидкости и процесса межфазного теплообмена. Исследованы классические и неклассические симметрии данного уравнения в частных производных. Показано, что исследуемое уравнение инвариантно относительно преобразований сдвига по пространственной и временной координатам. При дополнительном ограничении на параметры, уравнение также инвариантно относительно преобразования Галилея. Неклассические симметрии рассматриваемого уравнения находятся методом Блюмана и Коула. Изучены регулярный и сингулярный случаи неклассических симметрий. Найдены пять семейств неклассических симметрий, допускаемых исследуемым уравнением. Построены инвариантные редукции, соответствующие данным симметриям. С их помощью найдены семейства точных решений исследуемого уравнения. Полученные решения выражаются через рациональные, тригонометрические и специальные функции.

A nonlinear differential equation is considered for describing nonlinear waves in a liquid with gas bubbles. Classical and nonclassical symmetries of this equation are investigated. It is shown that the considered equation admits transformations in space and time. At a certain condition on parameters, this equation also admits a group of Galilean transformations. The method by Bluman and Cole is used for finding nonclassical symmetries admitted by the studied equation. Both regular and singular cases of nonclassical symmetries are considered. Five families of nonclassical symmetries admitted by this equation are constructed. Symmetry reductions corresponding to these families of generators are obtained. Exact solutions of these symmetry reductions are constructed. These solutions are expressed via rational, exponential, trigonometric and special functions.

нелинейные волны в жидкости с пузырьками газаклассические симметриинеклассические симметрииточные решенияnonlinear waves in a liquid with gas bubblesclassical symmetriesnonclassical symmetriesexact solutionsгрант для поддержки ведущих научных школ РФ, грант для поддержки молодых ученых–кандидатов наукReferencesNigmatulin R.I. Dynamics of Multiphase Media, Part 2. New York: Taylor & Francis, 1990. P. 388.Nigmatulin R.I. Dynamics of Multiphase Media, Part 2. New York: Taylor & Francis, 1990. P. 388.Nakoryakov V.E., Pokusaev B.G., Shreiber I.R. Wave Propagation in Gas-Liquid Media. Boca Raton: CRC Press, 1993. P. 240.Nakoryakov V.E., Pokusaev B.G., Shreiber I.R. Wave Propagation in Gas-Liquid Media. Boca Raton: CRC Press, 1993. P. 240.Kudryashov N.A., Sinelshchikov D.I. An extended equation for the description of nonlinear waves in a liquid with gas bubbles // Wave Motion. 2013. Vol. 50, № 3. P. 351–362.Kudryashov N.A., Sinelshchikov D.I. An extended equation for the description of nonlinear waves in a liquid with gas bubbles // Wave Motion. 2013. Vol. 50, № 3. P. 351–362.Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations // J. Math. Phys. 1983. Vol. 24. P. 522–526.Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations // J. Math. Phys. 1983. Vol. 24. P. 522–526.Kudryashov N.A. On types of nonlinear nonintegrable equations with exact solutions // Phys. Lett. A. 1991. Vol. 155, № 4-5. P. 269–275.Kudryashov N.A. On types of nonlinear nonintegrable equations with exact solutions // Phys. Lett. A. 1991. Vol. 155, № 4-5. P. 269–275.Kudryashov N.A. Singular manifold equations and exact solutions for some nonlinear partial differential equations // Phys. Lett. A. 1993. Vol. 182, № 4–6. P. 356–362.Kudryashov N.A. Singular manifold equations and exact solutions for some nonlinear partial differential equations // Phys. Lett. A. 1993. Vol. 182, № 4–6. P. 356–362.Ovsiannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. Waltham: Academic Press, 1982. P. 432.Ovsiannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. Waltham: Academic Press, 1982. P. 432.Olver P.J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. New York: Springer, 1993. P. 513.Olver P.J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. New York: Springer, 1993. P. 513.Ibragimov N.H. Transformation Groups Applied to Mathematical Physics (Mathematics and its Applications). New York: Springer, 2001. P. 396.Ibragimov N.H. Transformation Groups Applied to Mathematical Physics (Mathematics and its Applications). New York: Springer, 2001. P. 396.Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solution of the heat equation // J. Math. Mech. 1969. Vol. 18, № 11. P. 1025–1042.Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solution of the heat equation // J. Math. Mech. 1969. Vol. 18, № 11. P. 1025–1042.Zhdanov R.Z., Tsyfra I.M., Popovych R.O. A Precise Definition of Reduction of Partial Differential Equations // J. Math. Anal. Appl. 1999. Vol. 238, № 1. P. 101–123.Zhdanov R.Z., Tsyfra I.M., Popovych R.O. A Precise Definition of Reduction of Partial Differential Equations // J. Math. Anal. Appl. 1999. Vol. 238, № 1. P. 101–123.Kunzinger M., Popovych R.O. Singular reduction operators in two dimensions // J. Phys. A Math. Theor. 2008. Vol. 41, № 50. P. 505201.Kunzinger M., Popovych R.O. Singular reduction operators in two dimensions // J. Phys. A Math. Theor. 2008. Vol. 41, № 50. P. 505201.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.