maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2019-4-572-582mais-1277Research ArticleComputer System OrganizationОсобенности вычислительной реализации алгоритма оценки ляпуновских показателей систем с запаздываниемFeatures of the Computational Implementation of the Algorithm for Estimating the Lyapunov Exponents of Systems with Delayhttps://orcid.org/0000-0002-0512-6986ГорюновВладимир ЕвгеньевичGoryunovVladimir E.

аспирант

postgraduate student

salkar@ya.ruЯрославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваРоссияP. G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201913122019264572582Copyright © Горюнов В.Е., 20192019Горюнов В.Е.Goryunov V.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/1277

Рассматривается вычислительная реализация алгоритма оценки спектра показателей Ляпунова для систем дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами. Учитывая, что для таких систем, а также для краевых задач не удается доказать известную теорему Оселедеца, которая позволяет эффективно вычислять искомые величины, приходится говорить лишь об оценках характеристических показателей, в каком-то смысле близких к ляпуновским. В данной работе предложены две методики обработки решений линеаризованных на аттракторе систем, одна из которых основана на базисе импульсных функций, а другая — на базисе тригонометрических функций. Продемонстрирована гибкость применения указанных алгоритмов в случае квазиустойчивых структур, когда несколько показателей Ляпунова близки к нулю. Разработанные методы тестируются на логистическом уравнении с запаздыванием. Полученные результаты иллюстрируют “близость” оцениваемых характеристик и показателей Ляпунова.

We consider the computational implementation of the algorithm for Lyapunov exponents spectrum numerical estimation for delay differential equations. It is known that for such systems, as well as for boundary value problems, it is not possible to prove the well-known Oseledets theorem which allows us to calculate the required parameters very efficiently. Therefore, we can only talk about the estimates of the characteristics in some sense close to the Lyapunov exponents. In this paper, we propose two methods of linearized systems solutions processing. One of them is based on a set of impulse functions, and the other is based on a set of trigonometric functions. We show the usage flexibility of these algorithms in the case of quasi-stable structures when several Lyapunov exponents are close to zero. The developed methods are tested on a logistic equation with a delay, and these tests illustrate the “proximity” of the obtained numerical characteristics and Lyapunov exponents.

спектр показателей Ляпуновадинамическая система с запаздываниемчисленный алгоритмуравнение ХатчинсонаLyapunov exponents spectrumdynamical system with delaynumerical algorithmHutchinson equationИсследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-29-10055.The reported study was funded by RFBR according to the research project № 18-29-10055.ReferencesКупцов П. В., “Вычисление показателей Ляпунова для распределённых систем: преимущества и недостатки различных численных методов”, Изв. вузов “ПНД”, 18:5 (2010), 93–112;Kuptsov P. V., “Computation of Lyapunov Exponents for Spatially Extended Systems: Advantages and Limitations of Various Numerical Methods”, Izv. VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 18:5 (2010), 93–112, (in Russian).Оселедец В. И., “Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем”, Тр. ММО, 19, 1968, 179–210;Oseledets V. I., “A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems”, Trans. Moscow Math. Soc., 19 (1968), 197–231.Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В., Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, Наука, 1966;Bylov B. F., Vinograd R. E., Grobman D. M., Nemytskiy V. V., Teoriya pokazateley Lyapunova i ee prilozheniya k voprosam ustoychivosti, Nauka, 1966, (in Russian).Балякин А. А., Рыскин Н. М., “Особенности расчета спектров показателей Ляпунова в распределенных системах с запаздывающей обратной связью”, Изв. вузов “ПНД”, 15:6 (2007), 3–21;Balyakin A. A., Ryskin N. M., “Peculiarities of Calculation of the Lyapunov Exponents Set in Distributed Self-Oscillated Systems with Delayed Feedback”, Izv. VUZ. Applied nonlinear dynamics, 15:6 (2007), 3–21, (in Russian).Балякин А. А., Блохина Е. В., “Вычисление спектра показателей Ляпунова для распределенных систем радиофизической природы”, Изв. вузов “ПНД”, 16:2 (2008), 87–110;Balyakin A. A., Blokhina E. V., “Peculiarities of Calculation of the Lyapunov Exponents Set in Distributed Self-Oscillated Systems with Delayed Feedback”, Izv. VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 16:2 (2008), 87–110, (in Russian).Колоскова А. Д., Москаленко О. И., Короновский А. А., “Метод расчета спектра показателей Ляпунова для систем с запаздыванием”, Письма в ЖТФ, 44:9 (2018), 19–25;Koloskova A. D., Moskalenko O. I., Koronovskii A. A., “A Method for Calculating the Spectrum of Lyapunov Exponents for Delay Systems”, Technical Physics Letters, 44:5 (2018), 374–377.Алешин С. В., “Оценка инвариантных числовых показателей аттракторов систем дифференциальных уравнений с запаздыванием”, Вычислит. технологии в естеств. науках: методы суперкомп. моделир., 2014, 10–17;Aleshin S. V., “The Numerical Evaluation of Attractors Exponents of Delay Differential Equations System”, Comp. Technologies in Sciences. Methods of Simul. on Supercomputers, 2014, 10–17, (in Russian).Farmer J. D., “Chaotic Attractors of an Infinite-Dimensional Dynamical System”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 4:3 (1982), 366–393.Farmer J. D., “Chaotic Attractors of an Infinite-Dimensional Dynamical System”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 4:3 (1982), 366–393.Hairer E., Nørsett S. P., Wanner G., Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.Hairer E., Nørsett S. P., Wanner G., Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.Cheney W., Kincaid D., Linear Algebra: Theory and Applications, Sudbury, Mass: Jones and Bartlett Publishers, 2009.Cheney W., Kincaid D., Linear Algebra: Theory and Applications, Sudbury, Mass: Jones and Bartlett Publishers, 2009.Нуссбаумер Г., Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток, Радио и связь, 1985;Nussbaumer H. J., Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1981.Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора”, Дифференц. уравнения, 41:2 (2005), 268–273;Glyzin D. S., Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor”, Differ. Equ., 41:2 (2005), 284–289.Aleshin S. V., Glyzin D. S., Glyzin S. D., Goryunov V. E., “Estimation of Lyapunov Exponents for Quasi-Stable Attractors of Dynamical Systems with Time Delay.”, Journal of Physics: Conference Series, 1163 (2019), 012045.Aleshin S. V., Glyzin D. S., Glyzin S. D., Goryunov V. E., “Estimation of Lyapunov Exponents for Quasi-Stable Attractors of Dynamical Systems with Time Delay.”, Journal of Physics: Conference Series, 1163 (2019), 012045.Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., “Violation of Hyperbolicity in a Diffusive Medium with Local Hyperbolic Attractor”, Phys. Rev. E., 80 (2009), 01620513.Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., “Violation of Hyperbolicity in a Diffusive Medium with Local Hyperbolic Attractor”, Phys. Rev. E., 80 (2009), 01620513.Hutchinson G. E., “Circular Causal Systems in Ecology”, Ann. N.Y. Acad. Sci., 50 (1948), 221–246.Hutchinson G. E., “Circular Causal Systems in Ecology”, Ann. N.Y. Acad. Sci., 50 (1948), 221–246.Hale J., Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag New York, 1977.Hale J., Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag New York, 1977.Wright E. M., “A Non-Linear Difference-Differential Equation”, J. Reine Angew. Math., 194 (1955), 66–87. https://www.mais-journal.ru/jour/editor/submissionEngCit/1277Wright E. M., “A Non-Linear Difference-Differential Equation”, J. Reine Angew. Math., 194 (1955), 66–87.Kakutani S., Markus L., “On the Nonlinear Difference-Differential Equation y'(t) = (A — By(t — t))y(t)”, Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, 4 (1958), 1-18.Kakutani S., Markus L., “On the Nonlinear Difference-Differential Equation y'(t) = (A — By(t — t))y(t)”, Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, 4 (1958), 1-18.Кащенко С. А., “К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона”, Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль: ЯрГУ, 1985, 55–62;Kaschenko S. A., “K voprosu ob otsenke v prostranstve parametrov oblasti global’noy ustoychivosti uravneniya Khatchinsona”, Nelineynye kolebaniya v zadachakh ekologii. Yaroslavl: YarGU, 1985, 55–62, (in Russian).Кащенко С. А., “Асимптотика решений обобщённого уравнения Хатчинсона”, Модел. и анализ информ. систем, 19:3 (2012), 32–62.Kaschenko S. A., “Asymptotics of Solutions of the Generalized Hutchinson’s Equation”, Modeling and Analysis of Information Systems, 19:3 (2012), 32–62, (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.