maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-1-73-88mais-129Research ArticleОригинальные статьиArticlesЛокальная динамика логистического уравнения, содержащего запаздываниеLocal Dynamics of a Logistic Equation with DelayАлешинСергей ВладимировичAleshinS. V.

ассистент,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

ассистент,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

fktiby@yandex.ruКащенкоСергей АлександровичKaschenkoS. A.

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kash@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2014200220142117388Copyright © Алешин С.В., Кащенко С.А., 20142014Алешин С.В., Кащенко С.А.Aleshin S.V., Kaschenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/129

Рассматривается логистическое уравнение с добавлением слагаемого, ха- рактеризующего запаздывание. Исследуется локальная динамика этого уравнения. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия. Используются стандартные бифуркационные методы Андронова– Хопфа для уравнений с запаздыванием и разработанный одним из авторов асимптотический метод, основанный на построении специальных эволюционных уравнений, которые и определяют локальную динамику уравнений, содержащих запаздывание. Показано, что в зависимости от одного из параметров уравнения либо все решения стремятся к состоянию равновесия, либо выходят на единственный устойчивый цикл. Приведены результаты численного исследования. Отмечено хорошее совпадение результатов численного моделирования с утверждениями аналитического плана.

We considered a logistic equation with delay and studied its local dynamics. The critical cases have been found in the problem of the equilibrium state stability. We applied standard Andronov-Hopf biffurcation methods for delay differential equations and an asymptotic method, developed by one of the authors, based on the construction of special evolution equations that define the local dynamics equations with delay. It is shown that all solutions of the equation tend to an equilibrium state or result in a single stable cycle. The results of numerical modelling are presented in this paper. The study has proved that analytical and numerical modeling results have a good correlation.

логистическое уравнениерелаксационный циклнормальная формасостояние равновесияlogistic equationrelaxation cyclenormal fornequilibrium stateС.Д.ГлызинReferencesKakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y'(t) = (a − by(t − τ ))y(t). Contributions to the theory of non-linear oscillations // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. Princeton, 1958. Vol. IV. P. 1–18.Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y'(t) = (a − by(t − τ ))y(t). Contributions to the theory of non-linear oscillations // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. Princeton, 1958. Vol. IV. P. 1–18.Jones G.S. The existence of periodic solutions of f'(x) = −αf(x−1)[1 +f(x)] // T. Math. Anal. and Appl. 1962. Vol. 5. P. 435–450.Jones G.S. The existence of periodic solutions of f'(x) = −αf(x−1)[1 +f(x)] // T. Math. Anal. and Appl. 1962. Vol. 5. P. 435–450.Kashchenko S.A. Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation // Automatic Control and Computer Science. 2013. Vol. 47, No 7. P. 470–494.Kashchenko S.A. Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation // Automatic Control and Computer Science. 2013. Vol. 47, No 7. P. 470–494.Кащенко С.А. О периодических решениях уравнения x'(t) = −lx(t − 1)[1 + x(t)] // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 110–117. (Kashchenko S.A. O periodicheskikh resheniyakh uravneniya x'(t) = −lx(t−1)[1+x(t)] // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl: YarGU, 1978. S. 110–117 [in Russian]).Кащенко С.А. О периодических решениях уравнения x'(t) = −lx(t − 1)[1 + x(t)] // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 110–117. (Kashchenko S.A. O periodicheskikh resheniyakh uravneniya x'(t) = −lx(t−1)[1+x(t)] // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl: YarGU, 1978. S. 110–117 [in Russian]).Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Диф. уравнения. 1989. Т. 25, №8. С. 1448–1451. (Kashchenko S.A. Primenenie metoda normalizatsii k izucheniyu dinamiki differentsialno-raznostnykh uravneniy s malym mnozhitelem pri proizvodnoy // Dif. uravneniya. 1989. T. 25, №8. S. 1448–1451 [in Russian]).Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Диф. уравнения. 1989. Т. 25, №8. С. 1448–1451. (Kashchenko S.A. Primenenie metoda normalizatsii k izucheniyu dinamiki differentsialno-raznostnykh uravneniy s malym mnozhitelem pri proizvodnoy // Dif. uravneniya. 1989. T. 25, №8. S. 1448–1451 [in Russian]).Kaschenko S.A. Normalisation in the systems with small diffusion // Int. J. of Bifurcation and chaos. 1996. V. 6, №7. P. 1093–1109.Kaschenko S.A. Normalisation in the systems with small diffusion // Int. J. of Bifurcation and chaos. 1996. V. 6, №7. P. 1093–1109.Кащенко С.А. Уравнения Гинзбурга–Ландау — нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал Вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. №3. С. 457–465. (English transl.: Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. 38:3. P. 443–451).Кащенко С.А. Уравнения Гинзбурга–Ландау — нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал Вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. №3. С. 457–465. (English transl.: Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. 38:3. P. 443–451).Кащенко И.С. Асимптотический анализ поведения решений уравнения с большим запаздыванием // Доклады Академии Наук. 2008. Т. 421, №5. С. 586–589. (English transl.: Kashchenko I.S. Asymptotic analysis of the behavior of solutions to equations with large delay // Doklady Mathematics. 2008. Vol. 78, №1. P. 570–573).Кащенко И.С. Асимптотический анализ поведения решений уравнения с большим запаздыванием // Доклады Академии Наук. 2008. Т. 421, №5. С. 586–589. (English transl.: Kashchenko I.S. Asymptotic analysis of the behavior of solutions to equations with large delay // Doklady Mathematics. 2008. Vol. 78, №1. P. 570–573).Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал Вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. №1. С. 76–89. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2009. V. 49, № 1. P. 71–83.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал Вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. №1. С. 76–89. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2009. V. 49, № 1. P. 71–83.)Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian]).Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian]).Hale J. Theory of Functional Differential Equations // Springer-Verlag, 1977.Hale J. Theory of Functional Differential Equations // Springer-Verlag, 1977.Hartman Ph. Ordinary differential equations // New York, Wiley, 1964.Hartman Ph. Ordinary differential equations // New York, Wiley, 1964.Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. (Bryuno A.D. Lokalnyy metod nelineynogo analiza differentsialnykh uravneniy. M.: Nauka, 1979 [in Russian]).Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. (Bryuno A.D. Lokalnyy metod nelineynogo analiza differentsialnykh uravneniy. M.: Nauka, 1979 [in Russian]).Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Локальные методы анализа динамических систем: учебное пособие. Ярославль: ЯрГУ, 2006. 92 c. (Glyzin S.D., Kolesov A.Yu. Lokalnye metody analiza dinamicheskikh sistem: uchebnoe posobie. Yaroslavl: YarGU, 2006. 92 c. [in Russian]).Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Локальные методы анализа динамических систем: учебное пособие. Ярославль: ЯрГУ, 2006. 92 c. (Glyzin S.D., Kolesov A.Yu. Lokalnye metody analiza dinamicheskikh sistem: uchebnoe posobie. Yaroslavl: YarGU, 2006. 92 c. [in Russian]).Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. (Bautin N.N., Leontovich E.A. Metody i priemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskikh sistem na ploskosti. M.: Nauka, 1990 [in Russian]).Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. (Bautin N.N., Leontovich E.A. Metody i priemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskikh sistem na ploskosti. M.: Nauka, 1990 [in Russian]).Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, № 3. P. 96 – 116 [in Russian]).Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, № 3. P. 96 – 116 [in Russian]).Hairer E., Wanner G., Norsett S.P. Solving Ordinary Differential Equations 1 (Springer Series in Computational Mathematics): Nonstiff Problems. 2ed., revised, Springer, 2008.Hairer E., Wanner G., Norsett S.P. Solving Ordinary Differential Equations 1 (Springer Series in Computational Mathematics): Nonstiff Problems. 2ed., revised, Springer, 2008.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.