maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2020-1-124-131mais-1293Research ArticleDiscrete Mathematics in Relation to Computer ScienceВычисление производных в пространствах Lp, 1 ≤ p ≤ ∞Calculation of Derivatives in the Lp Spaces where 1 ≤ p ≤ ∞https://orcid.org/0000-0001-9940-159XМорозовАнатолий НиколаевичMorozovAnatoly Nikolaevich

канд. физ.-мат. наук, доцент

PhD

moroz@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваРоссияP. G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation202019032020271124131Copyright © Морозов А.Н., 20202020Морозов А.Н.Morozov A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/1293

В функциональном анализе хорошо известно рассуждение о построении производных \(k\)-го порядка в пространствах Соболева \(W_p^k\) при помощи распространения оператора \(k\)-кратного дифференцирования с пространства \(C^k.\) В то же время имеется определение \((k,p)\)-дифференцируемости функции в индивидуальной точке, основанное на соответствующего порядка бесконечно малом отличии функции от приближающего её алгебраического многочлена \(k\)-ой степени в окрестности этой точки по норме пространства \(L_p.\) Целью данной статьи является исследование согласованности операторного и локального построений производной и непосредственное их вычисление. Функция \(f\in L_p[I], \;p>0,\) (при \(p=\infty\) рассматриваются измеримые ограниченные на отрезке \(I\) функции) называется \((k,p)\)-дифференцируемой в точке \(x \in I,\) если существует алгебраический многочлен \(\pi\) степени не больше \(k,\) для которого выполняется \( \Vert f-\pi \Vert_{L_p[J_h]} = o(h^{k+\frac{1}{p}}),\) где \(\;J_h=[x-h; x+h]\cap I.\) Во внутренней точке при \(k=1\) и \(p=\infty\) это равносильно определению обычной дифференцируемости функции. Обсуждаемое понятие исследовалось и применялось в работах С. Н. Бернштейна [1], А. П. Кальдерона и А. Зигмунда [2]. В статье автора [3] показано, что равномерная \((k,p)\)-дифференцируемость функции на отрезке \(I\) при некотором \(\; p\ge 1,\) равносильна принадлежности этой функции пространству \(C^k[I]\) (существованию эквивалентной функции в \(C^k[I]\)). В настоящей статье построены интегрально-разностные выражения для вычисления обобщённых локальных производных натурального порядка в пространстве \(L_1\) (следовательно, в пространствах \(L_p, \;1\le p\le\infty\)), а на их основе -- последовательности кусочно-постоянных функций, подчинённых равномерным разбиениям отрезка. Показано, что для функции \(f\) из пространства \(W_p^k\) последовательность кусочно-постоянных функций, определённых посредством интегрально-разностных выражений \(k\)-го порядка, сходится к \(f^{(k)}\) по норме пространства \(L_p[I].\) Построения имеют алгоритмический характер, и могут быть применены в численном исследовании на ЭВМ различных дифференциальных моделей.

It is well known in functional analysis that construction of \(k\)-order derivative in Sobolev space \(W_p^k\) can be performed by spreading the \(k\)-multiple differentiation operator from the space \(C^k.\) At the same time there is a definition of \((k,p)\)-differentiability of a function at an individual point based on the corresponding order of infinitesimal difference between the function and the approximating algebraic polynomial \(k\)-th degree in the neighborhood of this point on the norm of the space \(L_p\). The purpose of this article is to study the consistency of the operator and local derivative constructions and their direct calculation. The function \(f\in L_p[I], \;p>0,\) (for \(p=\infty\), we consider measurable functions bounded on the segment \(I\) ) is called \((k; p)\)-differentiable at a point \(x \in I\;\) if there exists an algebraic polynomial of \(\;\pi\) of degree no more than \(k\) for which holds \( \Vert f-\pi \Vert_{L_p[J_h]} = o(h^{k+\frac{1}{p}}), \) where \(\;J_h=[x_0-h; x_0+h]\cap I.\) At an internal point for \(k = 1\) and \(p = \infty\) this is equivalent to the usual definition of the function differentiability. The discussed concept was investigated and applied in the works of S. N. Bernshtein [1], A. P. Calderon and A. Sigmund [2]. The author's article [3] shows that uniform \((k, p)\)-differentiability of a function on the segment \(I\) for some \(\; p\ge 1\) is equivalent to belonging the function to the space \(C^k[I]\) (existence of an equivalent function in \(C^k[I]\)). In present article, integral-difference expressions are constructed for calculating generalized local derivatives of natural order in the space \(L_1\) (hence, in the spaces \(L_p,\; 1\le p\le \infty\)), and on their basis - sequences of piecewise constant functions subordinate to uniform partitions of the segment \(I\). It is shown that for the function \( f \) from the space  \( W_p^k \) the sequence piecewise constant functions defined by integral-difference \(k\)-th order expressions converges to  \( f^{(k)} \) on the norm of the space \( L_p[I].\) The constructions are algorithmic in nature and can be applied in numerical computer research of various differential models.

Дифференцируемость функции в пространствах Lpразностные выражения для пространства L1численное нахождение производных на ЭВМраспространение оператора дифференцированияDifferentiability of Function in the Spaces LpDifferences for the Space L1Numerical Finding of Derivatives on a Computerthe Spreading of the Differentiation OperatorReferencesS. Bernstein, “On the Qestion of Local Best Approximation of Functions”, in Dokl. USSR Acad. Sci, vol. 26, 1940, pp. 839–842.S. Bernstein, “On the Qestion of Local Best Approximation of Functions”, in Dokl. USSR Acad. Sci, vol. 26, 1940, pp. 839–842.A. Calderon and A. Zygmund, “Local properties of solutions of elliptic partial differential equations”, ´in Selected Papers of Antoni Zygmund, Springer, 1989, pp. 285–339.A. Calderon and A. Zygmund, “Local properties of solutions of elliptic partial differential equations”, ´in Selected Papers of Antoni Zygmund, Springer, 1989, pp. 285–339.A. Morozov, “On Taylor Differentiability in the Spaces Lp, 0 < p ≤ ∞”, Modeling and analysis of inform. systems, vol. 25, no. 3, pp. 323–330, 2018.A. Morozov, “On Taylor Differentiability in the Spaces Lp, 0 < p ≤ ∞”, Modeling and analysis of inform. systems, vol. 25, no. 3, pp. 323–330, 2018.A. Morozov, “Local approximations of differentiable functions.”, Math. Notes, vol. 100, no. 2, pp. 256–262, 2016.A. Morozov, “Local approximations of differentiable functions.”, Math. Notes, vol. 100, no. 2, pp. 256–262, 2016.V. Abilov and F. Abilova, “Problems in the approximation of 2 π-periodic functions by Fourier sums in the space L2(2 π)”, Math. Notes, vol. 76, pp. 749–757, 2004.V. Abilov and F. Abilova, “Problems in the approximation of 2 π-periodic functions by Fourier sums in the space L2(2 π)”, Math. Notes, vol. 76, pp. 749–757, 2004.A. Khromov and G. Khromova, “Discontinuous Steklov operators in the problem of uniform approximation of derivatives on an interval”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 54, no. 9, pp. 1389–1394, 2014.A. Khromov and G. Khromova, “Discontinuous Steklov operators in the problem of uniform approximation of derivatives on an interval”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 54, no. 9, pp. 1389–1394, 2014.V. Dzyadyk, Introduction to the theory of uniform approximation of functions by polynomials. Nauka, 1977.V. Dzyadyk, Introduction to the theory of uniform approximation of functions by polynomials. Nauka, 1977.L. Schumaker, Spline Functions: Basic Theory. Wiley, New York, 1981.L. Schumaker, Spline Functions: Basic Theory. Wiley, New York, 1981.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.