maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-1-89-93mais-130Research ArticleОригинальные статьиArticlesПрименение принципа усреднения к логистическому уравнению с быстро осциллирующим запаздываниемApplying the Averaging Principle to a Logistic Equation with Rapidly Oscillating DelayБыковаНадежда ДмитриевнаBykovaN. D.

аспирант,

115409, Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31;

ассистент,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

аспирант,

Kashirskoye shosse, 31, Moscow, 115409, Russia;

ассистент,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

n.bykova90@gmail.comГригорьеваЕлена ВикторовнаGrigorievaE. V.

доктор физ.-мат. наук, профессор,

220070 Минск, Республика Беларусь, Партизанский проспект, 26

доктор физ.-мат. наук, профессор,

Partizanskii av., 26, Minsk, 220070, Belarus

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»; Ярославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияNational Research Nuclear University MEPhI; P.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian FederationБелорусский государственный экономический университетБеларусьBelarus State Economical UniversityBelarus2014200220142118993Copyright © Быкова Н.Д., Григорьева Е.В., 20142014Быкова Н.Д., Григорьева Е.В.Bykova N.D., Grigorieva E.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/130

Рассматривается вопрос о локальной динамике логистического уравнения с быстро осциллирующим периодическим по времени кусочно-постоянным коэффициентом запаздывания. Показано, что усредненным уравнением является логистическое уравнение с двумя запаздываниями. Получен критерий устойчивости состояния равновесия. Рассмотрен вопрос о динамических свойствах исходного уравнения при условии, когда в усредненном уравнении реализуется критический случай в задаче об устойчивости стационара. Установлено, что при увеличении частоты колебаний коэффициента запаздывания может происходить неограниченный процесс «рождения» и «гибели» установленных режимов.

The problem about the local dynamics of the logistic equation with rapidly oscillating time-periodic piecewise constant coefficient of delay was considered. It was shown that the averaged equation is a logistic equation with two delays. The criterion of equilibrium point stability was obtained. Dynamical properties of the original equation was considered provided that the critical case of equilibrium point stability problem was implemented. It was found that an increase of delay coefficient oscillation frequency may lead to an unlimited process of “birth” and “death” steady mode.

усреднениеустойчивостьнелинейная динамикаметод нормальных формaveragingstabilitynonlinear dynamicsnormal formбазовая часть государственного задания на НИР ЯрГУReferencesWu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. SpringerVerlag, 1996.Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. SpringerVerlag, 1996.Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958. 408 с. (English transl.: Bogoliubov N.N., Mitropolsky Y.A. Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. New York, Gordon and Breach, 1961. 573 p.)Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958. 408 с. (English transl.: Bogoliubov N.N., Mitropolsky Y.A. Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. New York, Gordon and Breach, 1961. 573 p.)Колесов Ю.С., Колесов В.С., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1979. 162 с. (Kolesov Yu.S., Kolesov V.S., Fedik I.I. Avtokolebaniya v sistemakh s raspredelennymi parametrami. Kiev: Naukova dumka, 1979. 162 s. [in Russian]).Колесов Ю.С., Колесов В.С., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1979. 162 с. (Kolesov Yu.S., Kolesov V.S., Fedik I.I. Avtokolebaniya v sistemakh s raspredelennymi parametrami. Kiev: Naukova dumka, 1979. 162 s. [in Russian]).Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1974. 10. № 10. С. 1778-1788. (Kolesov Yu.S., Mayorov V.V. Novyy metod issledovaniya ustoychivosti resheniy lineynykh differentsial’nykh uravneniy s blizkimi k postoyannym pochti periodicheskimi koeffitsientami // Differentsialnye uravneniya. 1974. 10. № 10. S. 1778–1788 [in Russian]).Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1974. 10. № 10. С. 1778-1788. (Kolesov Yu.S., Mayorov V.V. Novyy metod issledovaniya ustoychivosti resheniy lineynykh differentsial’nykh uravneniy s blizkimi k postoyannym pochti periodicheskimi koeffitsientami // Differentsialnye uravneniya. 1974. 10. № 10. S. 1778–1788 [in Russian]).Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian]).Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian]).Кащенко С.А., Майоров В.В. Алгоритм исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с последействием и быстро осциллирующими коэффициентами // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1977. С. 70–81. (Kashchenko S.A., Mayorov V.V. Algoritm issledovaniya ustoychivosti resheniy lineynykh differentsial’nykh uravneniy s posledeystviem i bystro ostsilliruyushchimi koeffitsientami // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1977. S. 70–81 [in Russian]).Кащенко С.А., Майоров В.В. Алгоритм исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с последействием и быстро осциллирующими коэффициентами // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1977. С. 70–81. (Kashchenko S.A., Mayorov V.V. Algoritm issledovaniya ustoychivosti resheniy lineynykh differentsial’nykh uravneniy s posledeystviem i bystro ostsilliruyushchimi koeffitsientami // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1977. S. 70–81 [in Russian]).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.