maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-1-94-114mais-131Research ArticleОригинальные статьиArticlesАсимптотика установившихся режимов конечно-разностных аппроксимаций логистического уравнения с запаздыванием и с малой диффузиейAsymptotics of a Steady-State Condition of Finite-Difference Approximation of a Logistic Equation with Delay and Small DiffusionКащенкоСергей АлександровичKaschenkoS. A.

150000, Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14;

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования,

115409, Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia;

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования,

Kashirskoye shosse, 31, Moscow, 115409, Russia

kasch@uniyar.ac.ruФроловВалерий ЕвгеньевичFrolovV. E.

аспирант,

115409, Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31

аспирант,

Kashirskoye shosse, 31, Moscow, 115409, Russia

onsol.tu@gmail.comНациональный исследовательский ядерный университет «МИФИ»; Ярославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University; National Research Nuclear University MEPhIRussian FederationНациональный исследовательский ядерный университет «МИФИ»РоссияNational Research Nuclear University MEPhIRussian Federation20142002201421194114Copyright © Кащенко С.А., Фролов В.Е., 20142014Кащенко С.А., Фролов В.Е.Kaschenko S.A., Frolov V.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/131

Исследуется динамика конечно-разностной аппроксимации по пространственным переменным логистического уравнения с запаздыванием и диффузией. Предполагается, что коэффициент диффузии является малым, а мальтузианский коэффициент — большой. Специальными асимптотическими методами исследован вопрос о существовании и асимптотике аттракторов. Показано, что в фазовом пространстве существует богатое множество аттракторов различных типов: ведущие центры, системы спиральных волн и т.д. Приведены основные асимптотические характеристики всех решений из соответствующих аттракторов. Представлены типовые графики движения фронтов волн различной структуры.

We study the dynamics of finite-difference approximation on spatial variables of a logistic equation with delay and diffusion. It is assumed that the diffusion coefficient is small and the Malthusian coefficient is large. The question of the existence and asymptotic behavior of attractors was studied with special asymptotic methods. It is shown that there is a rich array of different types of attractors in the phase space: leading centers, spiral waves, etc. The main asymptotic characteristics of all solutions from the corresponding attractors are adduced in this work. Typical graphics of wave fronts motion of different structures are represented in the article.

логистическое уравнениеаттракторведущий центрспиральные волныасимптотикаустойчивостьlogistic equationattractorguiding centerhelicon wavesasymptoticsstabilityReferencesDiekmann O. Run for your life, a note on the asymptotic speed of propagation of an epidemic// J. Differ. Equations. 1979. V. 33. C. 58–73.Diekmann O. Run for your life, a note on the asymptotic speed of propagation of an epidemic// J. Differ. Equations. 1979. V. 33. C. 58–73.Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics // Mathematics in science and engineering. New York: Academic Press, 1993. 191 p.Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics // Mathematics in science and engineering. New York: Academic Press, 1993. 191 p.May R.M. Stability and complexity in model ecosystems. Princeton: Princeton University Press, 1975.May R.M. Stability and complexity in model ecosystems. Princeton: Princeton University Press, 1975.Murray J.D. Mathematical biology. Berlin-Heidelberrg-New York: Springer, 1993.Murray J.D. Mathematical biology. Berlin-Heidelberrg-New York: Springer, 1993.Wu J.H. Theory and applications of partial functional differential equations// Appl. Math. Sci. 1996. 119 p.Wu J.H. Theory and applications of partial functional differential equations// Appl. Math. Sci. 1996. 119 p.Wu J.H., Zou X.F. Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay// J. Dyn. Differ. Equations. 2001. 13. P. 651–687.Wu J.H., Zou X.F. Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay// J. Dyn. Differ. Equations. 2001. 13. P. 651–687.Zou X.F., Wu J.H. Existence of traveling wave fronts in delay reaction-diffusion system via monotone iteration method// Proc. Am. Math. Soc. 1997. 125. P. 2589–2598.Zou X.F., Wu J.H. Existence of traveling wave fronts in delay reaction-diffusion system via monotone iteration method// Proc. Am. Math. Soc. 1997. 125. P. 2589–2598.Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Dordrecht: Kluwer, 1992.Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Dordrecht: Kluwer, 1992.Gourley S. A., So J. W.-H., Wu Jian Hong. Nonlocality of Reaction-Diffusion Equations Induced by Delay // Biological Modeling and Nonlinear Dynamics. Part 1, CMFD, 1, MAI, M., 2003. P. 84—120.Gourley S. A., So J. W.-H., Wu Jian Hong. Nonlocality of Reaction-Diffusion Equations Induced by Delay // Biological Modeling and Nonlinear Dynamics. Part 1, CMFD, 1, MAI, M., 2003. P. 84—120.Kolmogorov K., Petrovskii I., Piskunov N. E´tude de l’e´quations de la diffusion avec crossance de la quantite´ et son application a un probleme biologique// Buul. Univ. Moscow, Ser. Intenat. Sec. 1937. 1, №6. P. 1–250.Kolmogorov K., Petrovskii I., Piskunov N. E´tude de l’e´quations de la diffusion avec crossance de la quantite´ et son application a un probleme biologique// Buul. Univ. Moscow, Ser. Intenat. Sec. 1937. 1, №6. P. 1–250.Колесов Ю.С., Майоров В.В. Пространственная и временная самоорганизация в одновидовом биоценозе// Динамика биологических популяций: Межвуз. cб. Горький, 1986. С. 3–13 (Kolesov Yu.S., Maiorov V.V. Prostranstvennaja i vremennaja samoorganizacija v odnovidovom biocenoze // Dinamika biologicheskih populjacij: Mejvuz. sb. Gorkii, 1986. S. 3–13 [in Russian]).Колесов Ю.С., Майоров В.В. Пространственная и временная самоорганизация в одновидовом биоценозе// Динамика биологических популяций: Межвуз. cб. Горький, 1986. С. 3–13 (Kolesov Yu.S., Maiorov V.V. Prostranstvennaja i vremennaja samoorganizacija v odnovidovom biocenoze // Dinamika biologicheskih populjacij: Mejvuz. sb. Gorkii, 1986. S. 3–13 [in Russian]).Колесов Ю. С. Математические модели в экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1979. С. 3–40 (Kolesov Yu.S. Matematicheskie modeli v ekologii // Issledovanija po ustojchivosti i teorii kolebanij. Yaroslavl, 1979. S. 3–40 [in Russian]).Колесов Ю. С. Математические модели в экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1979. С. 3–40 (Kolesov Yu.S. Matematicheskie modeli v ekologii // Issledovanija po ustojchivosti i teorii kolebanij. Yaroslavl, 1979. S. 3–40 [in Russian]).Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987 (Svirejev Yu. M. Nelinejnye volny, dissipativnye struktury i katastrofy v ekologii. M.: Nauka, 1987 [in Russian]).Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987 (Svirejev Yu. M. Nelinejnye volny, dissipativnye struktury i katastrofy v ekologii. M.: Nauka, 1987 [in Russian]).Кащенко С.А. Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией // Мат. модел. 1990. Т. 2, №9 (English transl.: Kashchenko S.A. Spatial heterogeneous structures in the simplest models with delay and diffusion// Matem. mod. 1990. V. 2, №9. P. 49-–69).Кащенко С.А. Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией // Мат. модел. 1990. Т. 2, №9 (English transl.: Kashchenko S.A. Spatial heterogeneous structures in the simplest models with delay and diffusion// Matem. mod. 1990. V. 2, №9. P. 49-–69).Горяченко В.Д., Колчин В.А. К динамике численности отдельной популяции с учётом запаздывания в размножении // Нелинейные колебания в задачах экологии: Межвуз. сб. Ярославль, 1985. С. 23–44 (Goryachenko V.D., Kolchin V.A. K dinamike chislennosti otdel’noj populjacii s uchjotom zapazdyvanija v razmnozhenii // Nelinejnye kolebanija v zadachah ekologii: Mejvuz. sb. Yaroslavl, 1985. S. 23–44 [in Russian]).Горяченко В.Д., Колчин В.А. К динамике численности отдельной популяции с учётом запаздывания в размножении // Нелинейные колебания в задачах экологии: Межвуз. сб. Ярославль, 1985. С. 23–44 (Goryachenko V.D., Kolchin V.A. K dinamike chislennosti otdel’noj populjacii s uchjotom zapazdyvanija v razmnozhenii // Nelinejnye kolebanija v zadachah ekologii: Mejvuz. sb. Yaroslavl, 1985. S. 23–44 [in Russian]).Горяченко В.Д., Золотарев С.Л. Исследование двухточечной модели динамики численности популяции // Динамика биологических популяций: Межвуз. сб. Горький, 1986. С. 24–31. (Goryachenko V.D., Zolotarev S.L. Issledovanie dvuhtochechnoj modeli dinamiki chislennosti populjacii // Dinamika biologicheskih populjacij: Mejvuz. Sb. Gorkii, 1986. S. 24–31 [in Russian]).Горяченко В.Д., Золотарев С.Л. Исследование двухточечной модели динамики численности популяции // Динамика биологических популяций: Межвуз. сб. Горький, 1986. С. 24–31. (Goryachenko V.D., Zolotarev S.L. Issledovanie dvuhtochechnoj modeli dinamiki chislennosti populjacii // Dinamika biologicheskih populjacij: Mejvuz. Sb. Gorkii, 1986. S. 24–31 [in Russian]).Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Конечномерные модели диффузионного хаоса // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 5. С. 860–875. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Finitedimensional models of diffusion chaos // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50. No 5. P. 816–830.)Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Конечномерные модели диффузионного хаоса // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 5. С. 860–875. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Finitedimensional models of diffusion chaos // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50. No 5. P. 816–830.)Глызин С. Д. Размерностные характеристики диффузионного хаоса // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. С. 30–51. (Glyzin S.D. Dimensional Characteristics of Diffusion Chaos // Modeling and Analysis of Information Systems. 2013. V. 20, No 1. P. 30–51 [in Russian]).Глызин С. Д. Размерностные характеристики диффузионного хаоса // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. С. 30–51. (Glyzin S.D. Dimensional Characteristics of Diffusion Chaos // Modeling and Analysis of Information Systems. 2013. V. 20, No 1. P. 30–51 [in Russian]).Кащенко С.А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально разностных уравнений, моделирующих задачу хищник-жертва // ДАН СССР. 1982. T. 266, №4. С. 792–795 (Kashchenko S.A. Issledovanie metodami bol’shogo parametra sistemy nelinejnyh differencial’no raznostnyh uravnenij, modelirujushhih zadachu hishhnik-zhertva // DAN SSSR. 1982. T. 266, No 4. S. 792–795 [in Russian]).Кащенко С.А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально разностных уравнений, моделирующих задачу хищник-жертва // ДАН СССР. 1982. T. 266, №4. С. 792–795 (Kashchenko S.A. Issledovanie metodami bol’shogo parametra sistemy nelinejnyh differencial’no raznostnyh uravnenij, modelirujushhih zadachu hishhnik-zhertva // DAN SSSR. 1982. T. 266, No 4. S. 792–795 [in Russian]).Кащенко С.А. Об установившихся режимах уравнения Хатчинсона с диффузией // ДАН СССР. 1987. Т. 292. №2. С. 327–330 (Kashchenko S.A. Ob ustanovivshihsja rezhimah uravnenija Hatchinsona s diffuziej // DAN SSSR. 1987. T. 292. №2. S. 327–330 [in Russian]).Кащенко С.А. Об установившихся режимах уравнения Хатчинсона с диффузией // ДАН СССР. 1987. Т. 292. №2. С. 327–330 (Kashchenko S.A. Ob ustanovivshihsja rezhimah uravnenija Hatchinsona s diffuziej // DAN SSSR. 1987. T. 292. №2. S. 327–330 [in Russian]).Колесов А.Ю. Об устойчивости пространственно однородного цикла в уравнении Хатчинсона с диффузией // Математические модели в биологии и медицине. Вып. 1. Вильнюс: Ин-т математики АН Лит. ССР. С. 93–103. (Kolesov Yu.S. Ob ustojchivosti prostranstvenno odnorodnogo cikla v uravnenii Hatchinsona s diffuziej // Matematicheskie modeli v biologii i medicine. Vilnus: In-t. math. An Lit. SSR. T. 1. S. 19 [in Russian]).Колесов А.Ю. Об устойчивости пространственно однородного цикла в уравнении Хатчинсона с диффузией // Математические модели в биологии и медицине. Вып. 1. Вильнюс: Ин-т математики АН Лит. ССР. С. 93–103. (Kolesov Yu.S. Ob ustojchivosti prostranstvenno odnorodnogo cikla v uravnenii Hatchinsona s diffuziej // Matematicheskie modeli v biologii i medicine. Vilnus: In-t. math. An Lit. SSR. T. 1. S. 19 [in Russian]).Bestehorn M., Grigorieva E. V., Haken H. and Kaschenko S. A. Order parameters for classB lasers with a a long time delayed feedback // Physica D. 2000. V. 145. P. 111–129.Bestehorn M., Grigorieva E. V., Haken H. and Kaschenko S. A. Order parameters for classB lasers with a a long time delayed feedback // Physica D. 2000. V. 145. P. 111–129.Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, № 3. P. 96–116 [in Russian].)Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, № 3. P. 96–116 [in Russian].)Глызин С. Д. Динамические свойства простейших конечноразностных аппроксимаций краевой задачи «реакция-диффузия» // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 6. С. 805–811. (English transl.: Glyzin S. D. Dynamic properties of the simplest finitedifference approximations of the “reaction-diffusion” boundary value problem // Differ. Equations. 1997. V. 33, No. 6. P. 808–814.)Глызин С. Д. Динамические свойства простейших конечноразностных аппроксимаций краевой задачи «реакция-диффузия» // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 6. С. 805–811. (English transl.: Glyzin S. D. Dynamic properties of the simplest finitedifference approximations of the “reaction-diffusion” boundary value problem // Differ. Equations. 1997. V. 33, No. 6. P. 808–814.)Владимиров В. В. и др. Управление риском. М.: Наука, 2000. 432 с. (Vladimirov V. V. Upravlenie riskom. M.: Nauka, 2000. 432 p. [in Russian]).Владимиров В. В. и др. Управление риском. М.: Наука, 2000. 432 с. (Vladimirov V. V. Upravlenie riskom. M.: Nauka, 2000. 432 p. [in Russian]).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.