Пусть $B$ - евклидов шар в ${\mathbb R}^n$, $C(B)$ - пространство непрерывных функций $f:B\to{\mathbb R}$ с равномерной нормой $\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|.$ Под $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ понимается совокупность многочленов от $n$ переменных степени $\leq 1$, то есть линейных функций на ${\mathbb R}^n$. Интерполяционный проектор $P:C(B)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$ c узлами $x^{(j)}\in B$ определяется равенствами $Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right)$, $j=1,\ldots, n+1$. Норма $P$ как оператора из $C(B)$ в~$C(B)$ вычисляется по формуле $\|P\|_B=\max_{x\in B}\sum |\lambda_j(x)|,$ где $\lambda_j$ - базисные многочлены Лагранжа невырожденного $n$-мерного симплекса с вершинами $x^{(j)}$. Пусть $P^\prime$ - проектор, узлы которого совпадают с вершинами правильного симплекса, вписанного в шар. В статье найдены точки $y\in B$, для которых $\|P^\prime\|_B=\sum |\lambda_j(y)|$. Формулируется геометрическая гипотеза, из справедливости которой следует, что $\|P^\prime\|_B$ есть минимальное значение нормы интерполяционного проектора, узлы которого принадлежат $B$. Доказывается, что эта гипотеза справедлива по крайней мере для $n=1,2,3,4$.
Let $B$ be a Euclidean ball in ${\mathbb R}^n$ and let $C(B)$ be a space of continuos functions $f:B\to{\mathbb R}$ with the uniform norm $\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|.$ By $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ we mean a set of polynomials of degree $\leq 1$, i.e., a set of linear functions upon ${\mathbb R}^n$. The interpolation projector $P:C(B)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$ with the nodes $x^{(j)}\in B$ is defined by the equalities $Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right)$, $j=1,\ldots, n+1$.The norm of $P$ as an operator from $C(B)$ to $C(B)$ can be calculated by the formula $\|P\|_B=\max_{x\in B}\sum |\lambda_j(x)|.$ Here $\lambda_j$ are the basic Lagrange polynomials corresponding to the $n$-dimensional nondegenerate simplex $S$ with the vertices $x^{(j)}$. Let $P^\prime$ be a projector having the nodes in the vertices of a regular simplex inscribed into the ball. We describe the points $y\in B$ with the property $\|P^\prime\|_B=\sum |\lambda_j(y)|$. Also we formulate some geometric conjecture which implies that $\|P^\prime\|_B$ is equal to the minimal norm of an interpolation projector with nodes in $B$. We prove that this conjecture holds true at least for $n=1,2,3,4$.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.