maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2021-3-238-249mais-1525Research ArticleTheory of ComputingИсследование нелинейных полиномиальных систем управленияThe Investigation of Nonlinear Polynomial Control Systemshttps://orcid.org/0000-0002-8106-9813ЧукановСергей НиколаевичChukanovSergei Nikolaevich

Доктор технических наук, профессор.

Омский филиал, ул. Певцова, д. 13, Омск, 644043

Doctor of Sciences in Engineering sciences, Professor.

Omsk branch, 13 Pevtsova str., Omsk 644043

ch_sn@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-9946-7484ЧукановИлья СтаниславовичChukanovIlya Stanislavovich

Студент.

Ул. Мира, д. 19, Екатеринбург, 620002

Student.

19 Mira st., Yekaterinburg 620002

chukanov022@gmail.comИнститут математики им. С.Л. Соболева, СО РАНРоссияSobolev Institute of Mathematics, SB RASRussian FederationУральский федеральный университетРоссияUral Federal UniversityRussian Federation202112102021283238249Copyright © Чуканов С.Н., Чуканов И.С., 20212021Чуканов С.Н., Чуканов И.С.Chukanov S.N., Chukanov I.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/1525

В работе рассматриваются методы оценивания устойчивости с помощью функций Ляпунова, применяемые для нелинейных полиномиальных систем управления. Для оценивания устойчивости используется аппарат метода базисов Грёбнера. Приводится описание метода базисов Грёбнера. Для применения метода канонические соотношении нелинейной системы аппроксимируются полиномами компонент векторов состоянии и управления. Для вычисления базиса Грёбнера применяется алгоритм Бухбергера, который реализован в программах символьных вычислений для решения систем нелинейных полиномиальных уравнений. Рассматривается использование базиса Грёбнера при нахождения решений нелинейной системы полиномиальных уравнений аналогично применению метода Гаусса для решения системы линейных уравнений. Определяются равновесные состояния нелинейной полиномиальной системы как решения нелинейной системы полиномиальных уравнений. Приводится пример определения равновесных состояний нелинейной полиномиальной системы с использованием метода базисов Грёбнера. Приводится пример нахождения критических точек нелинейной полиномиальной системы с использованием метода базисов Грёбнера и прикладного программного обеспечения Wolfram Mathematica. При использовании прикладного программного обеспечения Wolfram Mathematica применяется функция определения редуцированного базиса Грёбнера. Рассматривается применение метода базиса Грёбнера для оценивания области притяжения нелинейной динамической системы относительно точки равновесия. Для определения скалярного потенциала векторное поле динамической системы декомпозируется на градиентную и вихревую компоненты. По градиентному компоненту скалярный потенциал и функция Ляпунова в полиномиальной форме определяются на основе применения оператора гомотопии. Рассмотрено использование базисов Грёбнера при градиентном методе нахождения функции Ляпунова нелинейной динамической системы. Рассмотрено согласование сигналов ввода-вывода системы на основе построения базисов Грёбнера.

The paper considers methods for estimating stability using Lyapunov functions, which are used for nonlinear polynomial control systems. The apparatus of the Gro¨bner basis method is used to assess the stability of a dynamical system. A description of the Gro¨bner basis method is given. To apply the method, the canonical relations of the nonlinear system are approximated by polynomials of the components of the state and control vectors. To calculate the Gro¨bner basis, the Buchberger algorithm is used, which is implemented in symbolic computation programs for solving systems of nonlinear polynomial equations. The use of the Gro¨bner basis for finding solutions of a nonlinear system of polynomial equations is considered, similar to the application of the Gauss method for solving a system of linear equations. The equilibrium states of a nonlinear polynomial system are determined as solutions of a nonlinear system of polynomial equations. An example of determining the equilibrium states of a nonlinear polynomial system using the Gro¨bner basis method is given. An example of finding the critical points of a nonlinear polynomial system using the Gro¨bner basis method and the Wolfram Mathematica application software is given. The Wolfram Mathematica program uses the function of determining the reduced Gro¨bner basis. The application of the Gro¨bner basis method for estimating the attraction domain of a nonlinear dynamic system with respect to the equilibrium point is considered. To determine the scalar potential, the vector field of the dynamic system is decomposed into gradient and vortex components. For the gradient component, the scalar potential and the Lyapunov function in polynomial form are determined by applying the homotopy operator. The use of Gro¨bner bases in the gradient method for finding the Lyapunov function of a nonlinear dynamical system is considered. The coordination of input-output signals of the system based on the construction of Gro¨bner bases is considered.

нелинейные системыполиномиальные системыфункции Ляпуновабазисы Грёбнераnonlinear systemspolynomial systemsLyapunov functionsGro¨bner basesРабота выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАНThis work was supported by the Basic Research Program of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences No. I.5.1., Project No. 0314-2019-0020ReferencesN. N. Krasovsky, Problems of the Theory of Stability of Motion. Moscow: Mir, 1959.N. N. Krasovsky, Problems of the Theory of Stability of Motion. Moscow: Mir, 1959.A. Papachristodoulou and S. Prajna, “On the construction of Lyapunov functions using the sum of squares decomposition”, in Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control, 2002., IEEE, vol. 3, 2002, pp. 3482–3487.A. Papachristodoulou and S. Prajna, “On the construction of Lyapunov functions using the sum of squares decomposition”, in Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control, 2002., IEEE, vol. 3, 2002, pp. 3482–3487.K. Forsman, “Construction of Lyapunov functions using Gro¨bner bases”, in [1991] Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control, IEEE, 1991, pp. 798–799.K. Forsman, “Construction of Lyapunov functions using Gro¨bner bases”, in [1991] Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control, IEEE, 1991, pp. 798–799.S. N. Chukanov and D. V. Ulyanov, “Decomposition of the vector field of control system by constructing a homotopy operator”, Probl. Upr., vol. 6, pp. 2–6, 2012.S. N. Chukanov and D. V. Ulyanov, “Decomposition of the vector field of control system by constructing a homotopy operator”, Probl. Upr., vol. 6, pp. 2–6, 2012.D. G. Edelen, Applied Exterior Calculus. John Wiley & Sons, Inc., 1985.D. G. Edelen, Applied Exterior Calculus. John Wiley & Sons, Inc., 1985.X. Liao, L. Wang, and P. Yu, Stability of dynamical systems. Elsevier, 2007.X. Liao, L. Wang, and P. Yu, Stability of dynamical systems. Elsevier, 2007.H. K. Khalil, Nonlinear systems. Prentice hall, 2002.H. K. Khalil, Nonlinear systems. Prentice hall, 2002.D. Nesic, I. Mareels, T. Glad, and M. Jirstrand, “The Gro¨bner basis method in control design: An overview”, in IFAC Proceedings Volumes, vol. 35, 2002, pp. 13–18.D. Nesic, I. Mareels, T. Glad, and M. Jirstrand, “The Gro¨bner basis method in control design: An overview”, in IFAC Proceedings Volumes, vol. 35, 2002, pp. 13–18.B. Buchberger, “Ein algorithmisches Kriterium fu¨r die Lo¨sbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems”, Aequationes Muthematicae, vol. 4, no. 3, pp. 374–383, 1970.B. Buchberger, “Ein algorithmisches Kriterium fu¨r die Lo¨sbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems”, Aequationes Muthematicae, vol. 4, no. 3, pp. 374–383, 1970.J. L. Awange, B. Pala´ncz, R. H. Lewis, and L. Vo¨lgyesi, Mathematical Geosciences – Hybrid Symbolic-Numeric Methods. Springer International Publishers, 2018.J. L. Awange, B. Pala´ncz, R. H. Lewis, and L. Vo¨lgyesi, Mathematical Geosciences – Hybrid Symbolic-Numeric Methods. Springer International Publishers, 2018.S. Wolfram, The Mathematica Book. Wolfram Media, 2003.S. Wolfram, The Mathematica Book. Wolfram Media, 2003.M. Demenkov, “A Matlab tool for regions of attraction estimation via numerical algebraic geometry”, in 2015 International Conference on Mechanics-Seventh Polyakhov’s Reading, IEEE, 2015, pp. 1–5.M. Demenkov, “A Matlab tool for regions of attraction estimation via numerical algebraic geometry”, in 2015 International Conference on Mechanics-Seventh Polyakhov’s Reading, IEEE, 2015, pp. 1–5.N. Sidorov, D. Sidorov, and Y. Li, “Basins of attraction and stability of nonlinear systems equilibrium points”, Differential Equations and Dynamical Systems, pp. 1–10, 2019.N. Sidorov, D. Sidorov, and Y. Li, “Basins of attraction and stability of nonlinear systems equilibrium points”, Differential Equations and Dynamical Systems, pp. 1–10, 2019.D. G. Luenberger and Y. Ye, Linear and nonlinear programming. Springer, 2016.D. G. Luenberger and Y. Ye, Linear and nonlinear programming. Springer, 2016.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.