maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-5-5-24mais-171Research ArticleОригинальные статьиArticlesРелаксационные колебания в моделях многовидовых сообществRelaxation Oscillations in Models of Multi-Species BiocenoseКащенкоСергей АлександровичKaschenkoS. A.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kasch@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201320102013205524Copyright © Кащенко С.А., 20132013Кащенко С.А.Kaschenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/171

Рассматриваются семейства математических моделей биологических популяций. Выявлены инвариантные соотношения между параметрами, характеризующими ту или иную популяцию. Исследуются динамические свойства моделей в предположении, что одна или несколько популяций являются сильно плодовитыми, т.е. соответствующие мальтузианские коэффициенты достаточно велики. На основе разработанного автором специального асимптотического метода задачу о поведении решений исходных систем удается свести к существенно более простой задаче о динамике полученных конечномерных отображений. В частности, показано, что для решений этих отображений, а значит, и исходных систем уравнений характерны нерегулярные релаксационные ко- лебания. Интересно отметить, что амплитуды таких колебаний являются достаточно большими.

Some families of mathematical models of biological populations are considered. Invariant ratios between the parameters which characterize this or that population are revealed. Dynamic properties of models are investigated on the assumption that one or several populations are strongly prolific, which means that the corresponding malthusian coefficients are rather great. On the basis of a special asymptotic method developed by the author a problem of behavior of initial system solutions can be reduced to a significantly simpler problem of dynamics of the finite-dimensional mappings received. In particular, it is shown that irregular relaxation vibrations are typical for the solutions of these mappings and, as a result, for the solution of the initial equation systems. It is interesting to note that these viabrations are of big amplitudes.

релаксационные колебаниябольшой параметрасимптотикапериодическое решениеrelaxation oscillationslarge parameterasymptotic behaviorperiodic solutionReferencesКолесов А. Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // Тр. МИАН. Т. 199. М.: Наука, 1993. С. 3–124. (English transl.: Kolesov A. Yu., Kolesov Yu. S. Relaxational oscillations in mathematical models of ecology // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1995. V. 199. P. 1–126.)Колесов А. Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // Тр. МИАН. Т. 199. М.: Наука, 1993. С. 3–124. (English transl.: Kolesov A. Yu., Kolesov Yu. S. Relaxational oscillations in mathematical models of ecology // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1995. V. 199. P. 1–126.)Кащенко С. А. Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 64 – 85. (Kaschenko S. A. Asimptotika periodicheskogo resheniya obobshchonnogo uravneniya Hatchinsona // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl: YarGU, 1981. P. 64 – 85 [in Russian].)Кащенко С. А. Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 64 – 85. (Kaschenko S. A. Asimptotika periodicheskogo resheniya obobshchonnogo uravneniya Hatchinsona // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl: YarGU, 1981. P. 64 – 85 [in Russian].)Кащенко С.А. Асимптотика решений обобщённого уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 32 – 62. (Kaschenko S. A. Asymptotic of solutions of generalized Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, № 3. P. 32 – 62 [in Russian].)Кащенко С.А. Асимптотика решений обобщённого уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 32 – 62. (Kaschenko S. A. Asymptotic of solutions of generalized Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, № 3. P. 32 – 62 [in Russian].)Кащенко С.А. Стационарные режимы в задаче «хищник–жертва»: Препринт 84.54. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. 59 с. (Kaschenko S. A. Statsionarnyye rezhimy v zadache «khishchnik–zhertva»: Preprint 84.54. Kiev: Institute of Mathematics, Ukrainian Academy of Sciences, 1984. 59 p. [in Russian].)Кащенко С.А. Стационарные режимы в задаче «хищник–жертва»: Препринт 84.54. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. 59 с. (Kaschenko S. A. Statsionarnyye rezhimy v zadache «khishchnik–zhertva»: Preprint 84.54. Kiev: Institute of Mathematics, Ukrainian Academy of Sciences, 1984. 59 p. [in Russian].)Кащенко С.А. Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу «хищник—жертва» // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. С. 52 – 98. (Kaschenko S. A. Relaxation Oscillations in a System with Delays Modeling the Predator-Prey Problem // Modeling and Analysis of Information Systems. 2013. V. 20, № 1. P. 52 – 98 [in Russian].)Кащенко С.А. Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу «хищник—жертва» // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. С. 52 – 98. (Kaschenko S. A. Relaxation Oscillations in a System with Delays Modeling the Predator-Prey Problem // Modeling and Analysis of Information Systems. 2013. V. 20, № 1. P. 52 – 98 [in Russian].)Кащенко С.А. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых. Деп. ВИНИТИ 15.01.85, № 386 – 85. 32 с. (Kaschenko S. A. Issledovaniye statsionarnykh rezhimov differentsial’no-raznostnogo uravneniya dinamiki populyatsii nasekomykh. VINITI 15.01.85, № 386 – 85. 32 p. [in Russian].)Кащенко С.А. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых. Деп. ВИНИТИ 15.01.85, № 386 – 85. 32 с. (Kaschenko S. A. Issledovaniye statsionarnykh rezhimov differentsial’no-raznostnogo uravneniya dinamiki populyatsii nasekomykh. VINITI 15.01.85, № 386 – 85. 32 p. [in Russian].)Кащенко С.А. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 5. С. 18 – 34. (Kaschenko S. A. Stationary states of delay differentional equation of insect population’s dynamics // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, № 5. P. 18 – 34 [in Russian].)Кащенко С.А. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 5. С. 18 – 34. (Kaschenko S. A. Stationary states of delay differentional equation of insect population’s dynamics // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, № 5. P. 18 – 34 [in Russian].)Кащенко С.А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу «хищник-жертва» // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266, № 4. C. 792 – 795. (Kaschenko S. A. Issledovaniye metodami bol’shogo parametra sistemy nelineynykh differentsial’noraznostnykh uravneniy, modeliruyushchikh zadachu «khishchnik-zhertva» // Dokl. AN SSSR. 1982. T. 266, № 4. P. 792 – 795. [in Russian].)Кащенко С.А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу «хищник-жертва» // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266, № 4. C. 792 – 795. (Kaschenko S. A. Issledovaniye metodami bol’shogo parametra sistemy nelineynykh differentsial’noraznostnykh uravneniy, modeliruyushchikh zadachu «khishchnik-zhertva» // Dokl. AN SSSR. 1982. T. 266, № 4. P. 792 – 795. [in Russian].)Кащенко С.А. Стационарные режимы уравнения, описывающего колебания численности насекомых // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 2. С. 328 – 330. (Kaschenko S. A. Statsionarnyye rezhimy uravneniya, opisyvayushchego kolebaniya chislennosti nasekomykh // Dokl. AN SSSR. 1983. T. 273, № 2. P. 328 – 330. [in Russian].)Кащенко С.А. Стационарные режимы уравнения, описывающего колебания численности насекомых // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 2. С. 328 – 330. (Kaschenko S. A. Statsionarnyye rezhimy uravneniya, opisyvayushchego kolebaniya chislennosti nasekomykh // Dokl. AN SSSR. 1983. T. 273, № 2. P. 328 – 330. [in Russian].)Кащенко С.А. Вычисление инвариантов экологических уравнений // Математические модели в биологии и медицине. Вильнюс: Изд-во института математики и кибернетики АН Лит. ССР, 1985. Вып. 1. С. 7–14. (Kaschenko S. A. Vychisleniye invariantov ekologicheskikh uravneniy // Matematicheskiye modeli v biologii i meditsine. Vilnius: izdvo instituta matematiki i kibernetiki AN Lit. SSR, 1985. Vyp. 1. P. 7 – 14. [in Russian].)Кащенко С.А. Вычисление инвариантов экологических уравнений // Математические модели в биологии и медицине. Вильнюс: Изд-во института математики и кибернетики АН Лит. ССР, 1985. Вып. 1. С. 7–14. (Kaschenko S. A. Vychisleniye invariantov ekologicheskikh uravneniy // Matematicheskiye modeli v biologii i meditsine. Vilnius: izdvo instituta matematiki i kibernetiki AN Lit. SSR, 1985. Vyp. 1. P. 7 – 14. [in Russian].)Колесов Ю.С. Инварианты экологических уравнений // Математические модели в биологии и медицине. Институт математики и кибернетики АН Лит. ССР. Вильнюс, 1985. Вып. 1. С. 30 – 59. (Kolesov Yu.S. Invarianty ekologicheskikh uravneniy // Matematicheskiye modeli v biologii i meditsine. Vilnius: izd-vo instituta matematiki i kibernetiki AN Lit. SSR, 1985. Vyp. 1. P. 30 – 59. [in Russian].)Колесов Ю.С. Инварианты экологических уравнений // Математические модели в биологии и медицине. Институт математики и кибернетики АН Лит. ССР. Вильнюс, 1985. Вып. 1. С. 30 – 59. (Kolesov Yu.S. Invarianty ekologicheskikh uravneniy // Matematicheskiye modeli v biologii i meditsine. Vilnius: izd-vo instituta matematiki i kibernetiki AN Lit. SSR, 1985. Vyp. 1. P. 30 – 59. [in Russian].)Кащенко С.А. Сложные установившиеся режимы в динамике многовидовых сообществ // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1984. С. 30 – 47. (Kaschenko S. A. Slozhnyye ustanovivshiyesya rezhimy v dinamike mnogovidovykh soobshchestv // Dinamika biologicheskikh populyatsiy. Gorky: GGU, 1984. P. 30 – 47. [in Russian].)Кащенко С.А. Сложные установившиеся режимы в динамике многовидовых сообществ // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1984. С. 30 – 47. (Kaschenko S. A. Slozhnyye ustanovivshiyesya rezhimy v dinamike mnogovidovykh soobshchestv // Dinamika biologicheskikh populyatsiy. Gorky: GGU, 1984. P. 30 – 47. [in Russian].)Кащенко С.А. Асимптотический анализ релаксационных колебаний в простейших моделях динамики популяций // Прикладные проблемы теории колебаний. Горький: ГГУ, 1990. С. 114 – 119. (Kaschenko S. A. Asimptoticheskiy analiz relaksatsionnykh kolebaniy v prosteyshikh modelyakh dinamiki populyatsiy // Prikladnyye problemy teorii kolebaniy. Gorky: GGU, 1990. P 114 – 119. [in Russian].)Кащенко С.А. Асимптотический анализ релаксационных колебаний в простейших моделях динамики популяций // Прикладные проблемы теории колебаний. Горький: ГГУ, 1990. С. 114 – 119. (Kaschenko S. A. Asimptoticheskiy analiz relaksatsionnykh kolebaniy v prosteyshikh modelyakh dinamiki populyatsiy // Prikladnyye problemy teorii kolebaniy. Gorky: GGU, 1990. P 114 – 119. [in Russian].)Кащенко С.А. Биологическое объяснение некоторых законов функционирования простейших экосистем в экстремальных случаях // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1982. С. 85 – 103. (Kaschenko S. A. Biologicheskoye ob"yasneniye nekotorykh zakonov funktsionirovaniya prosteyshikh ekosistem v ekstremal’nykh sluchayakh // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1982. P. 85–103 [in Russian].)Кащенко С.А. Биологическое объяснение некоторых законов функционирования простейших экосистем в экстремальных случаях // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1982. С. 85 – 103. (Kaschenko S. A. Biologicheskoye ob"yasneniye nekotorykh zakonov funktsionirovaniya prosteyshikh ekosistem v ekstremal’nykh sluchayakh // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1982. P. 85–103 [in Russian].)Захаров А.А., Колесов Ю.С., Спокойнов А.Н., Федотов Н.Б. Теоретическое объяснение десятилетнего цикла колебаний численности млекопитающих в Канаде и Якутии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1980. С. 79 – 131. (Zakharov A.A., Kolesov Yu.S., Spokoynov A.N., Fedotov N.B. Teoreticheskoye ob"yasneniye desyatiletnego tsikla kolebaniy chislennosti mlekopitayushchikh v Kanade i Yakutii // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1980. P. 79 – 131. [in Russian].)Захаров А.А., Колесов Ю.С., Спокойнов А.Н., Федотов Н.Б. Теоретическое объяснение десятилетнего цикла колебаний численности млекопитающих в Канаде и Якутии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1980. С. 79 – 131. (Zakharov A.A., Kolesov Yu.S., Spokoynov A.N., Fedotov N.B. Teoreticheskoye ob"yasneniye desyatiletnego tsikla kolebaniy chislennosti mlekopitayushchikh v Kanade i Yakutii // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1980. P. 79 – 131. [in Russian].)Спокойнов А.Н. Численный анализ докритических автоколебаний обобщенного уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1981. С. 86 – 87. (Spokoynov A.N. Chislennyy analiz dokriticheskikh avtokolebaniy obobshchennogo uravneniya Khatchinsona // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1981. P. 86 – 87. [in Russian].)Спокойнов А.Н. Численный анализ докритических автоколебаний обобщенного уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1981. С. 86 – 87. (Spokoynov A.N. Chislennyy analiz dokriticheskikh avtokolebaniy obobshchennogo uravneniya Khatchinsona // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1981. P. 86 – 87. [in Russian].)Федотов Н.Б. Особенности колебаний численности белки и ее основных пищевых конкурентов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1983. C. 44 – 54. (Fedotov N.B. Osobennosti kolebaniy chislennosti belki i yeye osnovnykh pishchevykh konkurentov // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1983. P. 44 – 54. [in Russian].)Федотов Н.Б. Особенности колебаний численности белки и ее основных пищевых конкурентов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1983. C. 44 – 54. (Fedotov N.B. Osobennosti kolebaniy chislennosti belki i yeye osnovnykh pishchevykh konkurentov // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1983. P. 44 – 54. [in Russian].)Глызин С.Д. О стабилизирующей роли процесса видообразования // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1983. C. 101 – 105. (Glyzin S.D. O stabiliziruyushchey roli protsessa vidoobrazovaniya // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1983. P. 101 – 105. [in Russian].)Глызин С.Д. О стабилизирующей роли процесса видообразования // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1983. C. 101 – 105. (Glyzin S.D. O stabiliziruyushchey roli protsessa vidoobrazovaniya // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1983. P. 101 – 105. [in Russian].)Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian].)Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian].)Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, № 3. P. 96 – 116 [in Russian].)Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, № 3. P. 96 – 116 [in Russian].)Захаров А.А. Жесткая конкуренция в неоднородной среде // Нелинейные колебания и экология. Ярославль, 1984. C. 16 – 33. (Zakharov A.A. Zhestkaya konkurentsiya v neodnorodnoy srede // Nelineynyye kolebaniya i ekologiya. Yaroslavl, 1984. P. 16 – 33. [in Russian].)Захаров А.А. Жесткая конкуренция в неоднородной среде // Нелинейные колебания и экология. Ярославль, 1984. C. 16 – 33. (Zakharov A.A. Zhestkaya konkurentsiya v neodnorodnoy srede // Nelineynyye kolebaniya i ekologiya. Yaroslavl, 1984. P. 16 – 33. [in Russian].)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.