Линейные коды широко применяются для защиты от ошибок в системах передачи и хранения данных, обеспечения стойкости различных криптографических алгоритмов и протоколов, для защиты скрытой информации от ошибок в стегоконтейнере. Одним из классов кодов, находящих применение в ряде перечисленных областей, является класс линейных самодополнительных кодов над бинарным полем. Такие коды содержат вектор из всех единиц, а их нумератор весов является симметрическим многочленом. В прикладных задачах от самодополнительных [n, k]-кодов часто требуется при заданной длине n и размерности k иметь максимально возможное кодовое расстояние d(k, n). Для n < 13 значения d(k, n) уже известны. В настоящей работе для самодополнительных кодов длины n=13, 14, 15 ставится задача нахождения нижних оценок на d(k, n), а также нахождение самих значений d(k, n). Разработка эффективного способа получения нижней оценки, близкой к d(k, n), является актуальной задачей, так как нахождение самих значений d(k, n) в общем случае является трудной задачей. В работе предложены четыре способа нахождения нижних оценок: на основе циклических кодов, на основе остаточных кодов, на основе (u|u + v)-конструкции и на основе тензорного произведения кодов. На совместном использовании этих способов для рассмотренных длин удалось получить эффективным образом нижние оценки, либо совпадающие с найденными значениями d(k, n), либо отличающиеся на единицу. В работе предложена последовательность проверок, которая в ряде случаев помогает доказать отсутствие самодополнительного [n, k]-кода с кодовым расстоянием d. В заключительной части работы на основе самодополнительных кодов предлагается конструкция для сокрытия информации, устойчивая к помехам в стегоконтейнере. Приведенные расчеты показывают большую эффективность новой конструкции по сравнению с известными конструкциями.
Line codes are widely used to protect against errors in data transmission and storage systems, to ensure the stability of various cryptographic algorithms and protocols, to protect hidden information from errors in a stegocontainer. One of the classes of codes that find application in a number of the listed areas is the class of linear self-complementary codes over a binary field. Such codes contain a vector of all ones, and their weight enumerator is a symmetric polynomial. In applied problems, self-complementary [n, k]-codes are often required for a given length n and dimension k to have the maximum possible code distance d(k, n). For n < 13, the values of d(k, n) are already known. In this paper, for self-complementary codes of length n=13, 14, 15, the problem is to find lower bounds on d(k, n), as well as to find the values of d(k, n) themselves. The development of an efficient method for obtaining a lower estimate close to d(k, n) is an urgent task, since finding the values of d(k, n) in the general case is a difficult task. The paper proposes four methods for finding lower bounds: based on cyclic codes, based on residual codes, based on the (u-u+v)-construction, and based on the tensor product of codes. On the joint use of these methods for the considered lengths, it was possible to efficiently obtain lower bounds, either coinciding with the found values of d(k, n) or differing by one. The paper proposes a sequence of checks, which in some cases helps to prove the absence of a self-complementary [n, k]-code with code distance d. In the final part of the work, on the basis of self-complementary codes, a design for hiding information is proposed that is resistant to interference in the stegocontainer. The above calculations show the greater efficiency of the new design compared to the known designs.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.