maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-5-25-44mais-172Research ArticleОригинальные статьиArticlesОсобенности колебания решений адиабатических осцилляторов с запаздываниемFeatures of Oscillations in Adiabatic Oscillators with DelayНестеровПавел НиколаевичNesterovP. N.

канд. физ.-мат. наук, доцент,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

канд. физ.-мат. наук, доцент,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

nesterov.pn@gmail.comАгафончиковЕвгений НиколаевичAgafonchikovE. N.

аспирант,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

аспирант,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

agafonchikov-evg@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2013201020132052544Copyright © Нестеров П.Н., Агафончиков Е.Н., 20132013Нестеров П.Н., Агафончиков Е.Н.Nesterov P.N., Agafonchikov E.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/172

Исследуются особенности колебаний решений адиабатических осцилляторов при наличии в уравнении запаздывания. Изложена методика построения асимптотических формул в окрестности бесконечности для одного класса линейных систем с запаздывающим аргументом. Кроме того, изучается динамика изменения зоны параметрического резонанса одного адиабатического осциллятора при изменении величины запаздывания.

In this paper, we describe the features of oscillations in adiabatic oscillators when the delay is introduced into the equation. We give a short description of the method of asymptotic integration of one class of linear delay differential systems in the neighborhood of infinity. This method is based on the idea of transforming the initial system in order to reduce it to the system that is close in some sense to the system of ordinary differential equations. When applying this method, we need to extend the phase space of the initial system. The averaging changes of variables are also used to simplify the procedure of constructing the asymptotic formulas. Finally, we apply the functional differential analog of the Levinson theorem. We use this method to get the asymptotic formulas for adiabatic oscillators with delay under a monotonely and also oscillatory tending to zero perturbations. In conclusion, we study the transformation of the parametric resonance zone of one adiabatic oscillator when the delay is varied.

адиабатический осциллятордифференциальное уравнение с запаздываниемрезонансметод усредненияасимптотикаadiabatic oscillatordelay differential equationresonancemethod of averagingasymptoticsРФФИ, грант Президента РФReferencesБеллман Р. Теория устойчивости дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954. 216 с. (Bellman R. Stability theory of differential equations. New York: McGraw-Hill, 1953.)Беллман Р. Теория устойчивости дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954. 216 с. (Bellman R. Stability theory of differential equations. New York: McGraw-Hill, 1953.)Бурд В.Ш., Каракулин В.А. Асимптотическое интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами // Математические заметки. 1998. Т. 64, №5. C. 658–666. (English transl.: Burd V.Sh., Karakulin V.A. On the asymptotic integration of systems of linear differential equations with oscillatory decreasing coefficients // Math. Notes. 1998. V. 64, No. 5. P. 571–578.)Бурд В.Ш., Каракулин В.А. Асимптотическое интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами // Математические заметки. 1998. Т. 64, №5. C. 658–666. (English transl.: Burd V.Sh., Karakulin V.A. On the asymptotic integration of systems of linear differential equations with oscillatory decreasing coefficients // Math. Notes. 1998. V. 64, No. 5. P. 571–578.)Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с. (Demidovich B.P. Lekcii po matematicheskoy teorii ustoychivosti. Moskva: Nauka, 1967. 472 p. [in Russian])Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с. (Demidovich B.P. Lekcii po matematicheskoy teorii ustoychivosti. Moskva: Nauka, 1967. 472 p. [in Russian])Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 475 с. (Coddington E.A., Levinson N. Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill, 1955.)Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 475 с. (Coddington E.A., Levinson N. Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill, 1955.)Майоров В.В. Исследование устойчивости решений одного линейного дифференциального уравнения с последействием, встречающегося в приложениях // Вестник Ярославского университета. Исследования по устойчивости и теории колебаний. 1973. Вып. 5. С. 86–93. (Mayorov V.V. Issledovanie ustoychivosti resheniy odnogo lineynogo differentsial’nogo uravneniya s posledeystviem, vstrechayushchegosya v prilozheniyah // Vestnik Yaroslavskogo universiteta. Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. 1973. Issue 5. P. 86–93 [in Russian])Майоров В.В. Исследование устойчивости решений одного линейного дифференциального уравнения с последействием, встречающегося в приложениях // Вестник Ярославского университета. Исследования по устойчивости и теории колебаний. 1973. Вып. 5. С. 86–93. (Mayorov V.V. Issledovanie ustoychivosti resheniy odnogo lineynogo differentsial’nogo uravneniya s posledeystviem, vstrechayushchegosya v prilozheniyah // Vestnik Yaroslavskogo universiteta. Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. 1973. Issue 5. P. 86–93 [in Russian])Нестеров П.Н. Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, №6. С. 731–742. (English transl.: Nesterov P.N. Averaging method in the asymptotic integration problem for systems with oscillatory-decreasing coefficients // Differ. Equ. 2007. V. 43, No. 6. P. 745–756.)Нестеров П.Н. Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, №6. С. 731–742. (English transl.: Nesterov P.N. Averaging method in the asymptotic integration problem for systems with oscillatory-decreasing coefficients // Differ. Equ. 2007. V. 43, No. 6. P. 745–756.)Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. (Hale J.K. Theory of functional differential equations. New York: Springer-Verlag, 1977.)Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. (Hale J.K. Theory of functional differential equations. New York: Springer-Verlag, 1977.)Burd V., Nesterov P. Parametric resonance in adiabatic oscillators // Results Math. 2010. Vol. 58, No. 1-2. P. 1–15.Burd V., Nesterov P. Parametric resonance in adiabatic oscillators // Results Math. 2010. Vol. 58, No. 1-2. P. 1–15.Cassel J.S., Hou Z. Asymptotically diagonal linear differential equations with retardation // J. Lond. Math. Soc. 1993. Vol. 47. P. 473–483.Cassel J.S., Hou Z. Asymptotically diagonal linear differential equations with retardation // J. Lond. Math. Soc. 1993. Vol. 47. P. 473–483.Eastham M.S.P. The asymptotic solution of linear differential systems. London Math. Soc. Monographs. Oxford: Clarendon Press, 1989.Eastham M.S.P. The asymptotic solution of linear differential systems. London Math. Soc. Monographs. Oxford: Clarendon Press, 1989.Harris W.A. Jr., Lutz D.A. On the asymptotic integration of linear differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1974. Vol. 48, №1. P. 1–16.Harris W.A. Jr., Lutz D.A. On the asymptotic integration of linear differential systems // J. Math. Anal. Appl. 1974. Vol. 48, №1. P. 1–16.Harris W.A. Jr., Lutz D.A. A Unified Theory of Asymptotic Integration // J. Math. Anal. Appl. 1977. Vol. 57, №3. P. 571–586.Harris W.A. Jr., Lutz D.A. A Unified Theory of Asymptotic Integration // J. Math. Anal. Appl. 1977. Vol. 57, №3. P. 571–586.Nesterov P. Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients // Monatsh. Math. 2013. Vol. 171, No. 2. P. 217–240.Nesterov P. Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory decreasing coefficients // Monatsh. Math. 2013. Vol. 171, No. 2. P. 217–240.Wintner A. The adiabatic linear oscillator // Amer. J. Math. 1946. V. 68. P. 385–397.Wintner A. The adiabatic linear oscillator // Amer. J. Math. 1946. V. 68. P. 385–397.Wintner A. Asymptotic integration of the adiabatic oscillator // Amer. J. Math. 1946. V. 69. P. 251–272.Wintner A. Asymptotic integration of the adiabatic oscillator // Amer. J. Math. 1946. V. 69. P. 251–272.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.