maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-5-62-77mais-174Research ArticleОригинальные статьиArticlesСтатистические характеристики управляемых систем, возникающие в различных моделях естествознанияStatistical Characteristics of Control Systems, Arising in Various Models of Natural SciencesЛаринаЯна ЮрьевнаLarinaY. Y.

аспирант кафедры математического анализа,

426034, Удмуртия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4

аспирант кафедры математического анализа,

Universitetskaya St., 1, bld. 4, off. 206, Izhevsk, 426034, Russia

yana_larina89@mail.ruРодинаЛюдмила ИвановнаRodinaL. I.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического анализа,

426034, Удмуртия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического анализа,

Universitetskaya St., 1, bld. 4, off. 206, Izhevsk, 426034, Russia

box0589@udmnet.ruУдмуртский государственный университетРоссияUdmurt State UniversityRussian Federation2013201020132056277Copyright © Ларина Я.Ю., Родина Л.И., 20132013Ларина Я.Ю., Родина Л.И.Larina Y.Y., Rodina L.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/174

Продолжено исследование расширения понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных включений. Это расширение состоит в изучении статистически инвариантных множеств и статистических характеристик множества достижимости управляемых систем. В данной работе получены условия статистической инвариантности и исследованы свойства статистических характеристик для управляемых систем с периодическими коэффициентами. Показано, что свойство статистической инвариантности тесно связано со свойством допустимости периодических процессов для линейных управляемых систем. Допустимость означает, что любому периодическому управлению из фиксированного множества отвечает единственное периодическое решение, находящееся в заранее заданной области фазового пространства. Результаты работы могут найти применение при нахождении статистических характеристик, возникающих в различных моделях биологии, химии, экономики.

We continue the study of extending the concept of invariance sets relative to control systems and differential inclusions. This expansion consists in studying statistically invariant sets and statistical characteristics of the attainability set of control systems. In this work, we obtain conditions for the statistical invariance and investigate the properties of the statistical characteristics of control systems with periodic coefficients. It is shown that the property of statistical invariancy is closely connected with the property of admissibility of periodic processes for linear control systems. The admissibility means that for any periodic control from the fixed set there exists a unique periodic solution which is in the given set of the phase space. The results of the work can be applied while finding the statistical characteristics arising in various models of biology, chemistry, economy.

управляемые системыдифференциальные включенияинвариантные и статистически инвариантные множестваcontrol systemsdifferential inclusionsinvariant and statistically invariant setsРФФИReferencesРодина Л.И., Тонков Е.Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 2. С. 265–288. (Rodina L.I., Tonkov E.L. Statisticheskie kharakteristiki mnozhestva dostizhimosti upravlyaemoy sistemy, nebluzhdaemost i minimalnyy tsentr prityazheniya // Nelineynaya dinamika. 2009. V. 5, No 2. P. 265–288 [in Russian].)Родина Л.И., Тонков Е.Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 2. С. 265–288. (Rodina L.I., Tonkov E.L. Statisticheskie kharakteristiki mnozhestva dostizhimosti upravlyaemoy sistemy, nebluzhdaemost i minimalnyy tsentr prityazheniya // Nelineynaya dinamika. 2009. V. 5, No 2. P. 265–288 [in Russian].)Родина Л.И. Тонков Е.Л. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. C. 67–86. (Rodina L.I., Tonkov E.L. Statisticheski slabo invariantnye mnozhestva upravlyaemykh sistem // Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye nauki. 2011. No 1, P. 67–86 [in Russian].)Родина Л.И. Тонков Е.Л. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. C. 67–86. (Rodina L.I., Tonkov E.L. Statisticheski slabo invariantnye mnozhestva upravlyaemykh sistem // Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye nauki. 2011. No 1, P. 67–86 [in Russian].)Родина Л.И. Пространство clcv(Rⁿ) с метрикой Хаусдорфа – Бебутова и статистически инвариантные множества управляемых систем // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2012. Т. 278, C. 217–226. (English transl.: Rodina L.I. The space clcv(Rⁿ) with the Hausdorff–Bebutov metric and statistically invariant sets of control systems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2012. V. 278, No 1. P. 208–217.)Родина Л.И. Пространство clcv(Rⁿ) с метрикой Хаусдорфа – Бебутова и статистически инвариантные множества управляемых систем // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2012. Т. 278, C. 217–226. (English transl.: Rodina L.I. The space clcv(Rⁿ) with the Hausdorff–Bebutov metric and statistically invariant sets of control systems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2012. V. 278, No 1. P. 208–217.)Родина Л.И. Статистические характеристики множества достижимости и периодические процессы управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 2. C. 34–43. (Rodina L.I. Statisticheskie kharakteristiki mnozhestva dostizhimosti i periodicheskie protsessy upravlyaemykh sistem // Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye nauki. 2012. No 2, P. 34–43 [in Russian].)Родина Л.И. Статистические характеристики множества достижимости и периодические процессы управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 2. C. 34–43. (Rodina L.I. Statisticheskie kharakteristiki mnozhestva dostizhimosti i periodicheskie protsessy upravlyaemykh sistem // Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye nauki. 2012. No 2, P. 34–43 [in Russian].)Родина Л.И. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 2 (40). С. 3–164. (Rodina L.I. Invariantnye i statisticheski slabo invariantnye mnozhestva upravlyaemykh sistem // Izvestiya Instituta matematiki i informatiki UdGU. Izhevsk. 2012. No 2 (40), P. 3–164 [in Russian].)Родина Л.И. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 2 (40). С. 3–164. (Rodina L.I. Invariantnye i statisticheski slabo invariantnye mnozhestva upravlyaemykh sistem // Izvestiya Instituta matematiki i informatiki UdGU. Izhevsk. 2012. No 2 (40), P. 3–164 [in Russian].)Недорезов Л.В. Курс лекций по математической экологии. Новосибирск: Сибирский хронограф, 1997. (Nedorezov L.V. Kurs lektsiy po matematicheskoy ekologii. Novosibirsk: Sibirskiy khronograf, 1997 [in Russian].)Недорезов Л.В. Курс лекций по математической экологии. Новосибирск: Сибирский хронограф, 1997. (Nedorezov L.V. Kurs lektsiy po matematicheskoy ekologii. Novosibirsk: Sibirskiy khronograf, 1997 [in Russian].)Слинько М.Г., Зеленяк Т.И., Акрамов Т.А., Лаврентьев М.М. (мл.), Шеплев В.С. Нелинейная динамика каталитических реакций и процессов (обзор) // Математическое моделирование. 1997. Т. 9, № 12. С. 87–109. (Slinko M.G., Zelenyak T.I., Akramov T.A., Lavrentev M.M., Sheplev V.S. Nelineynaya dinamika kataliticheskikh reaktsiy i protsessov (obzor) // Matematicheskoe modelirovanie. 1997. V. 9, No 12. P. 87– 109 [in Russian].)Слинько М.Г., Зеленяк Т.И., Акрамов Т.А., Лаврентьев М.М. (мл.), Шеплев В.С. Нелинейная динамика каталитических реакций и процессов (обзор) // Математическое моделирование. 1997. Т. 9, № 12. С. 87–109. (Slinko M.G., Zelenyak T.I., Akramov T.A., Lavrentev M.M., Sheplev V.S. Nelineynaya dinamika kataliticheskikh reaktsiy i protsessov (obzor) // Matematicheskoe modelirovanie. 1997. V. 9, No 12. P. 87– 109 [in Russian].)Давыдов А.А., Данченко В.И., Звягин М.Ю. Существование и единственность стационарного распределения биологического сообщества // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2009. Т. 267. C. 46–55. (English transl.: Davydov A.A., Danchenko V.I., Zvyagin M. Yu. Existence and uniqueness of a stationary distribution of a biological community // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2009. V. 267, No 1. P. 40–49.)Давыдов А.А., Данченко В.И., Звягин М.Ю. Существование и единственность стационарного распределения биологического сообщества // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2009. Т. 267. C. 46–55. (English transl.: Davydov A.A., Danchenko V.I., Zvyagin M. Yu. Existence and uniqueness of a stationary distribution of a biological community // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2009. V. 267, No 1. P. 40–49.)Прасолов А.В. Математические методы экономической динамики. СПб.: Лань, 2008. (Prasolov A.V. Matematicheskie metody ekonomicheskoy dinamiki. SPb.: Lan, 2008 [in Russian].)Прасолов А.В. Математические методы экономической динамики. СПб.: Лань, 2008. (Prasolov A.V. Matematicheskie metody ekonomicheskoy dinamiki. SPb.: Lan, 2008 [in Russian].)Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. (Riznichenko G.Yu. Lektsii po matematicheskim modelyam v biologii. Chast 1. Izhevsk: NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2002 [in Russian].)Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. (Riznichenko G.Yu. Lektsii po matematicheskim modelyam v biologii. Chast 1. Izhevsk: NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2002 [in Russian].)Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29–42 [in Russian].)Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29–42 [in Russian].)Кащенко С.А. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых // Моделирование и анализ информационных систем. 2012 Т. 19, № 5. С. 18 – 34. (Kaschenko S. A. Stationary states of delay differentional equation of insect population’s dynamics // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, № 5. P. 18 – 34 [in Russian].)Кащенко С.А. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых // Моделирование и анализ информационных систем. 2012 Т. 19, № 5. С. 18 – 34. (Kaschenko S. A. Stationary states of delay differentional equation of insect population’s dynamics // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, № 5. P. 18 – 34 [in Russian].)Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, № 3. P. 96 – 116 [in Russian].)Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, № 3. P. 96 – 116 [in Russian].)Недорезов Л.В., Утюпин Ю.В. Дискретно-непрерывная модель динамики численности двуполой популяции // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44, № 3. С. 650–659. (Nedorezov L.V., Utyupin Yu.V. Diskretno-nepreryvnaya model dinamiki chislennosti dvupoloy populyatsii // Sibirskiy matematicheskiy zhurnal. 2003. V. 44, No 3. P. 650–659 [in Russian].)Недорезов Л.В., Утюпин Ю.В. Дискретно-непрерывная модель динамики численности двуполой популяции // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44, № 3. С. 650–659. (Nedorezov L.V., Utyupin Yu.V. Diskretno-nepreryvnaya model dinamiki chislennosti dvupoloy populyatsii // Sibirskiy matematicheskiy zhurnal. 2003. V. 44, No 3. P. 650–659 [in Russian].)Петрова В.В., Тонков Е.Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений. I // Известия вузов. Математика. 1996. № 11. С. 65–72. (English transl.: Petrova V. V., Tonkov E. L. The admissibility of periodic processes and existence theorems for periodic solutions. I // Izvestiya VUZ. Matematika. 1996. V. 40, No 11. P. 62–69.)Петрова В.В., Тонков Е.Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений. I // Известия вузов. Математика. 1996. № 11. С. 65–72. (English transl.: Petrova V. V., Tonkov E. L. The admissibility of periodic processes and existence theorems for periodic solutions. I // Izvestiya VUZ. Matematika. 1996. V. 40, No 11. P. 62–69.)Петрова В.В., Тонков Е.Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений. II // Известия вузов. Математика. 1997. № 6. С. 17–24. (English transl.: Petrova V. V., Tonkov E. L. The admissibility of periodic processes and existence theorems for periodic solutions. II // Izvestiya VUZ. Matematika. 1997. V. 41, No 6. P. 15–21.)Петрова В.В., Тонков Е.Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений. II // Известия вузов. Математика. 1997. № 6. С. 17–24. (English transl.: Petrova V. V., Tonkov E. L. The admissibility of periodic processes and existence theorems for periodic solutions. II // Izvestiya VUZ. Matematika. 1997. V. 41, No 6. P. 15–21.)Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. (Demidovich B. P. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti. M.: Nauka, 1967 [in Russian].)Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. (Demidovich B. P. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti. M.: Nauka, 1967 [in Russian].)Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987. (Samoylenko A. M., Perestyuk N. A. Differentsialnye uravneniya s impulsnym vozdeystviem. Kiev: Vishcha shkola, 1987 [in Russian].)Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987. (Samoylenko A. M., Perestyuk N. A. Differentsialnye uravneniya s impulsnym vozdeystviem. Kiev: Vishcha shkola, 1987 [in Russian].)Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы: Модели и приложения. М.: Наука, 1991. (Zavalishchin S. T., Sesekin A. N. Impulsnye protsessy: Modeli i prilozheniya. M.: Nauka, 1991 [in Russian].)Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы: Модели и приложения. М.: Наука, 1991. (Zavalishchin S. T., Sesekin A. N. Impulsnye protsessy: Modeli i prilozheniya. M.: Nauka, 1991 [in Russian].)Мильман В. Д., Мышкис А. Д. Об устойчивости движения при наличии толчков // Сибирский мат. журнал. 1960. № 2. С. 233–237. (Milman V. D., Myshkis A. D. Ob ustoychivosti dvizheniya pri nalichii tolchkov // Sibirskiy mat. zhurnal. 1960. No 2. P. 233–237 [in Russian].)Мильман В. Д., Мышкис А. Д. Об устойчивости движения при наличии толчков // Сибирский мат. журнал. 1960. № 2. С. 233–237. (Milman V. D., Myshkis A. D. Ob ustoychivosti dvizheniya pri nalichii tolchkov // Sibirskiy mat. zhurnal. 1960. No 2. P. 233–237 [in Russian].)Мышкис А. Д. Устойчивость решений дифференциальных уравнений при обобщенных импульсных возмущениях // Автоматика и телемеханика. 2007. № 10. С. 125–133. (English transl.: Myshkis A. D. Stability of solutions of differential equations under generalized pulse pertubations // Automation and Remove Control. 2007. V. 68, No 10. P. 1844–1851.)Мышкис А. Д. Устойчивость решений дифференциальных уравнений при обобщенных импульсных возмущениях // Автоматика и телемеханика. 2007. № 10. С. 125–133. (English transl.: Myshkis A. D. Stability of solutions of differential equations under generalized pulse pertubations // Automation and Remove Control. 2007. V. 68, No 10. P. 1844–1851.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.