Численное исследование различных процессов приводит к необходимости уточнения (расширения) границ применимости вычислительных конструкций и инструментов моделирования. В настоящей статье изучается дифференцируемость в пространстве интегрируемых по Лебегу функций и рассматривается согласованность этого понятия с основополагающими вычислительными построениями такими, как разложение Тейлора и конечные разности. Функцию $f$ из $L_1[a;b]$ назовём $(k,L)$-дифференцируемой в точке $x_0$ из $(a;b),$ если существует алгебраический многочлен $P,$ степени не выше $k,$ такой, что интеграл по отрезку от ${x_0}$ до ${x_0+h}$ для $f-P$ есть $o(h^{k+1}).$ Найдены формулы для вычисления коэффициентов такого $P,$ представляющие собой предел отношения интегральных модификаций конечных разностей $ {\bf\Delta}_h^m(f,x) $ к $ h^m\!, \; m=1, \cdots, k. $ Получается, что если $f\!\in\!W_1^{l}[a; b],$ и $f^{(l)}$ является $(k,L)$-диффе\-ренци\-руемой в точке $x_0,$ то $f$ приближается тейлоровским многочленом с точностью $ o\big((x{-}x_0)^{l+k}\big),$ а коэффициенты разложения могут быть найдены указанным выше способом. Для исследования функций из $L_1$ на множестве применяется дискретная «глобальная» конструкция разностного выражения: на основе частного ${\bf\Delta}_h^m(f, \cdot)$ и $h^m$ строится последовательность $\big{{\bf\Lambda}_n^m[f]\big}$ кусочно-постоянных функций, подчинённых разбиениям полуинтервала $[a; b)$ на $n$ равных частей. Показано, что для $(k,L)$-диффе\-ренци\-руемой в точке $x_0$ функции $f$ последовательности $\big{{\bf\Lambda}_n^m[f]\big},\; m=1,\cdots, k, $ сходятся при $n\to \infty$ в этой точке к коэффициентам приближающего в ней функцию многочлена. С помощью $\big{{\bf\Lambda}_n^k[f]\big}$ устанавливается теорема: {\it «$f$ из $L_1[a;b]$ принадлежит $C^k[a;b] \Longleftrightarrow $ $f$ равномерно $(k,L)$-диффе\-рен\-цируе\-ма на $[a;b]$».} Отдельное место занимает изучение построений, соответствующих случаю $m\!=\!0.$ Их рассматриваем в $L_1[Q_0],$ где $Q_0$ -- куб в пространстве $\mathbb R^d.$ По заданной функции $ f\!\in\!L_1$ и разбиению $\tau_{n}$ полузамкнутого куба $Q_0$ на $\;n^d$ равных полузамкнутых кубов построим кусочно-постоянную функцию $\Theta_n[f]$, определяемую как интегральное среднее $f$ на каждом кубе $Q\!\in\!\tau_{n}.$ Данная вычислительная конструкция приводит к следующим теоретическим фактам: {\it 1) $f$ из $L_1 $ принадлежит $L_p, 1 \le p < \infty, \Longleftrightarrow \big{\Theta_n[f]\big}$ сходится в $L_p;$ ограниченность $\big{\Theta_n[f]\big} \; \Longleftrightarrow f\!\in\!L_\infty;$ 2) последовательности $\big{\Theta_n[\cdot]\big}$ определяют на классах эквивалентности оператор-проектор $\Theta$ в пространстве $L_1;$ 3) для функции $f\!\in\!L_{\infty}$ получаем $ \overline{\Theta [f]}\!\in\!B,$ где $B$ -- это пространство ограниченных функций, а $ \overline{\Theta [f]}$ -- доопределённая на множестве меры ноль функция $ \Theta [f](x),$ и выполняется равенство $\;\big\Vert \overline{\Theta [f]}\big\Vert_{B} = \Vert f\Vert_{\infty}.$ } Таким образом, в семействе пространств $L_p$ можно заменить $L_{\infty}[Q_0]$ на $B[Q_0].$
Numerical study of various processes leads to the need for clarification (extensions) of the limits of applicability of computational constructs and modeling tools. In this article, we study the differentiability in the space of Lebesgue integrable functions and the consistency of this concept with fundamental computational constructions such as Taylor expansion and finite differences is considered. The function $f$ from $L_1 [a; b]$ is called $(k,L)$-differentiable at the point $ x_0$ from $(a; b),$ if there exists an algebraic polynomial $P,$ of degree no higher than $k,$ such that the integral over the segment from ${x_0}$ then ${x_0+h}$ for $f-P$ there is $o(h^{k+1}).$ Formulas are found for calculating coefficients of such $P,$ representing the limit of the ratio of integral modifications of finite differences $ {\bf\Delta}_h^m(f,x) $ to $ h^m\!, \; m=1, \cdots, k. $ It turns out that if $f\!\in\!W_1^{l}[a; b],$ and $f^{(l)}$ is $(k,L)$-differentiable at the point $x_0,$ then $f$ is approximated by a Taylor polynomial up to $ o\big((x{-}x_0)^{l+k}\big),$ and the expansion coefficients can be found in the above way. To study functions from $L_1$ on a set, a discrete "global" construction of a difference expression is used: based on the quotient ${\bf\Delta}_h^m(f, \cdot)$ and $h^m$ the sequence is built $\big{{\bf\Lambda}_n^m[f]\big}$ of piecewise constant functions subordinate to partitions half-interval $[a; b)$ into $n$ equal parts. It is shown that for a $(k,L)$-differentiable at the point $x_0$ function $f$ the sequence $\big{{\bf\Lambda}_n^m[f]\big},\; m=1,\cdots, k, $ converge as $n\to \infty$ at this point to the coefficients of the polynomial approximating the function at it. Using $\big{{\bf\Lambda}_n^k[f]\big}$ the following theorem is established: {\it "$f$ from $L_1[a;b]$ belongs to $C^k[a;b] \Longleftrightarrow $ $f$ is uniformly $(k,L)$-differentiable on $[a;b]$".} A special place is occupied by the study of constructions corresponding to the case $m\!=\!0.$ We consider them in $L_1[Q_0],$ where $Q_0$ is a cube in the space $\mathbb R^d.$ Given a function $ f\!\in\!L_1$ and a partition $\tau_{n}$ of a semi-closed cube $Q_0$ on $\;n^d$ equal semi-closed cubes we construct a piecewise constant function $\Theta_n[f]$, defined as the integral average $f$ on each cube $Q\!\in\!\tau_{n}.$ This computational construction leads to the following theoretical facts: {\it 1)$f$ from $L_1 $ belongs to $L_p, 1 \le p < \infty, \Longleftrightarrow \big{\Theta_n[f] \big}$ converges in $L_p;$ the boundedness of $\big{\Theta_n[f]\big} \; \Longleftrightarrow f\!\in\!L_\infty;$ 2) sequences $\big{\Theta_n[\cdot]\big}$ define on the equivalence classes the operator-projector $\Theta$ in the space $L_1;$ 3) for the function $f\!\in\!L_{\infty}$ we get $ \overline{\Theta [f]}\!\in\!B,$ where $B$ is the space of bounded functions, and $ \overline{\Theta [f]}$ is the function $ \Theta [f](x),$ extended on a set of measure zero and the equality $\;\big\Vert \overline{\Theta [f]}\big\Vert_{B} = \Vert f\Vert_{\infty}.$} Thus, in the family of spaces $L_p$ one can replace $L_{\infty}[Q_0]$ with $B[Q_0].$
The authors declare that there are no conflicts of interest present.