maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-5-117-147mais-178Research ArticleОригинальные статьиArticlesЗамкнутые локально минимальные сети на поверхностях выпуклых многогранниковClosed Locally Minimal Networks on the Surfaces of Convex PolyhedraСтрелковаНаталия ПавловнаStrelkovaN. P.

аспирант,

119991, Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1;

лаборант Международной лаборатории “Дискретная и вычислительная геометрия” им. Б.Н. Делоне

аспирант, Leninskie Gory, 1, Moscow, 119991, Russia;

лаборант Международной лаборатории “Дискретная и вычислительная геометрия” им. Б.Н. Делоне

nstrelk@gmail.comМГУ им. М. В. Ломоносова; ЯрГУ им. П.Г. ДемидоваРоссияM.V. Lomonosov Moscow State University; ЯрГУ им. П.Г. ДемидоваRussian Federation201320102013205117147Copyright © Стрелкова Н.П., 20132013Стрелкова Н.П.Strelkova N.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/178

Замкнутые локально минимальные сети — это «разветвлённый» аналог замкнутых несамопересекающихся геодезических. Исследуются свойства таких сетей на поверхностях выпуклых многогранников и задача описания класса выпуклых многогранников, на поверхности которых существуют такие сети. Замкнутая локально минимальная сеть на выпуклом многограннике — это вложенный в многогранник граф с рёбрами-геодезическими, в каждой вершине которого сходится ровно три ребра под углами по 120∘ . Случай замкнутых геодезических не рассматривается. Основные результаты статьи заключаются в следующем. Показано, что естественное условие на кривизны вершин многогранника, необходимое для существования на нём замкнутой локально минимальной сети, не является достаточным, и доказано новое, более сильное, необходимое условие. Описаны всевозможные комбинаторные структуры и длины рёбер минимальных сетей на выпуклых многогранниках. Доказано, что на почти всех выпуклых многогранниках, все кривизны которых делятся на π/3 , существует замкнутая локально минимальная сеть.

Closed locally minimal networks can be viewed as “branching” closed geodesics. We study such networks on the surfaces of convex polyhedra and discuss the problem of describing the set of all convex polyhedra that have such networks. A closed locally minimal network on a convex polyhedron is an embedding of a graph provided that all edges are geodesic arcs and at each vertex exactly three adges meet at angles of 120∘ . In this paper, we do not deal with closed (periodic) geodesics. Among other results, we prove that the natural condition on the curvatures of a polyhedron that is necessary for the polyhedron to have a closed locally minimal network on its surface is not sufficient. We also prove a new stronger necessary condition. We describe all possible combinatorial structures and edge lengths of closed locally minimal networks on convex polyhedra. We prove that almost all convex polyhedra with vertex curvatures divisible by π/3 have closed locally minimal networks.

локально минимальная сетьгеодезическая сетьвыпуклый многогранникlocally minimal networkgeodesic netconvex polyhedronгрант Правительства РФ, РФФИ, грант Президента РФReferencesСтрелкова Н. П. Устойчивость локально минимальных сетей // Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. 2013. Т. 29. С. 148–170. (Strelkova N. P. Ustoychivost lokalno minimalnykh setey // Trudy seminara po vektornomu i tenzornomu analizu s ikh prilozheniyami k geometrii, mekhanike i fizike. 2013. V. 29. С. 148–170. [in Russian].)Стрелкова Н. П. Устойчивость локально минимальных сетей // Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. 2013. Т. 29. С. 148–170. (Strelkova N. P. Ustoychivost lokalno minimalnykh setey // Trudy seminara po vektornomu i tenzornomu analizu s ikh prilozheniyami k geometrii, mekhanike i fizike. 2013. V. 29. С. 148–170. [in Russian].)Иванов А. О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. (Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Teoriya ekstremalnykh setey. Moskva-Izhevsk, Institut kompyuternykh issledovaniy, 2003 [in Russian]; Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Branching solutions to one-dimensional variational problems. World Scientific, Singapore, 2000)Иванов А. О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. (Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Teoriya ekstremalnykh setey. Moskva-Izhevsk, Institut kompyuternykh issledovaniy, 2003 [in Russian]; Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Branching solutions to one-dimensional variational problems. World Scientific, Singapore, 2000)Thurston W. P. Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere // The Epstein birthday schrift, Geom. Topol. Monogr. 1998. V. 1. P. 511–549Thurston W. P. Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere // The Epstein birthday schrift, Geom. Topol. Monogr. 1998. V. 1. P. 511–549Птицына И. В. Классификация замкнутых локально минимальных сетей на тетраэдрах // Матем. сб. 1994. Т. 185. № 5. С. 119–138. (English transl.: Ptitsyna I. V., Classification of closed minimal networks on tetrahedra, Sci. Sb. Math. 1995. V. 82. No. 1. P. 101–116.)Птицына И. В. Классификация замкнутых локально минимальных сетей на тетраэдрах // Матем. сб. 1994. Т. 185. № 5. С. 119–138. (English transl.: Ptitsyna I. V., Classification of closed minimal networks on tetrahedra, Sci. Sb. Math. 1995. V. 82. No. 1. P. 101–116.)Стрелкова Н. П. Замкнутые локально минимальные сети на поверхностях тетраэдров // Матем. сб. 2011. Т. 202. № 1. С. 141–160. (English transl.: Strelkova N. P. Closed locally minimal nets on tetrahedra. 2011. V. 202. No. 1. P. 135–153. DOI : 10.1070/SM2011v202n01ABEH004141.)Стрелкова Н. П. Замкнутые локально минимальные сети на поверхностях тетраэдров // Матем. сб. 2011. Т. 202. № 1. С. 141–160. (English transl.: Strelkova N. P. Closed locally minimal nets on tetrahedra. 2011. V. 202. No. 1. P. 135–153. DOI : 10.1070/SM2011v202n01ABEH004141.)Протасов В.Ю. Замкнутые геодезические на поверхности симплекса // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 2. С. 103–120, (English transl.: Protasov V. Yu. Closed geodesics on the surface of a simplex // Sbornik: Mathematics. 2007. V. 198, No. 2. P. 243–260)Протасов В.Ю. Замкнутые геодезические на поверхности симплекса // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 2. С. 103–120, (English transl.: Protasov V. Yu. Closed geodesics on the surface of a simplex // Sbornik: Mathematics. 2007. V. 198, No. 2. P. 243–260)Александров А. Д. Выпуклые многогранники. Москва; Ленинград, 1950. (English transl.: Aleksandrov A. D. Convex Polyhedra. Springer-Verlag. Berlin, 2005.)Александров А. Д. Выпуклые многогранники. Москва; Ленинград, 1950. (English transl.: Aleksandrov A. D. Convex Polyhedra. Springer-Verlag. Berlin, 2005.)Стрелкова Н. П. Реализация плоских графов как замкнутых локально минимальных сетей на выпуклых многогранниках // Доклады РАН. 2010, Т. 435, № 4. С. 1–3. (English transl.: Strelkova N. P. Realization of plane graphs as closed locally minimal nets on convex polyhedra // Doklady Mathematics. 2010. V. 82, No. 3. P. 939–941.)Стрелкова Н. П. Реализация плоских графов как замкнутых локально минимальных сетей на выпуклых многогранниках // Доклады РАН. 2010, Т. 435, № 4. С. 1–3. (English transl.: Strelkova N. P. Realization of plane graphs as closed locally minimal nets on convex polyhedra // Doklady Mathematics. 2010. V. 82, No. 3. P. 939–941.)B. Aronov and J. O’Rourke Nonoverlap of the star unfolding // Discrete and Computational Geometry. 1992. V. 8. No 1. P. 219–250.B. Aronov and J. O’Rourke Nonoverlap of the star unfolding // Discrete and Computational Geometry. 1992. V. 8. No 1. P. 219–250.Melzak Z. A. On the problem of Steiner // Canad. Math. Bulletin. 1961. V. 4. P. 143–148.Melzak Z. A. On the problem of Steiner // Canad. Math. Bulletin. 1961. V. 4. P. 143–148.Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия множества минимальных сетей данной топологии с фиксированной границей // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61. № 6. С. 119–152. (English transl.: Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. The geometry of minimal networks with a given topology and a fixed boundary // Izvestiya: Mathematics. 1997. V. 61. No. 6. P. 1231–1263.)Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия множества минимальных сетей данной топологии с фиксированной границей // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61. № 6. С. 119–152. (English transl.: Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. The geometry of minimal networks with a given topology and a fixed boundary // Izvestiya: Mathematics. 1997. V. 61. No. 6. P. 1231–1263.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.