maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-5-158-167mais-180Research ArticleОригинальные статьиArticlesЭкстремальная динамика системы трех однонаправленно связанных сингулярно возмущенных уравнений из нейродинамикиThe Quasi-Normal Form of a System of Three Unidirectionally Coupled Singularly Perturbed Equations with Two DelaysБобокАлексей СтаниславовичBobokA. S.

аспирант,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

 

аспирант,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

nemo20000alex@mail.ruГлызинСергей ДмитриевичGlyzinS. D.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

glyzin@uniyar.ac.ruКолесовАндрей ЮрьевичKolesovA. Yu.

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kolesov@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201320102013205158167Copyright © Бобок А.С., Глызин С.Д., Колесов А.Ю., 20132013Бобок А.С., Глызин С.Д., Колесов А.Ю.Bobok A.S., Glyzin S.D., Kolesov A.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/180

Рассматривается система из трех однонаправленно связанных сингулярно возмущенных скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений с двумя запаздываниями, моделирующих электрическую активность кольцевой нейронной ассоциации. Предполагается, что для каждого из уравнений при критических значениях параметров реализуется случай бесконечномерного вырождения. Далее, при условии, что бифуркационные параметры близки к критическим, а коэффициент связи подходящим образом мал, строится квазинормальная форма данной системы. Анализируя эту квазинормальную форму, на основе теоремы о соответствии, удается установить, что при подходящем выборе параметров в фазовом пространстве исходной системы может сосуществовать любое наперед заданное конечное число устойчивых периодических движений.

We consider a system of three unidirectionally coupled singularly perturbed scalar nonlinear differential-difference equations with two delays that simulate the electrical activity of the ring neural associations. It is assumed that for each equation at critical values of the parameters there is a case of an infinite dimensional degeneration. Further, we constructed a quasi-normal form of this system, provided that the bifurcation parameters are close to the critical values and the coupling coefficient is suitably small. In analyzing this quasi-normal form, we can state on the base of the accordance theorem, that any preassigned finite number of stable periodic motions can co-exist in the original system under the appropriate choice of the parameters in the phase space.

дифференциально-разностное уравнениебифуркацияквазинормальная формабуферностьdifferential-difference equationbifurcationquasinormal formbufferingгрант Правительства РФReferencesВасильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов Ю. С., Розов Н. Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Матем. сб. 1986. Т. 130(172), № 4(8). С. 488–499. (English transl.: Vasil’yeva A. B., Kashchenko S. A., Kolesov Yu. S., Rozov N.Kh. Bifurcation of self-oscillations of nonlinear parabolic equations with small diffusion // Mathematics of the USSR-Sbornik. 1987. V. 58, № 2. P. 491–503.)Васильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов Ю. С., Розов Н. Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Матем. сб. 1986. Т. 130(172), № 4(8). С. 488–499. (English transl.: Vasil’yeva A. B., Kashchenko S. A., Kolesov Yu. S., Rozov N.Kh. Bifurcation of self-oscillations of nonlinear parabolic equations with small diffusion // Mathematics of the USSR-Sbornik. 1987. V. 58, № 2. P. 491–503.)Колесов Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией // Укр. мат. журн. 1987. Т. 39, № 1. С. 28–34. (English transl.: Kolesov Yu. S. Method of quasinormal forms in the problem of steadystate conditions for parabolic systems with small diffusion // Ukrainian Mathematical Journal. 1987. V. 39, № 1. P. 21–26.)Колесов Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией // Укр. мат. журн. 1987. Т. 39, № 1. С. 28–34. (English transl.: Kolesov Yu. S. Method of quasinormal forms in the problem of steadystate conditions for parabolic systems with small diffusion // Ukrainian Mathematical Journal. 1987. V. 39, № 1. P. 21–26.)Кащенко С. А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1448–1451. (Kashchenko S. A. Normalization Techniques as Applied to the Investigation of Dynamics of DifferenceDifferential Equations with a Small Parameter Multiplying the Derivative // Differ. Uravn. 1989. V. 25. P. 1448–1451 [in Russian].)Кащенко С. А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1448–1451. (Kashchenko S. A. Normalization Techniques as Applied to the Investigation of Dynamics of DifferenceDifferential Equations with a Small Parameter Multiplying the Derivative // Differ. Uravn. 1989. V. 25. P. 1448–1451 [in Russian].)Кащенко С. А. Уравнения Гинзбурга–Ландау — нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 3. С. 457–465. (English transl.: Kashchenko S. A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. V. 38. № 3. P. 443–451. )Кащенко С. А. Уравнения Гинзбурга–Ландау — нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 3. С. 457–465. (English transl.: Kashchenko S. A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. V. 38. № 3. P. 443–451. )Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. О явлениях хаоса в кольце из трех однонаправленно связанных генераторов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 10. С. 1809 – 1821. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Chaos phenomena in a circle of three unidirectionally connected oscillators // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2006. V. 46. № 10. P. 1724–1736. )Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. О явлениях хаоса в кольце из трех однонаправленно связанных генераторов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 10. С. 1809 – 1821. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Chaos phenomena in a circle of three unidirectionally connected oscillators // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2006. V. 46. № 10. P. 1724–1736. )Глызин С. Д. Поведение решений нормальной формы системы трех связанных разностных автогенераторов // Моделирование и анализ информационных систем. 2006. Т. 13, №1. С. 49 – 57. (Glyzin S. D. The dynamics of the normal form of the system of three coupled differential autogenerators // Modeling and Analysis of Information Systems. 2006. V. 13, № 1. P. 49 – 57 [in Russian].)Глызин С. Д. Поведение решений нормальной формы системы трех связанных разностных автогенераторов // Моделирование и анализ информационных систем. 2006. Т. 13, №1. С. 49 – 57. (Glyzin S. D. The dynamics of the normal form of the system of three coupled differential autogenerators // Modeling and Analysis of Information Systems. 2006. V. 13, № 1. P. 49 – 57 [in Russian].)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Об одной математической модели хаотической буферности // ДАН. 2007. Т. 412. № 5. С. 604 – 609. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. A mathematical model of the chaotic buffer phenomenon // Doklady mathematics. 2007. V. 75. № 1. P. 157–161. )Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Об одной математической модели хаотической буферности // ДАН. 2007. Т. 412. № 5. С. 604 – 609. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. A mathematical model of the chaotic buffer phenomenon // Doklady mathematics. 2007. V. 75. № 1. P. 157–161. )Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian].)Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian].)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 1. С. 76 – 89. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2009. V. 49. № 1. P. 71–83.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 1. С. 76 – 89. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2009. V. 49. № 1. P. 71–83.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 5. С. 684–701. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems // Mathematical Notes. 2013. V. 93, № 5. P. 676–690. DOI: 10.4213/mzm9293)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 5. С. 684–701. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems // Mathematical Notes. 2013. V. 93, № 5. P. 676–690. DOI: 10.4213/mzm9293)Глызин С. Д., Овсянникова Е. О. Двухчастотные колебания обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя запаздываниями // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 86–105. (Glyzin S. D., Ovsyannikova E. O. Quasiperiodic oscillations of a neuron equation with two delays // Modeling and Analysis of Information Systems. 2011. V. 18, № 1. P. 86 – 105 [in Russian].)Глызин С. Д., Овсянникова Е. О. Двухчастотные колебания обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя запаздываниями // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 86–105. (Glyzin S. D., Ovsyannikova E. O. Quasiperiodic oscillations of a neuron equation with two delays // Modeling and Analysis of Information Systems. 2011. V. 18, № 1. P. 86 – 105 [in Russian].)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Явление буферности в нейродинамике // ДАН. 2012. Т. 443. № 2. С. 168 – 172. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady mathematics. 2012. V. 85. № 2. P. 297–300. )Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Явление буферности в нейродинамике // ДАН. 2012. Т. 443. № 2. С. 168 – 172. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady mathematics. 2012. V. 85. № 2. P. 297–300. )Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 288 с. (Kashchenko S. A., Mayorov V. V. Modeli volnovoy pamyati. M.: Knizhnyy dom «LIBROKOM», 2009. 288 s. [in Russian].)Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 288 с. (Kashchenko S. A., Mayorov V. V. Modeli volnovoy pamyati. M.: Knizhnyy dom «LIBROKOM», 2009. 288 s. [in Russian].)Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Новые методы доказательства существования и устойчивости периодических решений в сингулярно возмущенных системах с запаздыванием // Анализ и особенности. Часть 2: Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Владимира Игоревича Арнольда, Тр. МИАН. Т. 259. М.: Наука, 2007. С. 106–133. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. New Methods for Proving the Existence and Stability of Periodic Solutions in Singularly Perturbed Delay Systems // Analysis and singularities. Part 2: Collected papers. Dedicated to academician Vladimir Igorevich Arnold on the occasion of his 70th birthday. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2007. V. 259. P. 101–127.)Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Новые методы доказательства существования и устойчивости периодических решений в сингулярно возмущенных системах с запаздыванием // Анализ и особенности. Часть 2: Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Владимира Игоревича Арнольда, Тр. МИАН. Т. 259. М.: Наука, 2007. С. 106–133. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. New Methods for Proving the Existence and Stability of Periodic Solutions in Singularly Perturbed Delay Systems // Analysis and singularities. Part 2: Collected papers. Dedicated to academician Vladimir Igorevich Arnold on the occasion of his 70th birthday. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2007. V. 259. P. 101–127.)Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. (Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnyye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M.: Fizmatlit, 2004 [in Russian].)Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. (Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnyye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M.: Fizmatlit, 2004 [in Russian].)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.