maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-4-71-80mais-185Research ArticleОригинальные статьиArticlesК теореме Делоне о классификации схождений параллелоэдров в гранях коразмерности 3On Delaunay’s Theorem Classifying Coincidences of Parallelohedra at Faces of Codimension 3МагазиноАлександр НиколаевичMagazinovA. N.

119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8;

Лаборатория «Дискретная и вычислительная геометрия» им. Б.Н. Делоне, аспирант,

150000, г. Ярославль, ул. Советская, д. 14

Gubkina street, 8, Moscow, 119991, Russia;

аспирант, B. N. Delaunay Laboratory «Discrete and Computational Geometry»,

Sovetskaya street, 14, Yaroslavl, 150000, Russia

magazinov-al@yandex.ruМатематический институт им. В.А. Стеклова РАН; ЯрГУ им. П.Г. ДемидоваРоссияSteklov Mathematical Institute of RAS; Yaroslavl State UniversityRussian Federation2013200820132047180Copyright © Магазино А.Н., 20132013Магазино А.Н.Magazinov A.N.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/185

В 1929 году Б.Н. Делоне привел полную классификацию комбинаторных типов схождений параллелоэдров в гранях коразмерности 3. Оказалось, что любое схождение дуально одному из следующих пяти трехмерных многогранников: тетраэдру, четырехугольной пирамиде, октаэдру, треугольной призме или параллелепипеду. В статье приводится новое доказательство этого результата, основанное на формуле Эйлера. С использованием этой классификации получены некоторые дальнейшие свойства граней коразмерности 3 разбиений пространства на параллелоэдры. Показано, что для граней коразмерности 3 выполнена гипотеза о размерности, т.е. аффинная оболочка центров парал- лелоэдров, сходящихся в грани коразмерности 3, трехмерна. Наконец, установлено, что центры параллелоэдров, сходящихся в грани коразмерности 3, порождают трехмерную подрешетку индекса 1.

In 1929 B.N. Delaunay obtained the complete classification of all possible combinatorial coincidence types of parallelohedra at their faces of codimension 3. It appeared that every such coincidence is dual to one of the following five three-dimensional polytopes: a tetrahedron, a quadrangular pyramid, an octahedron, a triangular prism, or a parallelepiped. The present paper contains a new combinatorial proof of this result based on Euler formula. Using the classification, we have obtained several further properties of faces of codimension 3 in parallelohedral tilings. For instance, we showed that the Dimension Conjecture holds for faces of codimension 3, i.e. if we take the affine hull of centers of all parallelohedra containing a particular face of codimension 3, this affine hull is three-dimensional. Finally, we proved that the set of centers of all parallelohedra sharing a face of codimension 3 spans a three-dimensional sublattice of index one.

параллелоэдррешетчатое разбиениедуальная клеткаparallelohedronlattice tilingdual cellгрант Правительства РФ, РФФИReferencesВенков Б.А. Об одном классе эвклидовых многогранников // Вестник Ленинградского Университета. Сер. мат., физ., хим. 1954. 2. С. 11 – 31. (Venkov B.A. Ob odnom klasse evklidovykh mnogogrannikov // Vestnik Leningradskogo Universiteta. Ser. mat., fiz., khim. 1954. 2. P. 11 – 31 [in Russian]).Венков Б.А. Об одном классе эвклидовых многогранников // Вестник Ленинградского Университета. Сер. мат., физ., хим. 1954. 2. С. 11 – 31. (Venkov B.A. Ob odnom klasse evklidovykh mnogogrannikov // Vestnik Leningradskogo Universiteta. Ser. mat., fiz., khim. 1954. 2. P. 11 – 31 [in Russian]).Долбилин Н.П. Свойства граней параллелоэдров // Геометрия, топология и математическая физика. II: Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова. Тр. МИАН. 2009. 266. С. 112 – 126. (English Translation: Dolbilin N.P. Properties of Faces of Parallelohedra // Proc. Steklov Inst. Math. 2009. 266. P. 105 – 119).Долбилин Н.П. Свойства граней параллелоэдров // Геометрия, топология и математическая физика. II: Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова. Тр. МИАН. 2009. 266. С. 112 – 126. (English Translation: Dolbilin N.P. Properties of Faces of Parallelohedra // Proc. Steklov Inst. Math. 2009. 266. P. 105 – 119).Долбилин Н.П. Параллелоэдры: ретроспектива и новые результаты // Труды ММО. 2012. 73:2. С. 259 – 276. (English Translation: Dolbilin N.P. Parallelohedra: A retrospective and new results // Trans. Moscow Math. Soc. 2012. 73. P. 207 – 220).Долбилин Н.П. Параллелоэдры: ретроспектива и новые результаты // Труды ММО. 2012. 73:2. С. 259 – 276. (English Translation: Dolbilin N.P. Parallelohedra: A retrospective and new results // Trans. Moscow Math. Soc. 2012. 73. P. 207 – 220).Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989. (Fomenko A.T., Fuks D.B. Kurs gomotopicheskoy topologii. Moskva: Nauka, 1989 [in Russian]).Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989. (Fomenko A.T., Fuks D.B. Kurs gomotopicheskoy topologii. Moskva: Nauka, 1989 [in Russian]).Danzer L., Grünbaum B. Über zwei Probleme bezüglich konvexer Körper von P. Erdös und von V. L. Klee // Math. Z. 1962. 79. P. 95 – 99.Danzer L., Grünbaum B. Über zwei Probleme bezüglich konvexer Körper von P. Erdös und von V. L. Klee // Math. Z. 1962. 79. P. 95 – 99.Delaunay B.N. Sur la partition réguli`ere de l’espace à 4 dimensions // Izv. Acad. sci. of the USSR. Ser. VII. Sect. of phys. and math. sci. 1929. 1 – 2. P. 79 – 110, 147 – 164.Delaunay B.N. Sur la partition réguli`ere de l’espace à 4 dimensions // Izv. Acad. sci. of the USSR. Ser. VII. Sect. of phys. and math. sci. 1929. 1 – 2. P. 79 – 110, 147 – 164.Dutour M. The six-dimensional Delaunay polytopes // European Journal of Combinatorics. 2004. 25. P. 535 – 548.Dutour M. The six-dimensional Delaunay polytopes // European Journal of Combinatorics. 2004. 25. P. 535 – 548.Minkowski H. Allgemeine Lehrsätze über die konvexe Polyeder. Nach. Ges. Wiss., Göttingen, 1897. P. 198 – 219.Minkowski H. Allgemeine Lehrsätze über die konvexe Polyeder. Nach. Ges. Wiss., Göttingen, 1897. P. 198 – 219.Ordine A. Proof of the Voronoi conjecture on parallelotopes in a new special case: Ph.D. Thesis / Queen’s University, Ontario, 2005.Ordine A. Proof of the Voronoi conjecture on parallelotopes in a new special case: Ph.D. Thesis / Queen’s University, Ontario, 2005.Ryshkov S.S., Rybnikov K.A. Jr. The theory of quality translations with applications to tilings // European Journal of Combinatorics. 1997. 18. P. 431 – 444.Ryshkov S.S., Rybnikov K.A. Jr. The theory of quality translations with applications to tilings // European Journal of Combinatorics. 1997. 18. P. 431 – 444.Voronoi G. Nouvelles applications des paramétres continus à la théorie des formes quadratiques. Deuxième mémoire. Recherches sur les paralléloèdres primitifs // J. Reine Angew. Math. 1908. 134. P. 198 – 287; 1909. 136. P. 67 – 178. Перевод: Вороной Г.Ф. Исследования о примитивных параллелоэдрах: Собр. соч. Т. 2. Киев: Изд-во АН УССР, 1952. С. 239 – 368.Voronoi G. Nouvelles applications des paramétres continus à la théorie des formes quadratiques. Deuxième mémoire. Recherches sur les paralléloèdres primitifs // J. Reine Angew. Math. 1908. 134. P. 198 – 287; 1909. 136. P. 67 – 178. Перевод: Вороной Г.Ф. Исследования о примитивных параллелоэдрах: Собр. соч. Т. 2. Киев: Изд-во АН УССР, 1952. С. 239 – 368.Zitomirskij O.K. Versch¨arfung eines Satzes von Woronoi // J. Leningrad. Fiz.-Mat. Ob-va. 1929. 2. P. 131 – 151.Zitomirskij O.K. Versch¨arfung eines Satzes von Woronoi // J. Leningrad. Fiz.-Mat. Ob-va. 1929. 2. P. 131 – 151.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.