maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-3-43-57mais-194Research ArticleОригинальные статьиArticlesДиффузионный хаос в задаче «реакция–диффузия» c гантелеобразной областью определения пространственной переменнойDiffusion Chaos in Reaction – Diffusion Boundary Problem in the Dumbbell DomainГлызинСергей ДмитриевичGlyzinS. D.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

glyzin@uniyar.ac.ruШокинПавел ЛеонидовичShokinP. L.

научный сотрудник

научный сотрудник,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

katarai@yandex.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2013200620132034357Copyright © Глызин С.Д., Шокин П.Л., 20132013Глызин С.Д., Шокин П.Л.Glyzin S.D., Shokin P.L.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/194

Рассматривается краевая задача типа «реакция–диффузия» в области, состоящей из двух прямоугольных частей, связанных между собой перемычкой. Ширина перемычки является бифуркационным параметром задачи и меняется так, что мера области сохраняется. Изучены условия возникновения хаотических колебаний и построена зависимость инвариантных характеристик аттрактора задачи от ширины перемычки. Параметр диффузии при этом выбран так, что для случая наиболее широкой перемычки (соответствует прямоугольной пространственной области) пространственно однородный цикл задачи орбитально асимптотически устойчив. За счет уменьшения ширины перемычки однородный цикл теряет устойчивость, а затем появляется пространственно неоднородный хаотический аттрактор. Для полученного аттрактора вычисляются ляпуновские экспоненты и ляпуновская размерность, при этом выяснилось, что размерность растет с уменьшением параметра, но лишь до некоторого предела. Показано, что увеличение размерности связано с усложнением распределения по пространственной переменной устойчивых режимов системы.

We consider a boundary problem of reaction-diffusion type in the domain consisting of two rectangular areas connected by a bridge. The bridge width is a bifurcation parameter of the problem and is changed in such way that the measure of the domain is preserved. The conditions on chaotic oscillations emergence were studied and the dependence of invariant characteristics of the attractor on the bridge width was constructed. The diffusion parameter was chosen such that in the case of widest possible bridge (corresponding to a rectangular domain) the spatially homogeneous cycle of the problem is orbitally asymptotically stable. By decreasing the bridge width the homogeneous cycle looses stability and then the spatially inhomogeneous chaotic attractor emerges. For the obtained attractor we compute Lyapunov exponents and Lyapunov dimension and notice that the dimension grows as the parameter decreases but is bounded. We show that the dimension growth is connected with the growing complexity of stable solutions distribution with respect to the space variable.

диффузионный хаосаттракторляпуновская размерностьуравнение Гинзбурга – Ландаубифуркацияdiffusion chaosattractorLyapunov dimensionGinzburg – Landau equationbifurcationгрант Правительства РФ, Минобрнауки РФReferencesTuring Alan M. The Chemical Basis of Morphogenesis // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences. V. 237. No. 641 (Aug. 14, 1952).Turing Alan M. The Chemical Basis of Morphogenesis // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences. V. 237. No. 641 (Aug. 14, 1952).Nicolis G., Prigogine I. Self-Organization in Non-Equilibrium Systems. Wiley, 1977.Nicolis G., Prigogine I. Self-Organization in Non-Equilibrium Systems. Wiley, 1977.Kuramoto Y. Diffusion-Induced Chaos in Reaction Systems // Prog. Theor. Phys. Supplement. 1978. No. 64(1978). P. 346–367. DOI : 10.1143/PTPS.64.346.Kuramoto Y. Diffusion-Induced Chaos in Reaction Systems // Prog. Theor. Phys. Supplement. 1978. No. 64(1978). P. 346–367. DOI : 10.1143/PTPS.64.346.Arrieta J. M. Neumann eigenvalue problems on exterior perturbations of the domain // Journal of Differential Equations. 1995. V. 118, No. 1. P. 54–103.Arrieta J. M. Neumann eigenvalue problems on exterior perturbations of the domain // Journal of Differential Equations. 1995. V. 118, No. 1. P. 54–103.Arrieta J. M. Rates of Eigenvalues on a Dumbbell Domain. Simple Eigenvalue Case // Transactions of the American Mathematical Society. 1995. V. 347, No. 9 (Sep., 1995). P. 3503–3531.Arrieta J. M. Rates of Eigenvalues on a Dumbbell Domain. Simple Eigenvalue Case // Transactions of the American Mathematical Society. 1995. V. 347, No. 9 (Sep., 1995). P. 3503–3531.Arrieta J. M., Carvalho A. N., Lozada-Cruz G. Dynamics in dumbbell domains I. Continuity of the set of equilibria // Journal of Differential Equations. 2006. V. 231, No. 2. P. 551–597.Arrieta J. M., Carvalho A. N., Lozada-Cruz G. Dynamics in dumbbell domains I. Continuity of the set of equilibria // Journal of Differential Equations. 2006. V. 231, No. 2. P. 551–597.Arrieta J. M., Carvalho A. N., Lozada-Cruz G. Dynamics in dumbbell domains II. The limiting problem // Journal of Differential Equations. 2009. V. 247, No 1. P. 174–202.Arrieta J. M., Carvalho A. N., Lozada-Cruz G. Dynamics in dumbbell domains II. The limiting problem // Journal of Differential Equations. 2009. V. 247, No 1. P. 174–202.Arrieta J. M., Carvalho A. N., Lozada-Cruz G. Dynamics in dumbbell domains III. Continuity of attractors // Journal of Differential Equations. 2009. V. 247, No. 1. P. 225–259.Arrieta J. M., Carvalho A. N., Lozada-Cruz G. Dynamics in dumbbell domains III. Continuity of attractors // Journal of Differential Equations. 2009. V. 247, No. 1. P. 225–259.Васильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов Ю. С., Розов Н. Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Математический сборник. 1986. Т. 130(172), № 4(8). С. 488–499. (English transl.: Vasil’eva A. B., Kashchenko S.A., Kolesov Yu.S., Rozov N.Kh. Bifurcation of self-oscillations of nonlinear parabolic equations with small diffusion // Mathematics of the USSR-Sbornik, 1987. V 58:2. P. 491–503.)Васильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов Ю. С., Розов Н. Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Математический сборник. 1986. Т. 130(172), № 4(8). С. 488–499. (English transl.: Vasil’eva A. B., Kashchenko S.A., Kolesov Yu.S., Rozov N.Kh. Bifurcation of self-oscillations of nonlinear parabolic equations with small diffusion // Mathematics of the USSR-Sbornik, 1987. V 58:2. P. 491–503.)Dormand J.R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge – Kutta Formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19–26.Dormand J.R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge – Kutta Formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19–26.Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. ММО. Т. 19. М., 1968. С. 179–210. (Oseledec V.I. A multiplicative ergodic theorem. Characteristic Ljapunov, exponents of dynamical systems // Trudy Moskov. Mat. Obs. V. 19. 1968. P. 179–210 [in Russian].)Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. ММО. Т. 19. М., 1968. С. 179–210. (Oseledec V.I. A multiplicative ergodic theorem. Characteristic Ljapunov, exponents of dynamical systems // Trudy Moskov. Mat. Obs. V. 19. 1968. P. 179–210 [in Russian].)Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. V. A14. P. 2338–2345.Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. V. A14. P. 2338–2345.Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. V. D16. P. 285–317.Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. V. D16. P. 285–317.Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268–273.Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268–273.(English transl.: Glyzin D.S., Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor // Differential Equations. 2005. V. 41. No. 2. P. 284–289.)(English transl.: Glyzin D.S., Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor // Differential Equations. 2005. V. 41. No. 2. P. 284–289.)Frederickson P., Kaplan J., Yorke J. The Lyapunov dimension of strange attractors // J. Different. Equat. 1983. V. 49. №2. P. 185–207.Frederickson P., Kaplan J., Yorke J. The Lyapunov dimension of strange attractors // J. Different. Equat. 1983. V. 49. №2. P. 185–207.Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, No 3. P. 96–116 [in Russian].)Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, No 3. P. 96–116 [in Russian].)Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Конечномерные модели диффузионного хаоса // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 5. С. 860–875. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Finitedimensional models of diffusion chaos // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50. No 5. P. 816–830. DOI: 10.1134/S0965542510050076.)Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Конечномерные модели диффузионного хаоса // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 5. С. 860–875. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Finitedimensional models of diffusion chaos // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50. No 5. P. 816–830. DOI: 10.1134/S0965542510050076.)Глызин С. Д. Размерностные характеристики диффузионного хаоса // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. С. 30–51. (Glyzin S. D. Dimensional Characteristics of Diffusion Chaos // Modeling and Analysis of Information Systems. 2013. V. 20, No 1. P. 30–51 [in Russian].)Глызин С. Д. Размерностные характеристики диффузионного хаоса // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. С. 30–51. (Glyzin S. D. Dimensional Characteristics of Diffusion Chaos // Modeling and Analysis of Information Systems. 2013. V. 20, No 1. P. 30–51 [in Russian].)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.