maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-3-77-85mais-196Research ArticleОригинальные статьиArticlesОб одной задаче для симплекса и куба в RⁿOn Some Problem for a Simplex and a Cube in RⁿНевскийМихаил ВикторовичNevskiiM. V.

канд. физ.-мат. наук, доцент, декан математического факультета,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

канд. физ.-мат. наук, доцент, декан математического факультета,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

mnevsk@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2013200620132037785Copyright © Невский М.В., 20132013Невский М.В.Nevskii M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/196

Пусть S — невырожденный симплекс в Rⁿ. Обозначим через α(S) минимальное σ > 0 такое, что единичный куб Qn := [0, 1]ⁿ принадлежит трансляту σS. В случае α(S) ≠ 1 транслят α(S)S, содержащий Qn, есть образ S при гомотетии с центром в некоторой точке x ∈ Rⁿ . В статье получена следующая формула для вычисления x. Обозначим через x (j) (j = 1, . . . , n + 1) вершины S. Пусть A — матрица порядка n + 1, строки которой содержат координаты x (j) ; последний столбец A состоит из 1. Предположим, что A¯¹ = (lij). Тогда координаты x суть числа

xk = Pn+1 j=1 ( Pn i=1 |lij |) x (j) k − 1 Pn i=1 Pn+1 j=1 |lij | − 2 (k = 1, . . . , n).

В силу условия α(S) ≠ 1 знаменатель, стоящий в правой части этого равенства, отличен от нуля. Приводятся также оценки для норм проекторов при линейной интерполяции непрерывных функций, заданных на Qn.

Let S be a nondegenerate simplex in Rⁿ. Denote by α(S) the minimal σ > 0 such that the unit cube Qn:= [0, 1]ⁿ is contained in a translate of σS. In the case α(S) ≠ 1 the translate of α(S)S containing Qn is a homothetic copy of S with the homothety center at some point x ∈ Rⁿ . We obtain the following computational formula for x. Denote by x (j) (j = 1, . . . , n+ 1) the vertices of S. Let A be the matrix of order n+ 1 with the rows consisting of the coordinates of x (j) ; the last column of A consists of 1’s. Suppose that A−1 = (lIj ). Then the coordinates of x are the numbers

xk = Pn+1 j=1 ( Pn i=1 |lij |) x (j) k − 1 Pn i=1 Pn+1 j=1 |lij | − 2 (k = 1, . . . , n).

Since α(S) ≠ 1, the denominator from the right-hand part of this equality is not equal to zero. Also we give the estimates for norms of projections dealing with the linear interpolation of continuous functions defined on Qn.

n-мерный симплексn-мерный кубосевой диаметргомотетияинтерполяцияпроекторn-dimensional simplexn-dimensional cubeaxial diameterhomothetyinterpolationprojectionгрант Правительства РФReferencesНевский М. В. Минимальные проекторы и максимальные симплексы // Модел. и анализ информ. систем. 2007. Т. 14, № 1. С. 3–10. (Nevskij M. V. Minimal projections and largest simplices // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 1. P. 3–10 [in Russian]).Невский М. В. Минимальные проекторы и максимальные симплексы // Модел. и анализ информ. систем. 2007. Т. 14, № 1. С. 3–10. (Nevskij M. V. Minimal projections and largest simplices // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 1. P. 3–10 [in Russian]).Невский М. В. Об одном свойстве n-мерного симплекса // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 4. С. 580–593. (English transl.: Nevskii M. V. On a property of n-dimensional simplices // Math. Notes. 2010. V. 87, № 4. P. 543–555.)Невский М. В. Об одном свойстве n-мерного симплекса // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 4. С. 580–593. (English transl.: Nevskii M. V. On a property of n-dimensional simplices // Math. Notes. 2010. V. 87, № 4. P. 543–555.)Невский М. В. Об осевых диаметрах выпуклого тела // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 2. С. 313–315. (English transl.: Nevskii M. V. On the axial diameters of a convex body // Math. Notes. 2011. V. 90, № 2. P. 295–298.)Невский М. В. Об осевых диаметрах выпуклого тела // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 2. С. 313–315. (English transl.: Nevskii M. V. On the axial diameters of a convex body // Math. Notes. 2011. V. 90, № 2. P. 295–298.)Невский М. В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции / Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, 2012. 218 с. (Nevskii M. V. Geometricheskie ocenki v polinomialnoi interpolyacii / P. G. Demidov Yarosl. Gos. Univ. Yaroslavl: YarGU, 2012. 218 s. [in Russian]).Невский М. В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции / Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, 2012. 218 с. (Nevskii M. V. Geometricheskie ocenki v polinomialnoi interpolyacii / P. G. Demidov Yarosl. Gos. Univ. Yaroslavl: YarGU, 2012. 218 s. [in Russian]).Невский М. В. О минимальном положительном гомотетическом образе симплекса, содержащем выпуклое тело // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 3. С. 448–456. (English transl.: Nevskii M. V. On the minimal positive homothetic image of a simplex containing a convex body // Math. Notes. 2013. V. 93, № 3. P. 112–120.)Невский М. В. О минимальном положительном гомотетическом образе симплекса, содержащем выпуклое тело // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 3. С. 448–456. (English transl.: Nevskii M. V. On the minimal positive homothetic image of a simplex containing a convex body // Math. Notes. 2013. V. 93, № 3. P. 112–120.)Hudelson M., Klee V., Larman D. Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem // Linear Algebra Appl. 1996. V. 241–243. P. 519–598.Hudelson M., Klee V., Larman D. Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem // Linear Algebra Appl. 1996. V. 241–243. P. 519–598.Nevskii M. Properties of axial diameters of a simplex // Discrete Comput. Geom. 2011. V. 46, № 2. P. 301–312.Nevskii M. Properties of axial diameters of a simplex // Discrete Comput. Geom. 2011. V. 46, № 2. P. 301–312.Scott P. R. Lattices and convex sets in space // Quart. J. Math. Oxford (2). 1985. V. 36. P. 359–362.Scott P. R. Lattices and convex sets in space // Quart. J. Math. Oxford (2). 1985. V. 36. P. 359–362.Scott P. R. Properties of axial diameters // Bull. Austral. Math. Soc. 1989. V. 39. P. 329–333.Scott P. R. Properties of axial diameters // Bull. Austral. Math. Soc. 1989. V. 39. P. 329–333.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.