Исследование различных процессов приводит к необходимости уточнения (расширения) границ применимости вычислительных конструкций и инструментов моделирования. Целью данной статьи является развитие разложения Тейлора для функций нескольких переменных на основе понятия $S$-дифференцируемости. Функцию $f$ из $L_1[Q_0]$, где $Q_0$ — $m$-мерный куб, назовём $S$-дифференцируемой во внутренней точке $x_0$ этого куба, если существует алгебраический многочлен $P(x)$ степени не выше первой, для которого равномерно по всем векторам $v$ единичной сферы ${\mathbb R}^m$ интеграл по $t$ с пределами $0$ и $h$ от выражения $f(x_0 + t \cdot v)-P(t \cdot v)$ есть $o(h^2)$ при $h \to 0{+}$. Показано, что при таком определении справедливо дифференцирование сложной функции с линейной внутренней компонентой, имеет место принцип вектора-градиента. Доказан следующий результат. Пусть функция $f$ имеет в некоторой окрестности внутренней точки $x_0 \in Q_0$ непрерывные частные производные до порядка $n$ включительно, которые $S$-дифференцируемы в точке $x_0$, тогда в этой окрестности справедливо разложение Тейлора функции $f$ с точностью $o\big(\Vert x — x_0\Vert^{n + 1}\big)$.
The study of various processes leads to the need to clarify (expand) the boundaries of the applicability of computational structures and modeling tools. The purpose of this article is to develop the Taylor expansion for functions of several variables based on the concept of $S$-differentiability. A function $f$ from $L_1[Q_0]$, where $Q_0$ is an $m$-dimensional cube, is called $S$-differentiable at an interior point $x_0$ of this cube, if there exists an algebraic if there exists an analgebraic polynomial $P(x)$ of degree not greater than first for which it is uniform over all vectors $v$ of the unit sphere ${\mathbb R}^m$ the integral of $t$ within $0$ and $h$ from the expression $f(x_0 + t \cdot v)-P(t \cdot v)$ is $o(h^2)$ for $h \to 0{+}$. It is shown that with this definition, differentiation of a composite function with a linear interior component is valid, and the vector-gradient principle holds. The following result is proved. Let the function $f$ have continuous partial derivatives up to order $n$ inclusive in some neighborhood of the interior point $x_0 \in Q_0$ that are $S$-differentiable at the point $x_0$, then the Taylor expansion the function $f$ with accuracy $o\big(\Vert x - x_0\Vert^{n + 1}\big)$ holds in this neighborhood.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.