ассистент кафедры высшей математики,
156961, Россия, Кострома, ул. 1 Мая, д. 14
ассистент кафедры высшей математики,
1 May str., 14, Kostroma, 156961, Russia
В настоящей статье изучаются семейства гладких рациональных кривых степени 2, 3 и 4 на гладком трехмерном многообразии Фано X, являющемся линейным сечением грассманиана G(1, 4) прямых пространства P⁴, вложенного в пространство P⁹ по Плюкеру. Мы доказываем, что эти семейства являются неприводимыми многообразиями. Доказательство неприводимости семейств рациональных кривых степени d основано на исследовании вырождения раци- ональной кривой степени d в кривую, распадающуюся на неприводимую рациональную кривую степени d − 1 и прямую, пересекающиеся трансверсально в одной точке. Доказывается, что схема Гильберта кривых степени d на X неособа в точке, соответствующей такой приводимой кривой. Затем вычисления в рамках теории деформации показывают, что такая кривая варьируется в гладкую рациональную кривую степени d. Тем самым, множество приводимых кривых степени d вышеуказанного типа лежит в замыкании единственной компоненты схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени d на X. Из этого факта и неприводимости схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени d на грассманиане G(1, 4) выводится неприводимость схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени d на общем многообразии Фано X.
In this paper we consider some families of smooth rational curves of degree 2, 3 and 4 on a smooth Fano threefold X which is a linear section of the Grassmanian G(1, 4) under the Pl¨ucker embedding. We prove that these families are irreducible. The proof of the irreducibility of the families of curves of degree d is based on the study of degeneration of a rational curve of degree d into a curve which decomposes into an irreducible rational curve of degree d−1 and a projective line intersecting transversally at a point. We prove that the Hilbert scheme of curves of degree d on X is smooth at the point corresponding to such a reducible curve. Then calculations in the framework of deformation theory show that such a curve varies into a smooth rational curve of degree d. Thus, the set of reducible curves of degree d of the above type lies in the closure of a unique component of the Hilbert scheme of smooth rational curves of degree d on X. From this fact and the irreducibility of the Hilbert scheme of smooth rational curves of degree d on the Grassmannian G(1, 4) one deduces the irreducibility of the Hilbert scheme of smooth rational curves of degree d on a general Fano threefold X.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.