maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-2-54-69mais-205Research ArticleОригинальные статьиArticlesНекоторые классы разрешимости задачи целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы с ограничениями второго родаSome Solvability Classes for the Problem of Integer Balancing of a Three-Dimensional Matrix with Constraints of Second TypeСмирновАлександр ВалерьевичSmirnovA. V.

канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель кафедры теоретической информатики,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель кафедры теоретической информатики,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

alexander_sm@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2013200420132025469Copyright © Смирнов А.В., 20132013Смирнов А.В.Smirnov A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/205

Рассматривается задача целочисленного сбалансирования с ограничениями второго рода. В вещественной трехмерной матрице элементы внутренней части (все три индекса больше нуля) просуммированы по каждому направлению и сечению матрицы, а также найдена общая сумма. Данные суммы размещаются в элементах матрицы, у которых один или несколько индексов равны нулю (в соответствии с направлениями суммирования). Ищется целочисленная матрица той же структуры, получаемая из исходной заменой элементов внутренней части на округления до целого сверху или целого снизу. При этом суммирующие элементы должны отклоняться от исходных менее чем на 2, а элемент с тремя нулевыми индексами получается по обычным правилам округления. В статье определяются некоторые классы разрешимости данной задачи. Также предлагается модель ее сведения к задаче о наибольшем потоке в кратной сети и алгоритм решения соответствующей потоковой задачи. Кроме того, для частного случая n = 2 приводится полиномиальный алгоритм.

The problem of integer balancing of a three-dimensional matrix with constraints of second type is studied. The elements of the inner part (all three indices are greater than zero) of the three-dimensional matrix are summed in each direction and each section of the matrix; the total sum is also found. These sums are placed into the elements where one or more indices are equal to zero (according to the summing directions). The problem is to find an integer matrix of the same structure, which can be produced from the initial one by replacing the elements of the inner part with the largest previous or the smallest following integer. At the same time variations of the sums of elements from that in the initial matrix should be less than 2 and the element with three zero indices should be produced with standard rules of rounding-off. Some solvability classes for this problem are defined. Also, a model of reducing this problem to a problem of finding the maximum flow in a multiple network and an algorithm for the corresponding flow problem are suggested. A polynomial algorithm for the particular case of n = 2 is described.

целочисленное сбалансированиетрехмерные матрицыограничения второго родаклассы разрешимостикратные сетикратные потокиобобщенный алгоритм пометокinteger balancingthree-dimensional matricesconstraints of second typesolvability classesmultiple networksmultiple flowsgeneralized labeling algorithmReferencesРублев В. С., Смирнов А. В. NP-полнота задачи целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы // ДАН. 2010. Т. 435, №3. С. 314–316 (English transl.: Roublev V. S., Smirnov A. V. NP-Completeness of the Integer Balancing Problem for a Three-Dimensional Matrix // Doklady Mathematics. 2010. Vol. 82, №3. P. 912–914).Рублев В. С., Смирнов А. В. NP-полнота задачи целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы // ДАН. 2010. Т. 435, №3. С. 314–316 (English transl.: Roublev V. S., Smirnov A. V. NP-Completeness of the Integer Balancing Problem for a Three-Dimensional Matrix // Doklady Mathematics. 2010. Vol. 82, №3. P. 912–914).Рублев В. С., Смирнов А. В. Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы и алгоритмы ее решения // Моделирование и анализ информационных систем. 2010. Т. 17, №2. С. 72–98 (Roublev V.S., Smirnov A.V. The Problem of IntegerValued Balancing of a Three-Dimensional Matrix and Algorithms of Its Solution // MAIS. 2010. V. 17, №2. P. 72–98 [in Russian]).Рублев В. С., Смирнов А. В. Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы и алгоритмы ее решения // Моделирование и анализ информационных систем. 2010. Т. 17, №2. С. 72–98 (Roublev V.S., Smirnov A.V. The Problem of IntegerValued Balancing of a Three-Dimensional Matrix and Algorithms of Its Solution // MAIS. 2010. V. 17, №2. P. 72–98 [in Russian]).Смирнов А. В. Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы и сетевая модель // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, №3. С. 70–76 (Smirnov A.V. The Problem of Integer-valued Balancing of a Three-dimensional Matrix and Network Model // MAIS. 2010. V. 16, №3. P. 70–76 [in Russian]).Смирнов А. В. Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы и сетевая модель // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, №3. С. 70–76 (Smirnov A.V. The Problem of Integer-valued Balancing of a Three-dimensional Matrix and Network Model // MAIS. 2010. V. 16, №3. P. 70–76 [in Russian]).Смирнов А. В. Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы с ограниченями второго рода // Моделирование и анализ информационных систем: Труды международной научной конференции, посвященной 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, 2012. С. 164–167 (Smirnov A. V. Zadacha tselochislennogo sbalansirovaniya tryokhmernoy matritsy s ogranicheniyami vtorogo roda // Modelirovanie i analiz informatsionnykh sistem: Trudy mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii, posvyashchyonnoy 35-letiyu matematicheskogo fakulteta i 25-letiyu fakulteta informatiki i vychislitelnoy tekhniki Yaroslavskogo gosudarstvennogo universiteta im. P. G. Demidova. Yaroslavl: YarGU, 2012. S. 164–167 [in Russian]).Смирнов А. В. Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы с ограниченями второго рода // Моделирование и анализ информационных систем: Труды международной научной конференции, посвященной 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, 2012. С. 164–167 (Smirnov A. V. Zadacha tselochislennogo sbalansirovaniya tryokhmernoy matritsy s ogranicheniyami vtorogo roda // Modelirovanie i analiz informatsionnykh sistem: Trudy mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii, posvyashchyonnoy 35-letiyu matematicheskogo fakulteta i 25-letiyu fakulteta informatiki i vychislitelnoy tekhniki Yaroslavskogo gosudarstvennogo universiteta im. P. G. Demidova. Yaroslavl: YarGU, 2012. S. 164–167 [in Russian]).Кондаков А. С., Рублев В. С. Задача сбалансирования матрицы плана // Доклады Одесского семинара по дискретной математике. Одесса: Астропринт, 2005. Вып. 2. С. 24–26 (Kondakov A. S., Roublev V. S. Zadacha sbalansirovaniya matritsy plana // Doklady Odesskogo seminara po diskretnoy matematike. Odessa: Astroprint, 2005. №2. S. 24–26 [in Russian]).Кондаков А. С., Рублев В. С. Задача сбалансирования матрицы плана // Доклады Одесского семинара по дискретной математике. Одесса: Астропринт, 2005. Вып. 2. С. 24–26 (Kondakov A. S., Roublev V. S. Zadacha sbalansirovaniya matritsy plana // Doklady Odesskogo seminara po diskretnoy matematike. Odessa: Astroprint, 2005. №2. S. 24–26 [in Russian]).Коршунова Н. М., Рублев В. С. Задача целочисленного сбалансирования матрицы // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль: ЯрГУ, 2000. Вып. 3. С. 145–150 (Korshunova N. M., Roublev V. S. Zadacha tselochislennogo sbalansirovaniya matritsy // Sovremennye problemy matematiki i informatiki. Yaroslavl: YarGU, 2000. №3. S. 145–150 [in Russian]).Коршунова Н. М., Рублев В. С. Задача целочисленного сбалансирования матрицы // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль: ЯрГУ, 2000. Вып. 3. С. 145–150 (Korshunova N. M., Roublev V. S. Zadacha tselochislennogo sbalansirovaniya matritsy // Sovremennye problemy matematiki i informatiki. Yaroslavl: YarGU, 2000. №3. S. 145–150 [in Russian]).Форд Л. Р., Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. 276 с. (Ford L. R., Fulkerson D. R. Flows in Networks. Princeton University Press, 1962. 194 p.).Форд Л. Р., Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. 276 с. (Ford L. R., Fulkerson D. R. Flows in Networks. Princeton University Press, 1962. 194 p.).Рублев В. С., Смирнов А. В. Потоки в кратных сетях // Ярославский педагогический вестник. Естественные науки. 2011. Т. 3, №2. С. 60–68 (Rublev V.S., Smirnov A.V. Flows in Multiple Networks // Yaroslavsky Pedagogichesky Vestnik. 2011. T. 3, №2. S. 60–68 [in Russian]).Рублев В. С., Смирнов А. В. Потоки в кратных сетях // Ярославский педагогический вестник. Естественные науки. 2011. Т. 3, №2. С. 60–68 (Rublev V.S., Smirnov A.V. Flows in Multiple Networks // Yaroslavsky Pedagogichesky Vestnik. 2011. T. 3, №2. S. 60–68 [in Russian]).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.