maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-1-18-29mais-218Research ArticleОригинальные статьиArticlesКвазинормальные формы для уравнений Лэнга–Кобаяши с большим коэффициентом управленияQuasinormal Forms for Lang–Kobayashi Equations with a Large Control CoefficientГригорьеваЕлена ВикторовнаGrigorievaE. V.

доктор физ.-мат. наук, профессор,

220070 Республика Беларусь, Минск, Партизанский проспект, 26

доктор физ.-мат. наук, профессор,

Partizanskii av., 26, Minsk, 220070, Belarus

grigorieva@tut.byКащенкоИлья СергеевичKashchenkoI. S.

канд.-физ. мат. наук, доцент,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

канд.-физ. мат. наук, доцент,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

iliyask@uniyar.ac.ruКащенкоСергей АлександровичKashchenkoS. A.

доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой математического моделирования,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой математического моделирования,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kasch@uniyar.ac.ruБелорусский государственный экономический университетБеларусьBelarus State Economical UniversityBelarusЯрославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian FederationЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2013200220132011829Copyright © Григорьева Е.В., Кащенко И.С., Кащенко С.А., 20132013Григорьева Е.В., Кащенко И.С., Кащенко С.А.Grigorieva E.V., Kashchenko I.S., Kashchenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/218

Исследуется модель одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, основанная на уравнениях с запаздывающим аргументом (модель Лэнга–Кобаяши). Методами локального анализа построены континуальные семейства квазинормальных форм в окрестности бифуркационных значений параметров. Обсуждается возможность сосуществования большого числа установившихся осциллирующих режимов.

We study a model of single-mode semiconductor laser with the optical feedback. This model bases on DDE (Lang–Kobayashi model). With the help of local analysis methods we built a continuous set of quasinormal forms in the neighbourhood of critical values. The ability of coexistence of a large number of steady oscillating states is discussed.

уравнение Лэнга–Кобаяшибольшое управлениеквазинормальная формаLang–Kobayashi equationlarge controlquasinormal formМинобрнауки РФ, РФФИ, грант Президента РФReferencesMork J., Tromborg B., Mark J. Chaos in semiconductor lasers with optical feedback: theory and experiment // IEEE J.Quant.Electr. 1992. V. 28. P. 93–108.Mork J., Tromborg B., Mark J. Chaos in semiconductor lasers with optical feedback: theory and experiment // IEEE J.Quant.Electr. 1992. V. 28. P. 93–108.Tartwijk G., Lenstra D. Semiconductor lasers with optical injection and feedback // Quantum. Semiclass. Opt. 1995. V. 7. P. 87–143.Tartwijk G., Lenstra D. Semiconductor lasers with optical injection and feedback // Quantum. Semiclass. Opt. 1995. V. 7. P. 87–143.Ye J, Li H., McInerny J. M. Period-doubling route to chaos in a semiconductor laser with weak optical feedback // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 2249–2252.Ye J, Li H., McInerny J. M. Period-doubling route to chaos in a semiconductor laser with weak optical feedback // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 2249–2252.Fischer I., Hess O., Elsasser W., Gobel E. High-dimensional chaotic dynamics of an external cavity semiconductor laser // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 2188–2191.Fischer I., Hess O., Elsasser W., Gobel E. High-dimensional chaotic dynamics of an external cavity semiconductor laser // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 2188–2191.Sano T. Antimode dynamics and chaotic itinerancy in the coherent collapse of semiconductor lasers with optical feedback // Phys. Rev. A. 1994. V. 50. P. 2719–2726.Sano T. Antimode dynamics and chaotic itinerancy in the coherent collapse of semiconductor lasers with optical feedback // Phys. Rev. A. 1994. V. 50. P. 2719–2726.Ritter A., Haug H. Theory of laser diodes with weak optical feedback. I. Small-signal analysis and side-mode spectra // JOSA B. 1993. V. 10. P. 130–144.Ritter A., Haug H. Theory of laser diodes with weak optical feedback. I. Small-signal analysis and side-mode spectra // JOSA B. 1993. V. 10. P. 130–144.Ritter A., Haug H. Theory of laser diodes with weak optical feedback. II. Limit-cycle behavior, quasi-periodicity, frequency locking, and route to chaos // JOSA B. 1993. V. 10. P. 145–154.Ritter A., Haug H. Theory of laser diodes with weak optical feedback. II. Limit-cycle behavior, quasi-periodicity, frequency locking, and route to chaos // JOSA B. 1993. V. 10. P. 145–154.Huyet G., Balle S., Giudici M. et. al.Low frequency fluctuations and multimode operation of a semiconductor laser with optical feedback // Opt. Commun. 1999. V. 149. P. 341–347.Huyet G., Balle S., Giudici M. et. al.Low frequency fluctuations and multimode operation of a semiconductor laser with optical feedback // Opt. Commun. 1999. V. 149. P. 341–347.Grigorieva E. V. Quasiperiodicity in Lang-Kobayashi model of lasers with delayed optical feedback // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2001. V. 4. P. 333–340.Grigorieva E. V. Quasiperiodicity in Lang-Kobayashi model of lasers with delayed optical feedback // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2001. V. 4. P. 333–340.Levine A. M., Tartwijk GHM, Lenstra D., Erneux T. Diode lasers with optical feedback: Stability of the maximum gain mode // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. R3436–R3439.Levine A. M., Tartwijk GHM, Lenstra D., Erneux T. Diode lasers with optical feedback: Stability of the maximum gain mode // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. R3436–R3439.Green K. Stability near threshold in a semiconductor laser subject to optical feedback: A bifurcation analysis of the Lang-Kobayashi equations // Phys. Rev. E. 2009. V. 79. P. 036210.Green K. Stability near threshold in a semiconductor laser subject to optical feedback: A bifurcation analysis of the Lang-Kobayashi equations // Phys. Rev. E. 2009. V. 79. P. 036210.Tager A. A., Petermann K. High-frequency oscillations and self-mode locking in short external-cavity laser diodes // IEEE J. Quantum Electron. 1994. V. 30, № 7. P. 1553–1561.Tager A. A., Petermann K. High-frequency oscillations and self-mode locking in short external-cavity laser diodes // IEEE J. Quantum Electron. 1994. V. 30, № 7. P. 1553–1561.Erneux T., Gavrielides A., Sciamanna M. Stable microwave oscillations due to externalcavity-mode beating in laser diodes subject to optical feedback // Phys. Rev. A. 2002. V. 66. P. 033809.Erneux T., Gavrielides A., Sciamanna M. Stable microwave oscillations due to externalcavity-mode beating in laser diodes subject to optical feedback // Phys. Rev. A. 2002. V. 66. P. 033809.Lang R., Kobayashi K. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties // IEEE J. Quantum. Electron. 1980. V. QE-16. P. 347–355.Lang R., Kobayashi K. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties // IEEE J. Quantum. Electron. 1980. V. QE-16. P. 347–355.Кащенко И. С. Динамика уравнения с большим коэффициентом запаздывающего управления // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437, № 6. С. 743–747. (English transl.: Kashchenko I.S. Dynamics of an Equation with a Large Coefficient of Delay Control // Doklady Mathematics, 2011. ISSN 1064-5624. V. 83. No. 2. P. 258 – 261. DOI: 10.1134/S1064562411020402.)Кащенко И. С. Динамика уравнения с большим коэффициентом запаздывающего управления // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437, № 6. С. 743–747. (English transl.: Kashchenko I.S. Dynamics of an Equation with a Large Coefficient of Delay Control // Doklady Mathematics, 2011. ISSN 1064-5624. V. 83. No. 2. P. 258 – 261. DOI: 10.1134/S1064562411020402.)Heil T., Fischer I., Elsasser W. Influence of amplitude-phase coupling on the dynamics of semiconductor lasers subject to optical feedback // Phys. Rev. A. 1999. V. 60. P. 634–640.Heil T., Fischer I., Elsasser W. Influence of amplitude-phase coupling on the dynamics of semiconductor lasers subject to optical feedback // Phys. Rev. A. 1999. V. 60. P. 634–640.Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., 1973. (Vasilyeva A.B. and Butuzov V.F. Asymptotic Expansions of Solutions of Singularly Perturbed Equations. Moskva: Nauka, 1973 [in Russian].)Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., 1973. (Vasilyeva A.B. and Butuzov V.F. Asymptotic Expansions of Solutions of Singularly Perturbed Equations. Moskva: Nauka, 1973 [in Russian].)Кащенко И. С. Локальная динамика уравнений с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 12. С. 2141–2150. (English transl.: Kashchenko I.S. Local Dynamics of Equations with Large Delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2008. V. 48. No. 12. P. 2172–2181.)Кащенко И. С. Локальная динамика уравнений с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 12. С. 2141–2150. (English transl.: Kashchenko I.S. Local Dynamics of Equations with Large Delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2008. V. 48. No. 12. P. 2172–2181.)Masoller C., Abraham N.B. Stability and dynamical properties of the coexisting attractors of an external-cavity semiconductor laser // Phys. Rev. A. 1998. V. 57. P. 1313–1322.Masoller C., Abraham N.B. Stability and dynamical properties of the coexisting attractors of an external-cavity semiconductor laser // Phys. Rev. A. 1998. V. 57. P. 1313–1322.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.