maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-1-30-51mais-219Research ArticleОригинальные статьиArticlesРазмерностные характеристики диффузионного хаосаDimensional Characteristics of Diffusion ChaosГлызинСергей ДмитриевичGlyzinS. D.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

glyzin@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2013200220132013051Copyright © Глызин С.Д., 20132013Глызин С.Д.Glyzin S.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/219

Рассматривается феномен многомодового диффузионного хаоса, одним из признаков которого является увеличение ляпуновской размерности аттрактора распределенных эволюционных динамических систем при уменьшении коэффициента диффузии. Для ряда примеров выполнен обширный численный эксперимент, в котором проиллюстрирован этот эффект.

The phenomenon of multimode diffusion chaos is considered. For a number of examples it is shown that the Lyapunov dimension of the attractor of a distributed dynamical system increases as the diffusion coefficient tends to 0.

диффузионный хаосаттракторляпуновская размерностьуравнение Гинзбурга – Ландаубифуркациясценарий Ландау – Селлаdiffusion chaosattractorLyapunov dimensionGinzburg – Landau equationbifurcationLandau – Sell scenarioгрант Правительства РФ, Минобрнауки РФReferencesNicolis G., Prigogine I. Self-Organization in Non-Equilibrium Systems. Wiley. 1977.Nicolis G., Prigogine I. Self-Organization in Non-Equilibrium Systems. Wiley. 1977.Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Структуры и хаос в нелинейных средах. М.: Физматлит, 2007. (Ahromeeva T.S., Kurdyumov S.P., Malinetskiy G.G., Samarskiy A.A Struktury i khaos v nelineynykh sredakh. Moskva: Fizmatlit, 2007 [in Russian].)Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Структуры и хаос в нелинейных средах. М.: Физматлит, 2007. (Ahromeeva T.S., Kurdyumov S.P., Malinetskiy G.G., Samarskiy A.A Struktury i khaos v nelineynykh sredakh. Moskva: Fizmatlit, 2007 [in Russian].)Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. (Mishchenko E.F., Sadovnichiy V.A., Kolesov A.Yu., Rozov N.Kh. Avtovolnovye protsessy v nelineynykh sredakh s diffuziey. Moskva: Fizmatlit, 2005 [in Russian].)Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. (Mishchenko E.F., Sadovnichiy V.A., Kolesov A.Yu., Rozov N.Kh. Avtovolnovye protsessy v nelineynykh sredakh s diffuziey. Moskva: Fizmatlit, 2005 [in Russian].)Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130–141.Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130–141.Ruelle D., Takens F. On the nature of tubulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167–192.Ruelle D., Takens F. On the nature of tubulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167–192.Kuramoto Y. Diffusion-Induced Chaos in Reaction Systems // Prog. Theor. Phys. Supplement. 1978. No. 64(1978). P. 346–367. DOI : 10.1143/PTPS.64.346.Kuramoto Y. Diffusion-Induced Chaos in Reaction Systems // Prog. Theor. Phys. Supplement. 1978. No. 64(1978). P. 346–367. DOI : 10.1143/PTPS.64.346.Глызин С. Д. Сценарии фазовых перестроек одной конечноразностной модели уравнения “реакция-диффузия” // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 6. С. 805–811. (English transl.: Glyzin S. D. Dynamic properties of the simplest finite-difference approximations of the "reaction-diffusion” boundary value problem // Differential Equations. 1997. V. 33. No. 6. P. 808–814.)Глызин С. Д. Сценарии фазовых перестроек одной конечноразностной модели уравнения “реакция-диффузия” // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 6. С. 805–811. (English transl.: Glyzin S. D. Dynamic properties of the simplest finite-difference approximations of the "reaction-diffusion” boundary value problem // Differential Equations. 1997. V. 33. No. 6. P. 808–814.)Колесов А.Ю. Описание фазовой неустойчивости системы гармонических осцилляторов, слабо связанных через диффузию // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 1. С. 831–835. (English transl.: Kolesov A. Yu. Description of Phase Instability of a System of Harmonic Oscillators Weakly Coupled by Diffusion // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1988. V. 300. P. 831 – 835.)Колесов А.Ю. Описание фазовой неустойчивости системы гармонических осцилляторов, слабо связанных через диффузию // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 1. С. 831–835. (English transl.: Kolesov A. Yu. Description of Phase Instability of a System of Harmonic Oscillators Weakly Coupled by Diffusion // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1988. V. 300. P. 831 – 835.)Глызин С. Д. Численное обоснование гипотезы Ландау – Колесова о природе турбулентности // Математические модели в биологии и медицине / Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. Вильнюс, 1989. Вып. 3. С. 31–36. (Glyzin S. D. Numerical Justification of the Landau-Kolesov Conjecture on the Nature of Turbulence // Mathematical models in biology and medicine. 1989. No. 3. P. 31 – 36 [in Russian].)Глызин С. Д. Численное обоснование гипотезы Ландау – Колесова о природе турбулентности // Математические модели в биологии и медицине / Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. Вильнюс, 1989. Вып. 3. С. 31–36. (Glyzin S. D. Numerical Justification of the Landau-Kolesov Conjecture on the Nature of Turbulence // Mathematical models in biology and medicine. 1989. No. 3. P. 31 – 36 [in Russian].)Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96 – 116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, No 3. P. 96 – 116 [in Russian].)Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96 – 116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, No 3. P. 96 – 116 [in Russian].)Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. С. 7 – 44. (Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I. Autostructures: chaotic dynamics of ensembles // Nonlinear Waves. Structure and Bifurcations. Moskva, Nauka, 1987. P. 7 – 44 [in Russian].)Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. С. 7 – 44. (Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I. Autostructures: chaotic dynamics of ensembles // Nonlinear Waves. Structure and Bifurcations. Moskva, Nauka, 1987. P. 7 – 44 [in Russian].)Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Конечномерные модели диффузионного хаоса // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 5. С. 860 – 875. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., and Rozov N. Kh. Finitedimensional models of diffusion chaos // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50. No 5. P. 816 – 830. DOI: 10.1134/S0965542510050076.)Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Конечномерные модели диффузионного хаоса // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 5. С. 860 – 875. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., and Rozov N. Kh. Finitedimensional models of diffusion chaos // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50. No 5. P. 816 – 830. DOI: 10.1134/S0965542510050076.)Колесов Ю.С. Проблема адекватности экологических уравнений. Ярославль, 1985. Деп. ВИНИТИ. 1985. № 1901-85. (Kolesov Yu. S. Adequacy of Ecological Equations. Available from VINITI, No. 1901–85 (Yaroslavl, 1985) [in Russian].)Колесов Ю.С. Проблема адекватности экологических уравнений. Ярославль, 1985. Деп. ВИНИТИ. 1985. № 1901-85. (Kolesov Yu. S. Adequacy of Ecological Equations. Available from VINITI, No. 1901–85 (Yaroslavl, 1985) [in Russian].)Колесов А.Ю., Розов Н.Х. К вопросу об определении хаоса // Успехи математических наук. 2009. Т. 64. Вып. 4(388). С. 125 – 172. (English transl.: Kolesov A.Yu.; Rozov N.Kh. On the definition of chaos // Russian Math. Surveys. 2009. V. 64. No. 4. P. 701–744.)Колесов А.Ю., Розов Н.Х. К вопросу об определении хаоса // Успехи математических наук. 2009. Т. 64. Вып. 4(388). С. 125 – 172. (English transl.: Kolesov A.Yu.; Rozov N.Kh. On the definition of chaos // Russian Math. Surveys. 2009. V. 64. No. 4. P. 701–744.)Frederickson P., Kaplan J., Yorke J. The Lyapunov dimension of strange attractors // J. Different. Equat. 1983. V. 49. №2. P. 185 – 207.Frederickson P., Kaplan J., Yorke J. The Lyapunov dimension of strange attractors // J. Different. Equat. 1983. V. 49. №2. P. 185 – 207.Колесов А. Ю., Розов Н. Х., Садовничий В. А. Математические аспекты теории развития турбулентности по Ландау // Успехи математических наук. 2008. Т. 63, № 2(380). С. 21 – 84. (English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., Sadovnichii V.A. Mathematical aspects of the theory of development of turbulence in the sense of Landau // Russian Math. Surveys. 2008. V. 63. No 2. P. 246–251.)Колесов А. Ю., Розов Н. Х., Садовничий В. А. Математические аспекты теории развития турбулентности по Ландау // Успехи математических наук. 2008. Т. 63, № 2(380). С. 21 – 84. (English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., Sadovnichii V.A. Mathematical aspects of the theory of development of turbulence in the sense of Landau // Russian Math. Surveys. 2008. V. 63. No 2. P. 246–251.)Arnold V. I., Khesin B. A. Topological Methods in Hydrodynamics. Springer, 1999. 391 p.Arnold V. I., Khesin B. A. Topological Methods in Hydrodynamics. Springer, 1999. 391 p.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. К вопросу о реализуемости сценария развития турбулентности по Ландау // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158, № 2. С. 292 – 311. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. On the Realizability of the Landau Scenario for the Development of Turbulence // Theoretical and Mathematical Physics. 2009. V. 427. P. 292–311.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. К вопросу о реализуемости сценария развития турбулентности по Ландау // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158, № 2. С. 292 – 311. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. On the Realizability of the Landau Scenario for the Development of Turbulence // Theoretical and Mathematical Physics. 2009. V. 427. P. 292–311.)Dormand J.R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge – Kutta Formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19 – 26.Dormand J.R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge – Kutta Formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19 – 26.Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. V. A14. P. 2338 – 2345.Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. V. A14. P. 2338 – 2345.Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. V. D16. P. 285–317.Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. V. D16. P. 285–317.Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268 – 273. (English transl.: Glyzin D. S., Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., and Rozov N. Kh. The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor // Differential Equations. 2005. V. 41. No. 2. P. 284–289.)Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268 – 273. (English transl.: Glyzin D. S., Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., and Rozov N. Kh. The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor // Differential Equations. 2005. V. 41. No. 2. P. 284–289.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные колебания и диффузионный хаос в реакции Белоусова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51, № 8. С. 1400 – 1418. (English transl.: Glyzin D.S., Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Relaxation oscillations and diffusion chaos in the Belousov reaction // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2011. V. 51. No 8. P. 1307–1324. DOI: 10.1134/S0965542511080100Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные колебания и диффузионный хаос в реакции Белоусова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51, № 8. С. 1400 – 1418. (English transl.: Glyzin D.S., Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Relaxation oscillations and diffusion chaos in the Belousov reaction // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2011. V. 51. No 8. P. 1307–1324. DOI: 10.1134/S0965542511080100Колесов А.Ю., Колесов Ю.С., Майоров В.В. Реакция Белоусова: математическая модель и экспериментальные факты // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1987. С. 43 – 51. (Kolesov A.Yu., Kolesov Yu.S., Mayorov V.V. The Belousov Reaction: a Mathematical Model and Experimental Facts // Dynamics of Biological Populations, GGU, Gorki, 1987. P. 43- 51 [in Russian].)Колесов А.Ю., Колесов Ю.С., Майоров В.В. Реакция Белоусова: математическая модель и экспериментальные факты // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1987. С. 43 – 51. (Kolesov A.Yu., Kolesov Yu.S., Mayorov V.V. The Belousov Reaction: a Mathematical Model and Experimental Facts // Dynamics of Biological Populations, GGU, Gorki, 1987. P. 43- 51 [in Russian].)Milnor J. On the concept of attractor // Commun. Math. Phys. 1985. V. 99. №2. P. 177 –196.Milnor J. On the concept of attractor // Commun. Math. Phys. 1985. V. 99. №2. P. 177 –196.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.