maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2013-1-52-98mais-220Research ArticleОригинальные статьиArticlesРелаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу «хищник–жертва»Relaxation Oscillations in a System with Delays Modeling the Predator-Prey ProblemКащенкоСергей АлександровичKaschenkoS. A.

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kasch@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2013200220132015298Copyright © Кащенко С.А., 20132013Кащенко С.А.Kaschenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/220

Предложен новый метод асимптотического исследования сложных релаксационных колебаний в системе с запаздыванием. Применяя его, удается задачу о динамике в системе «хищник–жертва» свести к анализу одномерного отображения. На основании асимптотического анализа сформулированы выводы биологического характера.

A new asymptotic method for investigating complex relaxation oscillations of a system with delay was offered. Applying it, we can reduce the problem of predator-prey system dynamics to problem of one-dimensional maps analysis. Some conclusions of biological nature based on the asymptotic analysis were made.

 

дифференциальное уравнение с запаздываниембольшой параметрасимптотикапериодическое решениеdelay differential equationlarge parameterasymptoticperiodic solutionгрант Правительства РФ, Минобрнауки РФReferencesYang Kuang. Delay Differential Equations. With Applications in Population Dynamics. Academic Press, 1993.Yang Kuang. Delay Differential Equations. With Applications in Population Dynamics. Academic Press, 1993.Wright E. M. A non-linear differential equation // J. Reine Angew. Math. 1955. Vol. 194, №1–4. P. 66–87.Wright E. M. A non-linear differential equation // J. Reine Angew. Math. 1955. Vol. 194, №1–4. P. 66–87.Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y(t) = (a−by(t−τ ))y(t). contributions to the theory of non-linear oscillations // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. Princeton. 1958. Vol. IV. P. 1–18.Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y(t) = (a−by(t−τ ))y(t). contributions to the theory of non-linear oscillations // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. Princeton. 1958. Vol. IV. P. 1–18.Кащенко С. А. К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль: ЯрГУ, 1985. С. 55 – 62. (Kaschenko S. A. K voprosu ob otsenke v prostranstve parametrov oblasti global’noy ustoychivosti uravneniya Khatchinsona // Nelineynyye kolebaniya v zadachakh ekologii. Yaroslavl: YarGU, 1985. P. 55 – 62 [in Russian].)Кащенко С. А. К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль: ЯрГУ, 1985. С. 55 – 62. (Kaschenko S. A. K voprosu ob otsenke v prostranstve parametrov oblasti global’noy ustoychivosti uravneniya Khatchinsona // Nelineynyye kolebaniya v zadachakh ekologii. Yaroslavl: YarGU, 1985. P. 55 – 62 [in Russian].)Jones G. S. The existence of periodic solutions of f(x) = −αf(x−1)[1 +f(x)] // T. Math. Anal. and Appl. 1962. Vol. 5. P. 435–450.Jones G. S. The existence of periodic solutions of f(x) = −αf(x−1)[1 +f(x)] // T. Math. Anal. and Appl. 1962. Vol. 5. P. 435–450.Кащенко С. А. Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 64 – 85. (Kaschenko S. A. Asimptotika periodicheskogo resheniya obobshchonnogo uravneniya Khatchinsona // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl: YarGU, 1981. P. 64 – 85 [in Russian].)Кащенко С. А. Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 64 – 85. (Kaschenko S. A. Asimptotika periodicheskogo resheniya obobshchonnogo uravneniya Khatchinsona // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl: YarGU, 1981. P. 64 – 85 [in Russian].)Кащенко С. А. О периодических решениях уравнения x(t) = −lx(t − 1)[1 + x(t)] // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 110–117. (Kaschenko S. A. O periodicheskikh resheniyakh uravneniya x(t) = −lx(t−1)[1+x(t)] // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl: YarGU, 1978. P. 110–117 [in Russian].)Кащенко С. А. О периодических решениях уравнения x(t) = −lx(t − 1)[1 + x(t)] // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 110–117. (Kaschenko S. A. O periodicheskikh resheniyakh uravneniya x(t) = −lx(t−1)[1+x(t)] // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl: YarGU, 1978. P. 110–117 [in Russian].)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 1. С. 76 – 89. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2009. V. 49. No 1. P. 71–83.)Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 1. С. 76 – 89. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2009. V. 49. No 1. P. 71–83.)Колесов Ю.С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1979. С. 3–40. (Kolesov Yu.S. Matematicheskiye modeli ekologii // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1979. P. 3–40 [in Russian].)Колесов Ю.С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1979. С. 3–40. (Kolesov Yu.S. Matematicheskiye modeli ekologii // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1979. P. 3–40 [in Russian].)Колесов Ю.С., Швитра Д.Й. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979. 146 с. (Kolesov Yu.S., Shvitra D.I. Avtokolebaniya v sistemakh s zapazdyvaniyem. Vil’nyus: Mokslas, 1979. 146 p. [in Russian].)Колесов Ю.С., Швитра Д.Й. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979. 146 с. (Kolesov Yu.S., Shvitra D.I. Avtokolebaniya v sistemakh s zapazdyvaniyem. Vil’nyus: Mokslas, 1979. 146 p. [in Russian].)Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. Двухчастотный подход к задаче «хищник–жертва» // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1979. С. 111–121. (Kolesov Yu.S., Kubyshkin E.P. Dvukhchastotnyy podkhod k zadache «khishchnik–zhertva» // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1979. P. 111–121. [in Russian].)Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. Двухчастотный подход к задаче «хищник–жертва» // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1979. С. 111–121. (Kolesov Yu.S., Kubyshkin E.P. Dvukhchastotnyy podkhod k zadache «khishchnik–zhertva» // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1979. P. 111–121. [in Russian].)Глызин С. Д. О стабилизирующей роли неоднородного сопротивления внешней среды в задаче «хищник–жертва» // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1982. С. 126–129. (Glyzin S. D. O stabiliziruyushchey roli neodnorodnogo soprotivleniya vneshney sredy v zadache «khishchnik–zhertva» // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1982. P. 126–129. [in Russian].)Глызин С. Д. О стабилизирующей роли неоднородного сопротивления внешней среды в задаче «хищник–жертва» // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1982. С. 126–129. (Glyzin S. D. O stabiliziruyushchey roli neodnorodnogo soprotivleniya vneshney sredy v zadache «khishchnik–zhertva» // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1982. P. 126–129. [in Russian].)Захаров А.А., Колесов Ю.С., Спокойнов А.Н., Федотов Н.Б. Теоретическое объяснение десятилетнего цикла колебаний численности млекопитающих в Канаде и Якутии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1980. С. 79–131. (Zakharov A.A., Kolesov Yu.S., Spokoynov A.N., Fedotov N.B. Teoreticheskoye ob"yasneniye desyatiletnego tsikla kolebaniy chislennosti mlekopitayushchikh v Kanade i Yakutii // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1980. P. 79–131. [in Russian].)Захаров А.А., Колесов Ю.С., Спокойнов А.Н., Федотов Н.Б. Теоретическое объяснение десятилетнего цикла колебаний численности млекопитающих в Канаде и Якутии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1980. С. 79–131. (Zakharov A.A., Kolesov Yu.S., Spokoynov A.N., Fedotov N.B. Teoreticheskoye ob"yasneniye desyatiletnego tsikla kolebaniy chislennosti mlekopitayushchikh v Kanade i Yakutii // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1980. P. 79–131. [in Russian].)Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. Численное исследование одной системы дифференциально-разностных уравнений, моделирующей задачу «хищник–жертва» // Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино, 1980. С. 54–62. (Kolesov Yu.S., Kubyshkin E.P. Chislennoye issledovaniye odnoy sistemy differentsial’no-raznostnykh uravneniy, modeliruyushchey zadachu «khishchnik–zhertva» // Faktory raznoobraziya v matematicheskoy ekologii i populyatsionnoy genetike. Pushchino, 1980. P. 54–62. [in Russian].)Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. Численное исследование одной системы дифференциально-разностных уравнений, моделирующей задачу «хищник–жертва» // Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино, 1980. С. 54–62. (Kolesov Yu.S., Kubyshkin E.P. Chislennoye issledovaniye odnoy sistemy differentsial’no-raznostnykh uravneniy, modeliruyushchey zadachu «khishchnik–zhertva» // Faktory raznoobraziya v matematicheskoy ekologii i populyatsionnoy genetike. Pushchino, 1980. P. 54–62. [in Russian].)Захаров А.А. Численные исследования системы уравнений Колесова, моделирующих задачу «хищник–жертва» с учетом давления хищника на жертву и его миграции за границу ареала обитания // Дифференциальные уравнения и их применение. 1981. Вып. 29. С. 9–26. (Zakharov A.A. Chislennyye issledovaniya sistemy uravneniy Kolesova, modeliruyushchikh zadachu «khishchnik–zhertva» s uchetom davleniya khishchnika na zhertvu i yego migratsii za granitsu areala obitaniya // Differentsial’nyye uravneniya i ikh primeneniye. 1981. No. 29. S. 9–26. [in Russian].)Захаров А.А. Численные исследования системы уравнений Колесова, моделирующих задачу «хищник–жертва» с учетом давления хищника на жертву и его миграции за границу ареала обитания // Дифференциальные уравнения и их применение. 1981. Вып. 29. С. 9–26. (Zakharov A.A. Chislennyye issledovaniya sistemy uravneniy Kolesova, modeliruyushchikh zadachu «khishchnik–zhertva» s uchetom davleniya khishchnika na zhertvu i yego migratsii za granitsu areala obitaniya // Differentsial’nyye uravneniya i ikh primeneniye. 1981. No. 29. S. 9–26. [in Russian].)Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, No 3. P. 29 – 42 [in Russian].)Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, No 3. P. 29 – 42 [in Russian].)Кащенко С.А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующей задачу «хищник–жертва» // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266, № 4. С. 792–795. (Kaschenko S. A. Issledovaniye metodami bol’shogo parametra sistemy nelineynykh differentsial’no-raznostnykh uravneniy, modeliruyushchey zadachu «khishchnik–zhertva» // Dokl. AN SSSR. 1982. V. 266, № 4. P. 792–795. [in Russian].)Кащенко С.А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующей задачу «хищник–жертва» // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266, № 4. С. 792–795. (Kaschenko S. A. Issledovaniye metodami bol’shogo parametra sistemy nelineynykh differentsial’no-raznostnykh uravneniy, modeliruyushchey zadachu «khishchnik–zhertva» // Dokl. AN SSSR. 1982. V. 266, № 4. P. 792–795. [in Russian].)Кащенко С.А. Биологическое объяснение некоторых законов функционирования простейших экосистем в экстремальных случаях // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1982. С. 85–103. (Kaschenko S. A. Biologicheskoye ob"yasneniye nekotorykh zakonov funktsionirovaniya prosteyshikh ekosistem v ekstremal’nykh sluchayakh // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1982. P. 85–103 [in Russian].)Кащенко С.А. Биологическое объяснение некоторых законов функционирования простейших экосистем в экстремальных случаях // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1982. С. 85–103. (Kaschenko S. A. Biologicheskoye ob"yasneniye nekotorykh zakonov funktsionirovaniya prosteyshikh ekosistem v ekstremal’nykh sluchayakh // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1982. P. 85–103 [in Russian].)Кащенко С.А. Периодические решения системы нелинейных уравнений с запаздываниями, моделирующих задачу «хищник–жертва». // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1981. С. 136–143. (Kaschenko S. A. Periodicheskiye resheniya sistemy nelineynykh uravneniy s zapazdyvaniyami, modeliruyushchikh zadachu «khishchnik–zhertva». // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1981. P. 136–143 [in Russian].)Кащенко С.А. Периодические решения системы нелинейных уравнений с запаздываниями, моделирующих задачу «хищник–жертва». // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1981. С. 136–143. (Kaschenko S. A. Periodicheskiye resheniya sistemy nelineynykh uravneniy s zapazdyvaniyami, modeliruyushchikh zadachu «khishchnik–zhertva». // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1981. P. 136–143 [in Russian].)Кащенко С.А. Стационарные режимы в задаче «хищник–жертва»: Препринт 84.54. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. 58 с. (Kaschenko S. A. Statsionarnyye rezhimy v zadache «khishchnik–zhertva»: Preprint 84.54. Kiyev: In-t matematiki AN USSR, 1984. 58 p. [in Russian].)Кащенко С.А. Стационарные режимы в задаче «хищник–жертва»: Препринт 84.54. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. 58 с. (Kaschenko S. A. Statsionarnyye rezhimy v zadache «khishchnik–zhertva»: Preprint 84.54. Kiyev: In-t matematiki AN USSR, 1984. 58 p. [in Russian].)Кащенко С.А. Асимптотика решений обобщённого уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 32–62. (Kaschenko S. A. Asymptotic of solutions of generalized Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, No 3. P. 32 – 62 [in Russian].)Кащенко С.А. Асимптотика решений обобщённого уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 32–62. (Kaschenko S. A. Asymptotic of solutions of generalized Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, No 3. P. 32 – 62 [in Russian].)Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1981. 280 с. (English transl.: Sharkovskii A.N., Maistrenko Yu.L., Romanenko E.Yu. Difference Equations and Their Applications. Kluwer Academic Publishers, 1993. 372 p.)Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1981. 280 с. (English transl.: Sharkovskii A.N., Maistrenko Yu.L., Romanenko E.Yu. Difference Equations and Their Applications. Kluwer Academic Publishers, 1993. 372 p.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.