maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-1-38-64mais-230Research ArticleОригинальные статьиArticlesКатастрофа голубого неба в системах с неклассическими релаксационными колебаниямиBlue Sky Catastrophe in Systems with Non-classical Relaxation OscillationsГлызинСергей ДмитриевичGlyzinS. D.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14;

Отдел прикладных сетевых исследований, ведущий научный сотрудник,

142432 Россия, Московская область, г. Черноголовка, ул. Лесная, д. 9

 

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia;

Отдел прикладных сетевых исследований, ведущий научный сотрудник,

Lesnaya str., 9, Chernogolovka, Moscow region, 142432, Russia

glyzin@uniyar.ac.ruКолесовАндрей ЮрьевичKolesovA. Yu.

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kolesov@uniyar.ac.ruРозовНиколай ХристовичRozovN. Kh.

д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент РАЕН, декан факультета педагогического образования,

119991 Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1

д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент РАЕН, декан факультета педагогического образования,

Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russia

fpo.mgu@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова; НЦЧ РАНРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University; Scientific Center in Chernogolovka RASRussian FederationЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияM.V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2015200220152213864Copyright © Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х., 20152015Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х.Glyzin S.D., Kolesov A.Y., Rozov N.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/230

Исследуется вопрос о реализуемости известной бифуркации типа катастрофы голубого неба в некотором классе трехмерных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одной быстрой и двумя медленными переменными. Характерная особенность рассматриваемых систем состоит в том, что в них происходят так называемые неклассические релаксационные колебания. Таковыми принято называть колебания, у которых медленные компоненты асимптотически близки к некоторым разрывным по времени функциям, а быстрая компонента δ-образна. Разбираются случаи, когда в результате катастрофы голубого неба возникает устойчивый релаксационный цикл или устойчивый двумерный инвариантный тор. Рассматривается также вопрос о появлении гомоклинических структур.

The feasibility of a known blue-sky bifurcation in a class of three-dimensional singularly perturbed systems of ordinary differential equations with one fast and two slow variables is studied. A characteristic property of the considered systems is that they permit so-called nonclassic relaxation oscillations, that is, oscillations with slow components asymptotically close to time-discontinuous functions and a δ-like fast component. Cases when blue-sky bifurcation leads to a relaxation cycle or stable two-dimensional torus are analyzed. Also the question of homoclinic structure emergence is considered.

сингулярно возмущенная системарелаксационный цикласимптотикаустойчивостькатастрофа голубого небанеклассические релаксационные колебанияsingularly perturbed systemrelaxation cycleasymptotic behaviorstabilityblue sky catastrophenon-classical relaxation oscillationsРоссийский научный фонд, РФФИReferencesТураев Д. В., Шильников Л. П. О катастрофах голубого неба // ДАН. 1995. Т. 342. № 5. С. 596–599. [English transl.: Turaev D.V., Shilnikov L.P. Blue sky catastrophes // Dokl. Math. 1995. V. 51. P. 404–407.Тураев Д. В., Шильников Л. П. О катастрофах голубого неба // ДАН. 1995. Т. 342. № 5. С. 596–599. [English transl.: Turaev D.V., Shilnikov L.P. Blue sky catastrophes // Dokl. Math. 1995. V. 51. P. 404–407.Shilnikov A., Shilnikov L., Turaev D. Blue sky catastrophe in singularly-perturbed systems. Preprint WIAS. № 841. Berlin, 2003.Shilnikov A., Shilnikov L., Turaev D. Blue sky catastrophe in singularly-perturbed systems. Preprint WIAS. № 841. Berlin, 2003.Shilnikov A., Shilnikov L., Turaev D. Blue-sky catastrophe in singularly perturbed systems // Moscow Mathematical Journal. 2005. V. 5. № 1. P. 269–282.Shilnikov A., Shilnikov L., Turaev D. Blue-sky catastrophe in singularly perturbed systems // Moscow Mathematical Journal. 2005. V. 5. № 1. P. 269–282.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Катастрофа голубого неба в релаксационных системах с одной быстрой и двумя медленными переменными // Диф. уравн. 2008. Т. 44. № 2. С. 158–171. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Blue Sky Catastrophe in Relaxation Systems with One Fast and Two Slow Variables // Differential Equations. 2008. V. 44, No. 2. P. 161–175.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Катастрофа голубого неба в релаксационных системах с одной быстрой и двумя медленными переменными // Диф. уравн. 2008. Т. 44. № 2. С. 158–171. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Blue Sky Catastrophe in Relaxation Systems with One Fast and Two Slow Variables // Differential Equations. 2008. V. 44, No. 2. P. 161–175.]Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М: Наука, 1975. [English transl.: Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Differential equations with small parameters and relaxation oscillations. New York: Plenum Press, 1980.]Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М: Наука, 1975. [English transl.: Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Differential equations with small parameters and relaxation oscillations. New York: Plenum Press, 1980.]Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. C., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995. [English transl.: Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Asymptotic methods in singularly perturbed systems. New York: Consult. Bureau, Plenum Publ. Corp., 1994.]Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. C., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995. [English transl.: Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Asymptotic methods in singularly perturbed systems. New York: Consult. Bureau, Plenum Publ. Corp., 1994.]Аносов Д. В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Матем. сб. 1960. Т. 50. № 3. С. 299–334. [English transl.: Anosov D.V. On limit cycles in systems of differential equations with a small parameter in the highest derivatives // AMS Translations. 1963. V. 33. Ser. 2. P. 233–275].Аносов Д. В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Матем. сб. 1960. Т. 50. № 3. С. 299–334. [English transl.: Anosov D.V. On limit cycles in systems of differential equations with a small parameter in the highest derivatives // AMS Translations. 1963. V. 33. Ser. 2. P. 233–275].Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. [Strygin V. V., Sobolev V. A. Razdeleniye dvizheniy metodom integral’nykh mnogoobraziy. M.: Nauka, 1988 (in Russian).]Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. [Strygin V. V., Sobolev V. A. Razdeleniye dvizheniy metodom integral’nykh mnogoobraziy. M.: Nauka, 1988 (in Russian).]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Разделение движений в окрестности полуустойчивого цикла // Диф. уравн. 2007. Т. 43. № 5. С. 598–615. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Separation of Motions in a Neighborhood of a Semistable Cycle // Differential Equations. 2007. V. 43, No. 5. P. 613–630.]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Разделение движений в окрестности полуустойчивого цикла // Диф. уравн. 2007. Т. 43. № 5. С. 598–615. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Separation of Motions in a Neighborhood of a Semistable Cycle // Differential Equations. 2007. V. 43, No. 5. P. 613–630.]Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. [English transl.: Shilnikov L., Shilnikov A., Turaev D., and Chua L. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part I , Singapore: World Scientific, 1998.]Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. [English transl.: Shilnikov L., Shilnikov A., Turaev D., and Chua L. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part I , Singapore: World Scientific, 1998.]Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. [Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnyye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M.: Fizmatlit, 2004 (in Russian).]Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. [Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnyye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M.: Fizmatlit, 2004 (in Russian).]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.