maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-1-65-73mais-231Research ArticleОригинальные статьиArticlesЛокальная динамика уравнения второго порядка с большим экспоненциально распределенным запаздыванием и существенным трениемLocal Dynamics of a Second Order Equation with Large Exponentially Distributed Delay and Considerable FrictionГлазковДмитрий ВладимировичGlazkovD. V.

кандидат физико-математических наук, доцент,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

кандидат физико-математических наук, доцент,

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

glazkov_d@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation2015200220152216573Copyright © Глазков Д.В., 20152015Глазков Д.В.Glazkov D.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/231

Изучается локальная динамика нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с большим экспоненциально распределенным запаздыванием в окрестности нулевого решения при условии γ>√ 2. Параметр γ можно интерпретировать как коэффициент трения. Найдены значения параметров, при которых реализуются критические случаи в задаче об устойчивости. Показано, что характеристическое уравнение для определения устойчивости нулевого решения может иметь сколь угодно много корней в окрестности мнимой оси. Тем самым реализуется критический случай бесконечной размерности. Построены аналоги нормальных форм, описывающие локальную динамику исходного уравнения. Сформулированы результаты о соответствии решений полученных уравнений в частных производных и уравнения второго порядка с большим экспоненциально распределенным запаздыванием. Полученные в работе асимптотические формулы позволяют явно находить характеристики близких к нулю локальных режимов исходной задачи, а также определять области параметров и начальных условий, в которых возможно возникновение решения некоторого заданного вида.

We study local dynamics of a nonlinear second order differential equation with a large exponentially distributed delay in the vicinity of the zero solution under the condition γ>√ 2. The parameter γ can be interpreted as a friction coefficient. We find such parameter values that critical cases in the stability problem are realized. We show that the characteristic equation for zero solution stability can have arbitrary many roots in the vicinity of imaginary axis. So, the critical case of an infinite dimension is realized. We construct normal forms analogues to describe dynamics of the origin equation. We formulate results about the correspondence of solutions of received PDE and second order DDE with a large exponentially distributed delay. The received asymptotic formulas allow us to evidently find characteristics of origin problem local regimes that are close to the zero solution and also to obtain domains of parameters and initial conditions, where the appearance of any given-type solution is possible.

локальная динамиказапаздываниенормальная формаасимптотическая формуламалый параметрlocal dynamicsdelaynormal formasymptotic formulasmall parameterReferencesЛанда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983. (Landa P.S. Avtokolebaniya v raspredelennyh sistemah. M: Nauka, 1983 [in Russian]).Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983. (Landa P.S. Avtokolebaniya v raspredelennyh sistemah. M: Nauka, 1983 [in Russian]).Kilias T., Kutzer K., Moegel A., Schwarz W. Electronic chaos generators design and applications // International Journal of Electronics. 1995. Vol. 79, №6. P. 737–753.Kilias T., Kutzer K., Moegel A., Schwarz W. Electronic chaos generators design and applications // International Journal of Electronics. 1995. Vol. 79, №6. P. 737–753.Глазков Д.В., Кащенко И.С. Уравнения динамики лазера. Ярославль: ЯрГУ, 2012. 128 с. (Glazkov D.V., Kaschenko I.S. Laser dynamics equations. Yaroslavl: YarSU, 2012. 128 p. [in Russian]).Глазков Д.В., Кащенко И.С. Уравнения динамики лазера. Ярославль: ЯрГУ, 2012. 128 с. (Glazkov D.V., Kaschenko I.S. Laser dynamics equations. Yaroslavl: YarSU, 2012. 128 p. [in Russian]).Кащенко И.С. Нормализация уравнения с линейно распределенным запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, №4. C. 109—116. (Kaschenko I.S. Normalization of equation with linear distributed delay // Modeling and analysis of information systems. 2011. V. 16, №4. P. 109—116 [in Russian]).Кащенко И.С. Нормализация уравнения с линейно распределенным запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, №4. C. 109—116. (Kaschenko I.S. Normalization of equation with linear distributed delay // Modeling and analysis of information systems. 2011. V. 16, №4. P. 109—116 [in Russian]).Кащенко И.С. Локальная динамика уравнения с длительным экспоненциально распределенным запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, №3. C. 42—49. (Kaschenko I.S. Local dynamics of an equation with large exponential distributed delay // Modeling and analysis of information systems. 2011. V. 18, №3. P. 42—49 [in Russian]).Кащенко И.С. Локальная динамика уравнения с длительным экспоненциально распределенным запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, №3. C. 42—49. (Kaschenko I.S. Local dynamics of an equation with large exponential distributed delay // Modeling and analysis of information systems. 2011. V. 18, №3. P. 42—49 [in Russian]).Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, №8. С. 1448—1451. (Kashchenko S.A. Normalization Techniques as Applied to the Investigation of Dynamics of DifferenceDifferential Equations with a Small Parameter Multiplying the Derivative // Differ. Uravn. 1989. V. 25. P. 1448—1451 [in Russian]).Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, №8. С. 1448—1451. (Kashchenko S.A. Normalization Techniques as Applied to the Investigation of Dynamics of DifferenceDifferential Equations with a Small Parameter Multiplying the Derivative // Differ. Uravn. 1989. V. 25. P. 1448—1451 [in Russian]).Кащенко С.А. Асимптотика быстро осциллирующих контрастных пространственных структур // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 30, №2. С. 254—269. (English transl.: Kashchenko S.A. Asymptotic behaviour of rapidly oscillating contrasting spatial structures // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1990. V. 30. №1. P. 186—197).Кащенко С.А. Асимптотика быстро осциллирующих контрастных пространственных структур // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 30, №2. С. 254—269. (English transl.: Kashchenko S.A. Asymptotic behaviour of rapidly oscillating contrasting spatial structures // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1990. V. 30. №1. P. 186—197).Кащенко С.А. Уравнения Гинзбурга–Ландау – нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, №3. С. 457—465. (English transl.: Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. V. 38. №3. P. 443—451).Кащенко С.А. Уравнения Гинзбурга–Ландау – нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, №3. С. 457—465. (English transl.: Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. V. 38. №3. P. 443—451).Кащенко С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, №10. С. 1343–1355. (Kaschenko S.A. Local dynamics of nonlinear singularly perturbed delay systems // Differ. Uravneniya. 1999. V. 35, №10. P. 1343–1355).Кащенко С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, №10. С. 1343–1355. (Kaschenko S.A. Local dynamics of nonlinear singularly perturbed delay systems // Differ. Uravneniya. 1999. V. 35, №10. P. 1343–1355).Глазков Д.В. Локальная динамика уравнения с сильно запаздывающей обратной связью // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, №1. C. 75—85. (Glazkov D.V. Local dynamics of an equation with long delay feedback // Modeling and analysis of information systems. 2011. V. 18, №1. P. 75—85 [in Russian]).Глазков Д.В. Локальная динамика уравнения с сильно запаздывающей обратной связью // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, №1. C. 75—85. (Glazkov D.V. Local dynamics of an equation with long delay feedback // Modeling and analysis of information systems. 2011. V. 18, №1. P. 75—85 [in Russian]).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.