maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-1-85-104mais-233Research ArticleОригинальные статьиArticlesАсимптотика приближения нулевого порядка решения трехтемповой линейно-квадратичной задачи оптимального управленияZero-order Approximation of Three-time Scale Singular Linear-quadratic Optimal Control ProblemКалашниковаМаргарита АлександровнаKalashnikovaM. A.

аспирант кафедры математического анализа,

394006 Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1

аспирант кафедры математического анализа,

Universitetskaya pl., 1, Voronezh, 394006, Russia

margarita.kalashnikova@mail.ruВоронежский государственный университетРоссияVoronezh State UniversityRussian Federation20152002201522185104Copyright © Калашникова М.А., 20152015Калашникова М.А.Kalashnikova M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/233

Данная работа посвящена построению приближения нулевого порядка решения сингулярно возмущенной линейно-квадратичной трехтемповой задачи оптимального управления методом прямой схемы. Алгоритм метода заключается в непосредственной подстановке постулируемого асимптотического разложения решения в условие задачи и построении серии задач для нахождения членов асимптотики. Асимптотическое разложение решения в данном случае содержит регулярные функции и четыре пограничные функции экспоненциального типа, которые определяются из решения пяти линейно-квадратичных задач оптимального управления. Показано, что система уравнений для членов приближения нулевого порядка асимптотического решения задачи, вытекающей из условий оптимальности управления исходной возмущенной задачи, соответствует системе уравнений, получаемой из условий оптимальности управления в построенных пяти задачах оптимального управления для нахождения асимптотического приближения решения нулевого порядка методом прямой схемы. Приведен иллюстративный пример.

This paper is devoted to the construction of a zero-order approximation of the solution of a three-time scale singular perturbed linear-quadratic optimal control problem with the help of the direct scheme method. The algorithm of the method consists in immediate substituting a postulated asymptotic expansion of solution into the problem condition and constructing a family of control problems to define the terms of the asymptotic expansion. Asymptotic approximation of the solution contains regular functions and four boundary ones of exponential type which are determined from the five linearquadratic optimal control problems. It is shown, that the system of equations for a zero-order approximation appeared from control optimality conditions of the initial perturbed problem corresponds to control optimality conditions appeared in respective five optimal control problems constructed for finding zero-order asymptotic approximation with the help of the direct scheme method. An illustrative example is given.

линейно-квадратичная задача оптимального управлениясингулярные возмущенияасимптотическое разложениеразнотемповые системыlinear-quadratic optimal control problemsingular perturbationsasymptotic expansionmulti-time scale systemsReferencesKhalil H.K., Kokotovic P.V. Control of Linear Systems with Multiparameter Singular Perturbations // Automatica. 1979. V. 15, Iss. 2. P. 197–207.Khalil H.K., Kokotovic P.V. Control of Linear Systems with Multiparameter Singular Perturbations // Automatica. 1979. V. 15, Iss. 2. P. 197–207.Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотическая оптимизация линейной сингулярно возмущенной системы, содержащей при производных параметры различных порядков малости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. Т. 35, №9. С. 1299–1312. (English transl.: Gribkovskaya I.V., Kalinin A.I. Asymptotic optimization of a linear singularly perturbed system containing parameters of variable orders of smallness at the derivatives // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1995. V. 35, No. 9. P. 1041–1051.)Грибковская И.В., Калинин А.И. Асимптотическая оптимизация линейной сингулярно возмущенной системы, содержащей при производных параметры различных порядков малости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. Т. 35, №9. С. 1299–1312. (English transl.: Gribkovskaya I.V., Kalinin A.I. Asymptotic optimization of a linear singularly perturbed system containing parameters of variable orders of smallness at the derivatives // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1995. V. 35, No. 9. P. 1041–1051.)Воропаева Н.В., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. М.: Физматлит, 2009. (Voropaeva N.V., Sobolev V.A. Geometricheskaya dekompozitsiya singulyarno vozmushchennykh sistem. Moskva: Fizmatlit, 2009 [in Russian].)Воропаева Н.В., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. М.: Физматлит, 2009. (Voropaeva N.V., Sobolev V.A. Geometricheskaya dekompozitsiya singulyarno vozmushchennykh sistem. Moskva: Fizmatlit, 2009 [in Russian].)Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. ( Vasil’eva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy. Moskva: Nauka, 1973 [in Russian].)Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. ( Vasil’eva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy. Moskva: Nauka, 1973 [in Russian].)Saksena V.R., O’Reilly J., Kokotovic P.V. Singular Perturbations and Time-scale Methods in Control Theory: Survey 1976–1983 // Automatica. 1984. V. 20, No. 3. P. 273–293.Saksena V.R., O’Reilly J., Kokotovic P.V. Singular Perturbations and Time-scale Methods in Control Theory: Survey 1976–1983 // Automatica. 1984. V. 20, No. 3. P. 273–293.Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. №1. С. 3-51.(English transl.: Dmitriev M.G., Kurina G.A. Singular perturbations in control problems // Automation and Remote Control. 2006. V. 67, Iss. 1. P. 1–43.)Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. №1. С. 3-51.(English transl.: Dmitriev M.G., Kurina G.A. Singular perturbations in control problems // Automation and Remote Control. 2006. V. 67, Iss. 1. P. 1–43.)Zhang Y., Naidu D.S., Cai C.X., Zou Y. Singular perturbations and time scales in control theories and applications: an overview 2002–2012 // Int. J. Inf. Syst. Sci. 2014. V. 9, No 1. P. 1–36.Zhang Y., Naidu D.S., Cai C.X., Zou Y. Singular perturbations and time scales in control theories and applications: an overview 2002–2012 // Int. J. Inf. Syst. Sci. 2014. V. 9, No 1. P. 1–36.Ladde G.S., Siljak D.D. Multiparameter Singular Perturbations of Linear Systems with Multiple Time Scales // Automatica. 1983. V. 19, No. 4. P. 385–394.Ladde G.S., Siljak D.D. Multiparameter Singular Perturbations of Linear Systems with Multiple Time Scales // Automatica. 1983. V. 19, No. 4. P. 385–394.Курина Г.А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем // Математические заметки. 1992. Т. 52, Вып. 4. С. 56–61. (English transl.: Kurina G.A. Complete controllability of various-speed singularly perturbed systems // Mathematical Notes. 1992. V. 52, Iss. 4. P. 1029–1033.)Курина Г.А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем // Математические заметки. 1992. Т. 52, Вып. 4. С. 56–61. (English transl.: Kurina G.A. Complete controllability of various-speed singularly perturbed systems // Mathematical Notes. 1992. V. 52, Iss. 4. P. 1029–1033.)Данилин А.Р., Коврижных О.О. Об асимптотике решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, №6. С. 738–747. (English transl.: Danilin A.R., Kovrizhnykh O.O. On the Asymptotics of the Solution of a System of Linear Equations with Two Small Parameters // Differential Equations. 2008. V. 44, No. 6. P. 757–767.)Данилин А.Р., Коврижных О.О. Об асимптотике решения системы линейных уравнений с двумя малыми параметрами // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, №6. С. 738–747. (English transl.: Danilin A.R., Kovrizhnykh O.O. On the Asymptotics of the Solution of a System of Linear Equations with Two Small Parameters // Differential Equations. 2008. V. 44, No. 6. P. 757–767.)Wang Y.Y., Frank P.M., Wu N.E. Near-Optimal Control of Nonstandard Singularly Perturbed Systems // Automatica. 1994. V. 30, No. 2. P. 277–292.Wang Y.Y., Frank P.M., Wu N.E. Near-Optimal Control of Nonstandard Singularly Perturbed Systems // Automatica. 1994. V. 30, No. 2. P. 277–292.Mukaidani H., Xu H., Mizukami K. New Results for near-optimal control of linear multiparameter singularly perturbed systems // Automatica. 2003. V. 39. P. 2157–2167.Mukaidani H., Xu H., Mizukami K. New Results for near-optimal control of linear multiparameter singularly perturbed systems // Automatica. 2003. V. 39. P. 2157–2167.Белокопытов С.В., Дмитриев М.Г. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем // Автоматика и телемеханика. 1989. Вып. 7. С. 71–82. (English transl.: Belokopytov S.V., Dmitriev M.G. Solution of classical optimal control problems with a boundary layer // Automation and Remote Control. 1989. V 50, No 7. P. 907–917.)Белокопытов С.В., Дмитриев М.Г. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем // Автоматика и телемеханика. 1989. Вып. 7. С. 71–82. (English transl.: Belokopytov S.V., Dmitriev M.G. Solution of classical optimal control problems with a boundary layer // Automation and Remote Control. 1989. V 50, No 7. P. 907–917.)Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. I. // Автоматика и телемеханика. 1959. Т. 20, №10. C. 1320–1334. (Rozonoer L.I. Printsip maksimuma L.S. Pontryagina v teorii optimalnykh sistem. I. // Avtomatika i telemekhanika. 1959. Т. 20, No 10. S. 1320–1334 [in Russian].)Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. I. // Автоматика и телемеханика. 1959. Т. 20, №10. C. 1320–1334. (Rozonoer L.I. Printsip maksimuma L.S. Pontryagina v teorii optimalnykh sistem. I. // Avtomatika i telemekhanika. 1959. Т. 20, No 10. S. 1320–1334 [in Russian].)Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. (English transl.: Pontryagin L.S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishechenko E. F. The mathematical theory of optimal processes. New York, Interscience Publishers. 1962.)Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. (English transl.: Pontryagin L.S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishechenko E. F. The mathematical theory of optimal processes. New York, Interscience Publishers. 1962.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.