maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-1-105-113mais-234Research ArticleОригинальные статьиArticlesОсобенности формирования диссипативных структур, описываемых уравнением Курамото–СивашинскогоDissipative Structures of the Kuramoto–Sivashinsky EquationКудряшовНиколай АлексеевичKudryashovN. A.

доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой,

115409 Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31

доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой,

Kashirskoe shosse, 31, Moscow, 115409, Russia

nakudryashov@mephi.ruРябовПавел НиколаевичRyabovP. N.

кандидат физ.-мат. наук, ст. преподаватель,

115409 Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31

кандидат физ.-мат. наук, ст. преподаватель,

Kashirskoe shosse, 31, Moscow, 115409, Russia

pnryabov@mephi.ruПетровБогдан АлександровичPetrovB. A.

студент,

115409 Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31

студент,

Kashirskoe shosse, 31, Moscow, 115409, Russia

Национальный исследовательский ядерный университет МИФИРоссияNational Research Nuclear University MEPhIRussian Federation201520022015221105113Copyright © Кудряшов Н.А., Рябов П.Н., Петров Б.А., 20152015Кудряшов Н.А., Рябов П.Н., Петров Б.А.Kudryashov N.A., Ryabov P.N., Petrov B.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/234

Рассматриваются процессы самоорганизации диссипативных структур в физических системах, описываемых уравнением Курамото–Сивашинского. Разработан вычислительный алгоритм, позволяющий проводить моделирование процессов, описываемых данным уравнением. Проведено тестирование и продемонстрирована эффективность вычислительной процедуры. Исследован процесс формирования диссипативных структур в зависимости от параметров модели. При помощи метода циклической свертки определен диапазон изменения управляющего параметра, при котором имеют место процессы самоорганизации, а также исследованы качественные и количественные характеристики рассматриваемого процесса. В частности получена зависимость амплитуды сформировавшейся структуры от величины управляющего параметра.

In the present work, we study the features of dissipative structures formation described by the periodic boundary value problem for the Kuramoto-Sivashinsky equation. The numerical algorithm which is based on the pseudospectral method is presented. We prove the efficiency and accuracy of the proposed numerical method on the exact solution of the equation considered. Using this approach, we performed the numerical simulation of dissipative structure formations described by the Kuramoto–Sivashinsky equation. The influence of the problem parameters on these processes are studied. The quantitative and qualitative characteristics of dissipative structure formations are described. We have shown that there is a value of the control parameter at which the processes of dissipative structure formation are observed. In particular, using the cyclic convolution we define the average value of this parameter. Also, we find the dependence of the amplitude of the structures on the value of control parameter.

уравнение Курамото-Сивашинскогосамоорганизацияструктурыпсевдоспектральный методчисленное моделированиеKuramoto–Sivashinsky equationself–organizationpatternspseudospectral methodnumerical simulationгрант для поддержки ведущих научных школ, РФФИ, грант для поддержки молодых ученых – кандидатов наукReferencesKuramoto Y., Tsuzuki T. Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium // Progress.Theor. Phys. 1976. V. 55. No 2. P. 356–359.Kuramoto Y., Tsuzuki T. Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium // Progress.Theor. Phys. 1976. V. 55. No 2. P. 356–359.Sivashinsky G. I. Instability, pattern formation and turbulence in flames // Ann. Rev. Fluid Mech. 1983. V. 15. P. 179–199.Sivashinsky G. I. Instability, pattern formation and turbulence in flames // Ann. Rev. Fluid Mech. 1983. V. 15. P. 179–199.Kudryashov N.A., Ryabov P.N., Fedyanin T.E., Kutukov A.A. Evolution of pattern formation under ion bombardment of substrate // Physics Letters A. 2013. V. 377. P. 753–759.Kudryashov N.A., Ryabov P.N., Fedyanin T.E., Kutukov A.A. Evolution of pattern formation under ion bombardment of substrate // Physics Letters A. 2013. V. 377. P. 753–759.Topper J., Kawahara T. Approximate equations for long nonlinear waves on a viscous fluid//J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 44. No. 2. P. 663–666.Topper J., Kawahara T. Approximate equations for long nonlinear waves on a viscous fluid//J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 44. No. 2. P. 663–666.Кудряшов Н.А. Точные солитонные решения обобщенного эволюционного уравнения волновой динамики // Прикладная математика и механика. 1988. T. 52. №3. С. 465–470. [English transl.: Kudryashov N.A. Exact soliton solutions of the generalized evolution equation of wave dynamics// J. Appl. Math. Mech. 1988. V. 52. P. 361–365.]Кудряшов Н.А. Точные солитонные решения обобщенного эволюционного уравнения волновой динамики // Прикладная математика и механика. 1988. T. 52. №3. С. 465–470. [English transl.: Kudryashov N.A. Exact soliton solutions of the generalized evolution equation of wave dynamics// J. Appl. Math. Mech. 1988. V. 52. P. 361–365.]Kudryashov N.A. Exact solutions of the generalized Kuramoto–Sivashinsky equation // Phys. Letters A. 1990. V. 147. № 5–6. P. 287–291.Kudryashov N.A. Exact solutions of the generalized Kuramoto–Sivashinsky equation // Phys. Letters A. 1990. V. 147. № 5–6. P. 287–291.Алексеев А.А., Кудряшов Н.А. Особенности нелинейных волн в диссипативно–дисперсионных средах с неустойчивостью // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 4. C. 130–136. [English transl.: Alekseev A.A., Kudryashov N.A. Properties of nonlinear waves in dissipative-dispersive media with instability // Fluid Dynamics. 1990. V. 25. No. 4. P. 604–610.]Алексеев А.А., Кудряшов Н.А. Особенности нелинейных волн в диссипативно–дисперсионных средах с неустойчивостью // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 4. C. 130–136. [English transl.: Alekseev A.A., Kudryashov N.A. Properties of nonlinear waves in dissipative-dispersive media with instability // Fluid Dynamics. 1990. V. 25. No. 4. P. 604–610.]Кудряшов Н.А., Мигита А.В. Периодические структуры, возникающие при учете дисперсии в одной из моделей турбулентности // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 3. C. 145–154. [English transl.: Kudryashov N.A., Migita A.V. Periodic structures developing with account for dispersion in a turbulence model // Fluid Dynamics. 2007. V. 42. No. 3. P. 463–471.]Кудряшов Н.А., Мигита А.В. Периодические структуры, возникающие при учете дисперсии в одной из моделей турбулентности // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 3. C. 145–154. [English transl.: Kudryashov N.A., Migita A.V. Periodic structures developing with account for dispersion in a turbulence model // Fluid Dynamics. 2007. V. 42. No. 3. P. 463–471.]Кудряшов Н.А., Рябов П.Н. Cвойства нелинейных волн в активно-диссипативной дисперсионной среде // Изв. РАН. МЖГ. 2011. No. 3. P. 97–105. [English transl.: Kudryashov N.A., Ryabov P.N. Properties of nonlinear waves in an active–dissipative dispersive medium // Fluid Dynamics. 2011. V. 46. No. 3. P. 425–432.]Кудряшов Н.А., Рябов П.Н. Cвойства нелинейных волн в активно-диссипативной дисперсионной среде // Изв. РАН. МЖГ. 2011. No. 3. P. 97–105. [English transl.: Kudryashov N.A., Ryabov P.N. Properties of nonlinear waves in an active–dissipative dispersive medium // Fluid Dynamics. 2011. V. 46. No. 3. P. 425–432.]Kudryshov N.A., Ryabov P.N., Sinelshchikov D.I. Nonlinear waves in media with fifth order dispersion // Physics Letters A. 2011. V. 375. P. 2051–2055.Kudryshov N.A., Ryabov P.N., Sinelshchikov D.I. Nonlinear waves in media with fifth order dispersion // Physics Letters A. 2011. V. 375. P. 2051–2055.Trefethen L.N. Spectral Methods in MATLAB. SIAM, Philadelphia, 2000.Trefethen L.N. Spectral Methods in MATLAB. SIAM, Philadelphia, 2000.Hou T.Y., Li R. Computing nearly singular solutions using pseudo-spectral methods // Journal of Computational Physics. 2007. 226. P. 279–297.Hou T.Y., Li R. Computing nearly singular solutions using pseudo-spectral methods // Journal of Computational Physics. 2007. 226. P. 279–297.Hala A. Numerical methods for stiff systems. University of Nottingham, 2008.Hala A. Numerical methods for stiff systems. University of Nottingham, 2008.Kassam A.-K., Trefethen L.N. Fourth-order time-stepping for stiff PDEs // SIAM J. Sci. Comput. 2005. Vol. 26. No. 4. P. 1214–1233.Kassam A.-K., Trefethen L.N. Fourth-order time-stepping for stiff PDEs // SIAM J. Sci. Comput. 2005. Vol. 26. No. 4. P. 1214–1233.Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. DOVER Publications, Inc. Mineola, New York, 2000.Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. DOVER Publications, Inc. Mineola, New York, 2000.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.