maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-2-197-208mais-240Research ArticleОригинальные статьиArticlesИсследование устойчивости решений начально-краевой задачи, моделирующей динамику одной дискретно-континуальной механической системыSolutions Stability of Initial Boundary Problem, Modeling of Dynamics of Some Discrete Continuum Mechanical SystemЕлисеевДмитрий АндреевичEliseevD. A.

аспирант, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

аспирант, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

dim_ok32@mail.ruКубышкинЕвгений ПавловичKubyshkinE. P.

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математического моделирования, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математического моделирования, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kubysh@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201520042015222197208Copyright © Елисеев Д.А., Кубышкин Е.П., 20152015Елисеев Д.А., Кубышкин Е.П.Eliseev D.A., Kubyshkin E.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/240

В работе исследуется устойчивость решений начально-краевой задачи для линейной гибридной системы дифференциальных уравнений, моделирующей поворот твердого тела с двумя упругими стержнями, расположенными в одной плоскости. К оси вращения, проходящей через центр масс твердого тела перпендикулярно плоскости расположения стержней, приложен стабилизирующий момент, пропорциональный углу поворота, скорости от угла поворота и интегралу от угла поворота тела, обеспечивающий обратную связь. Для исследования поведения решений начально-краевой задачи предложена методика, позволяющая исключить из гибридной системы дифференциальных уравнений уравнения в частных производных, которые описывают динамику распределенных элементов механической системы. Это позволило построить одно интегродифференциальное уравнение для угла поворота. Его характеристическое уравнение отвечает за устойчивость решений всей системы. В пространстве коэффициентов обратных связей построены области, значения параметров из которых обеспечивают асимптотическую (но не экспоненциальную) устойчивость решений начально-краевой задачи.

The solution stability of an initial boundary problem for a linear hybrid system of differential equations, which models the rotation of a rigid body with two elastic rods located in the same plane is studied in the paper. To an axis passing through the mass center of the rigid body perpendicularly to the rods location plane is applied the stabilizing moment proportional to the angle of the system rotation, derivative of the angle, integral of the angle. The external moment provides a feedback. A method of studying the behavior of solutions of the initial boundary problem is proposed. This method allows to exclude from the hybrid system of differential equations partial differential equations, which describe the dynamics of distributed elements of a mechanical system. It allows us to build one equation for an angle of the system rotation. Its characteristic equation defines the stability of solutions of all the system. In the space of feedback-coefficients the areas that provide the asymptotic stability of solutions of the initial boundary problem are built up.

устойчивость решенийдискретно-континуальные механические системыгибридные системы дифференциальных уравненийsolution stabilitydiscrete continuum mechanical systemshybrid systems of differential equationsReferencesЕлисеев Д. А., Кубышкин Е. П., “Уравнения движения твердого тела с двумя упругими стержнями”, Модел. и анализ информ. систем, 21:1 (2014), 66—72; English transl.: Eliseev D. A., Kubyshkin E. P., “Motion Equations of a Rigid Body with Two Elastic Rods”, Automatic Control and Computer Sciences, 48:7 (2014), 516–520.Елисеев Д. А., Кубышкин Е. П., “Уравнения движения твердого тела с двумя упругими стержнями”, Модел. и анализ информ. систем, 21:1 (2014), 66—72; English transl.: Eliseev D. A., Kubyshkin E. P., “Motion Equations of a Rigid Body with Two Elastic Rods”, Automatic Control and Computer Sciences, 48:7 (2014), 516–520.Злочевский С. И., Кубышкин Е. П., “О стабилизации спутника с гибкими стержнями”, Космич. исслед., 27:5 (1989), 643; [Zlochevskiy S. I., Kubyshkin E. P., “O stabilizatsii sputnika s gibkimi sterzhnyami”, Kosmich. issled., 27:5 (1989), 643, (in Russian).]Злочевский С. И., Кубышкин Е. П., “О стабилизации спутника с гибкими стержнями”, Космич. исслед., 27:5 (1989), 643; [Zlochevskiy S. I., Kubyshkin E. P., “O stabilizatsii sputnika s gibkimi sterzhnyami”, Kosmich. issled., 27:5 (1989), 643, (in Russian).]Злочевский С. И., Кубышкин Е. П., “О стабилизации спутника с гибкими стержнями. II”, Космич. исслед., 29:6 (1991), 828; [Zlochevskiy S. I., Kubyshkin E. P., “O stabilizatsii sputnika s gibkimi sterzhnyami. II”, Kosmich. issled., 29:6 (1991), 828, (in Russian).]Злочевский С. И., Кубышкин Е. П., “О стабилизации спутника с гибкими стержнями. II”, Космич. исслед., 29:6 (1991), 828; [Zlochevskiy S. I., Kubyshkin E. P., “O stabilizatsii sputnika s gibkimi sterzhnyami. II”, Kosmich. issled., 29:6 (1991), 828, (in Russian).]Бербюк В. Е., Динамика и оптимизация робототехнических систем, Наукова думка, Киев, 1989; [Berbyuk V. E., Dinamika i optimizatsiya robototekhnicheskikh sistem, Naukova dumka, Kiev, 1989, (in Russian).]Бербюк В. Е., Динамика и оптимизация робототехнических систем, Наукова думка, Киев, 1989; [Berbyuk V. E., Dinamika i optimizatsiya robototekhnicheskikh sistem, Naukova dumka, Kiev, 1989, (in Russian).]Черноусько Ф. Л., Болотник Н. Н., Градецкий В. Г., Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация, Наука, М., 1989; English transl.: Chernousko F. L., Bolotnik N. N., Gradetsky V. G., Manipulation Robots: Dynamics, Control and Optimization, CRC Press, Boca Raton, 1994.Черноусько Ф. Л., Болотник Н. Н., Градецкий В. Г., Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация, Наука, М., 1989; English transl.: Chernousko F. L., Bolotnik N. N., Gradetsky V. G., Manipulation Robots: Dynamics, Control and Optimization, CRC Press, Boca Raton, 1994.Кубышкин Е. П., “Оптимальное управление поворотом твердого тела с гибким стержнем”, ПММ, 56:2 (1992), 240–249; English transl.: Kubyshkin Ye. P., “Optimal control of the rotation of a solid with a flexible rod”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 56:2 (1992), 205–214.Кубышкин Е. П., “Оптимальное управление поворотом твердого тела с гибким стержнем”, ПММ, 56:2 (1992), 240–249; English transl.: Kubyshkin Ye. P., “Optimal control of the rotation of a solid with a flexible rod”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 56:2 (1992), 205–214.Krabs W., Chi-Long N., “On the Controllability of a Robot Arm”, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21 (1998), 25–42.Krabs W., Chi-Long N., “On the Controllability of a Robot Arm”, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21 (1998), 25–42.Krabs W., “Controllability of a Rotating Beam”, Lecture Notes in Control and Information Sciences, 185 (1993), 447–458.Krabs W., “Controllability of a Rotating Beam”, Lecture Notes in Control and Information Sciences, 185 (1993), 447–458.Leugering G., “On control and stabilization of a rotating beam by applying moments at the base only”, Lecture Notes in Control and Information Sciences, 149 (1991), 182–191.Leugering G., “On control and stabilization of a rotating beam by applying moments at the base only”, Lecture Notes in Control and Information Sciences, 149 (1991), 182–191.Gugat M., “Controllability of a slowly rotating Timoshenko beam”, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 6 (2001), 333–360.Gugat M., “Controllability of a slowly rotating Timoshenko beam”, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 6 (2001), 333–360.Krabs W., Sklyar G. M., “On the controllability of a slowly rotating Timoshenko beam”, Z. Anal Anwend., 18:2 (1999), 437–448.Krabs W., Sklyar G. M., “On the controllability of a slowly rotating Timoshenko beam”, Z. Anal Anwend., 18:2 (1999), 437–448.Krabs W., Sklyar G. M., “On the stabilizability of a slowly rotating Timoshenko beam”, Z. Anal Anwend., 19:1 (2000), 131–145.Krabs W., Sklyar G. M., “On the stabilizability of a slowly rotating Timoshenko beam”, Z. Anal Anwend., 19:1 (2000), 131–145.Krabs W., Sklyar G. M., Wozniak J., “On the set of reachable states in the problem of controllability of rotating Timoshenko beam.”, J. Anal Appl., 22:1 (2003), 215–228.Krabs W., Sklyar G. M., Wozniak J., “On the set of reachable states in the problem of controllability of rotating Timoshenko beam.”, J. Anal Appl., 22:1 (2003), 215–228.Taylor S., Yau S., “Boundary control of a rotating Timoshenko beam.”, E, 44, 2003, 143–184.Taylor S., Yau S., “Boundary control of a rotating Timoshenko beam.”, E, 44, 2003, 143–184.Кубышкин Е. П., Хребтюгова О. А., “Обобщенное решение одной начально-краевой задачи, возникающей в механике дискретно-континуальных систем”, Модел. и анализ информ. систем, 19:1 (2012), 84–96; English transl.: Kubyshkin E. P., Khrebtyugova O. A., “A Generalized Solution of an Initial Boundary Value Problem Arising in the Mechanics of Discrete–Continuous Systems”, Automatic Control and Computer Sciences, 47:7 (2013), 556–565.Кубышкин Е. П., Хребтюгова О. А., “Обобщенное решение одной начально-краевой задачи, возникающей в механике дискретно-континуальных систем”, Модел. и анализ информ. систем, 19:1 (2012), 84–96; English transl.: Kubyshkin E. P., Khrebtyugova O. A., “A Generalized Solution of an Initial Boundary Value Problem Arising in the Mechanics of Discrete–Continuous Systems”, Automatic Control and Computer Sciences, 47:7 (2013), 556–565.Aoustin Y., Formalsky A., “On the Synthesis of a nominal Trajectory for Control Law of a one-Link flexible Arm”, The lnternational Joumal of Robotics Research, 16:1 (1997), 36–46.Aoustin Y., Formalsky A., “On the Synthesis of a nominal Trajectory for Control Law of a one-Link flexible Arm”, The lnternational Joumal of Robotics Research, 16:1 (1997), 36–46.Фролов К. В. и др., Вибрации в технике: Справочник в 6 томах, 1, Машиностроение, M., 1978; [Frolov K. V. i dr., Vibratsii v tekhnike: Spravochnik v 6 tomakh, 1, Mashinostroenie, M., 1978, (in Russian).]Фролов К. В. и др., Вибрации в технике: Справочник в 6 томах, 1, Машиностроение, M., 1978; [Frolov K. V. i dr., Vibratsii v tekhnike: Spravochnik v 6 tomakh, 1, Mashinostroenie, M., 1978, (in Russian).]Беллман Р., Кук К., Дифференциально-разностные уравнения, Мир, М., 1967; English transl.: Bellman R., Cooke K., Differential-Difference Equations, Academic Press, 1963.Беллман Р., Кук К., Дифференциально-разностные уравнения, Мир, М., 1967; English transl.: Bellman R., Cooke K., Differential-Difference Equations, Academic Press, 1963.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.