maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-2-209-218mais-241Research ArticleОригинальные статьиArticlesРавномерность векторных расслоений конечного ранга на полных пересечениях конечной коразмерности в линейных инд-грассманианахUniformity of Vector Bundles of Finite Rank on Complete Intersections of Finite Codimension in a Linear ind-GrassmannianЕрмаковаСветлана МихайловнаYermakovaS. M.

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

svetlana.ermakova1802@gmail.comЯрославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201520042015222209218Copyright © Ермакова С.М., 20152015Ермакова С.М.Yermakova S.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/241

Линейное проективное инд-многообразие X называется 1-связным, если любые две точки на нем можно соединить цепочкой проективных прямых l1, l2, ..., lk в X, таких, что li пересекается с li+1. Линейное проективное инд-многообразие X называется 2-связным, если всякая точка из X лежит на проективной прямой в X, и для любых двух прямых l и l 0 из X существует цепочка прямых l = l1, l2, ..., lk = l 0 , такая, что любая пара (li , li+1) содержится в проективной плоскости P 2 , принадлежащей X. В данной работе изучается линейное инд-многообразие X, являющееся полным пересечением в линейном инд-грассманиане G = lim−→G(km, nm). По опре- делению X – это пересечение G с конечным числом инд-гиперповерхностей Yi = lim−→Yi,m, m ≥ 1, фиксированных степеней di , i = 1, ..., l, в пространстве P∞, в которое инд-грассманиан G вложен по Плюккеру. Из работы [17] вытекает, что X 1-связно. Обобщая этот результат, в данной работе мы доказываем, что X 2-связно. Из этого свойства выводится, что всякое векторное расслоение E конечного ранга на X является равномерным, то есть ограничение расслоения E на все проективные прямые в X имеет одинаковый тип расщепления. Мотивация данной работы состоит в распространении теорем типа Барта– Ван де Вена–Тюрина–Сато на случай полных пересечений конечной коразмерности в инд-грассманианах.

A linear projective ind-variety X is called 1-connected if any two points on it can be connected by a chain of lines l1, l2, ..., lk in X, such that li intersects li+1. A linear projective ind-variety X is called 2-connected if any point of X lies on a projective line in X and for any two lines l and l 0 in X there is a chain of lines l = l1, l2, ..., lk = l 0 , such that any pair (li , li+1) is contained in a projective plane P 2 in X. In this work we study an ind-variety X that is a complete intersection in the linear ind-Grassmannian G = lim−→G(km, nm). By definition, X is an intersection of G with a finite number of ind-hypersufaces Yi = lim−→Yi,m, m ≥ 1, of fixed degrees di , i = 1, ..., l, in the space P∞, in which the ind-Grassmannian G is embedded by Pl¨ucker. One can deduce from work [17] that X is 1-connected. Generalising this result we prove that X is 2-connected. We deduce from this property that any vector bundle E of finite rank on X is uniform, i. e. the restriction of E to all projective lines in X has the same splitting type. The motiavtion of this work is to extend theorems of Barth - Van de Ven - Tjurin - Sato type to complete intersections of finite codimension in ind-Grassmannians.

инд-грассманианвекторное расслоениеравномерное расслоениемногообразие Фано прямыхind-Grassmannianvector bundleuniform bundleFano variety of linesReferencesAltman A. B., Kleiman S. L., “Foundations of the theory of Fano schemes”, Composito Math., 34:1 (1977), 3–47.Altman A. B., Kleiman S. L., “Foundations of the theory of Fano schemes”, Composito Math., 34:1 (1977), 3–47.Barth W., Van de Ven A., “On the geometry in codimension 2 in Grassmann manifolds”, Lecture Notes in Math., 412 (1974), 1–35.Barth W., Van de Ven A., “On the geometry in codimension 2 in Grassmann manifolds”, Lecture Notes in Math., 412 (1974), 1–35.Birkhoff George David, “Singular points of ordinary linear differential equations”, Transactions of the American Mathematical Society, 10:4 (1909), 436–470.Birkhoff George David, “Singular points of ordinary linear differential equations”, Transactions of the American Mathematical Society, 10:4 (1909), 436–470.Coandˇa I., Trautmann G., “The splitting criterion of Kempf and the Babylonian tower theorem”, Communications in Algebra, 34:7 (2006), 2485–2488.Coandˇa I., Trautmann G., “The splitting criterion of Kempf and the Babylonian tower theorem”, Communications in Algebra, 34:7 (2006), 2485–2488.Donin J., Penkov I., “Finite rank vector bundles on inductive limits of Grassmannians”, IMRN, 2003, № 34, 1871–1887.Donin J., Penkov I., “Finite rank vector bundles on inductive limits of Grassmannians”, IMRN, 2003, № 34, 1871–1887.Eisenbud D., Harris J., “3264 & All That Intersection. Theory in Algebraic Geometry”, 2013, http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic720403.files/book.pdf.Eisenbud D., Harris J., “3264 & All That Intersection. Theory in Algebraic Geometry”, 2013, http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic720403.files/book.pdf.Griffiths P. A., Harris J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley, New York, 1978.Griffiths P. A., Harris J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley, New York, 1978.Grothendieck Alexander, “Sur la classification des fibres holomorphes sur la sphere de Riemann”, American Journal of Mathematics, 79:1 (1957), 121–138.Grothendieck Alexander, “Sur la classification des fibres holomorphes sur la sphere de Riemann”, American Journal of Mathematics, 79:1 (1957), 121–138.Karen Smith, An invitation to algebraic geometry, Springer-Verlag, 2000.Karen Smith, An invitation to algebraic geometry, Springer-Verlag, 2000.Okonek C., Schneider M., Spindler H., Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Mathematics 3, Birkhauser, Boston. Basel, Stuttgart, 1980.Okonek C., Schneider M., Spindler H., Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Mathematics 3, Birkhauser, Boston. Basel, Stuttgart, 1980.Sato E., “On the decomposability of infinitely extendable vector bundles on projective spaces and Grassmann varieties”, J. Math. Kyoto Univ., 1977, № 17, 127–150.Sato E., “On the decomposability of infinitely extendable vector bundles on projective spaces and Grassmann varieties”, J. Math. Kyoto Univ., 1977, № 17, 127–150.Penkov I., Tikhomirov A. S., “Linear ind-Grassmannians”, Pure and Applied Mathematics Quarterly, 10:2 (2014), 289–323.Penkov I., Tikhomirov A. S., “Linear ind-Grassmannians”, Pure and Applied Mathematics Quarterly, 10:2 (2014), 289–323.Penkov I., Tikhomirov A. S., “On the Barth–Van de Ven–Tyurin–Sato theorem”, arXiv: 1405.3897[math.AG].Penkov I., Tikhomirov A. S., “On the Barth–Van de Ven–Tyurin–Sato theorem”, arXiv: 1405.3897[math.AG].Penkov I., Tikhomirov A. S., “Rank-2 vector bundles on ind-Grassmannians”, Algebra, arithmetic,and geometry: in honor of Yu. I. Manin, V II, Progr. Math., 270 (2009), 555–572.Penkov I., Tikhomirov A. S., “Rank-2 vector bundles on ind-Grassmannians”, Algebra, arithmetic,and geometry: in honor of Yu. I. Manin, V II, Progr. Math., 270 (2009), 555–572.Tyurin A. N., “Vector bundles of finite rank over infinite varieties”, Math. USSR, 1976, № 10, 1187–1204.Tyurin A. N., “Vector bundles of finite rank over infinite varieties”, Math. USSR, 1976, № 10, 1187–1204.Hartshorne R., Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York, 1977.Hartshorne R., Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York, 1977.Ермакова С. М., “О пространстве путей на полных пересечениях в грассманианах”, Моделирование и анализ информационных систем, 21:4 (2014), 35–46; [Yermakova S. M., “On the variety of paths on complete intersections in Grassmannians”, Modeling and Analysis of Information Systems, 21:4 (2014), 35–46, (in Russian).]Ермакова С. М., “О пространстве путей на полных пересечениях в грассманианах”, Моделирование и анализ информационных систем, 21:4 (2014), 35–46; [Yermakova S. M., “On the variety of paths on complete intersections in Grassmannians”, Modeling and Analysis of Information Systems, 21:4 (2014), 35–46, (in Russian).]Пенков И. Б., Тихомиров А. С., “Тривиальность векторных расслоений на скрученных инд-грассманианах”, Математический сборник, 202:1 (2011), 65–104; English transl.: Penkov I. B., Tikhomirov A. S., “Triviality of vector bundles on twisted indGrassmannians”, Sbornik: Mathematics, 202, 2011, 61–99.Пенков И. Б., Тихомиров А. С., “Тривиальность векторных расслоений на скрученных инд-грассманианах”, Математический сборник, 202:1 (2011), 65–104; English transl.: Penkov I. B., Tikhomirov A. S., “Triviality of vector bundles on twisted indGrassmannians”, Sbornik: Mathematics, 202, 2011, 61–99.Харрис Дж., Алгебраическая геометрия. Начальный курс, МЦНМО, Москва, 2006; English transl.: Harris J., Algebraic Geometry. A first course, MCCME, Moscow, 2006.Харрис Дж., Алгебраическая геометрия. Начальный курс, МЦНМО, Москва, 2006; English transl.: Harris J., Algebraic Geometry. A first course, MCCME, Moscow, 2006.Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, МЦНМО, Москва, 2007; English transl.: Shafarevich I. R., Foundations of Algebraic Geometry, MCCME, Moscow, 2007.Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, МЦНМО, Москва, 2007; English transl.: Shafarevich I. R., Foundations of Algebraic Geometry, MCCME, Moscow, 2007.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.