maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-2-219-237mais-242Research ArticleОригинальные статьиArticlesО существовании ABA-факторизаций у спорадических групп ранга 3The Existence of Triple Factorizations for Sporadic Groups of Rank 3КазаринЛев СергеевичKazarinL. S.

д-р ф.-м. наук, профессор, зав. кафедрой алгебры и мат. логики, 

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kazarin@uniyar.ac.ruРассадинИлья АндреевичRassadinI. A.

исследователь

исследователь

elcamlost@gmail.comСахаровДенис НиколаевичSakharovD. N.

исследователь

исследователь

ergeslab@gmail.comЯрославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian FederationООО «Нетис Телеком»РоссияООО «Нетис Телеком»Russian FederationООО «Агентство развития «4Р»РоссияООО «Агентство развития «4Р»Russian Federation201520042015222219237Copyright © Казарин Л.С., Рассадин И.А., Сахаров Д.Н., 20152015Казарин Л.С., Рассадин И.А., Сахаров Д.Н.Kazarin L.S., Rassadin I.A., Sakharov D.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/242

Группу G, имеющую в качестве своих подгрупп A и B, называют ABA- группой, если каждый элемент g ∈ G можно представить в виде g = aba1, где a, a1 ∈ A, b ∈ B. Частным случаем факторизаций такого вида является AB-факторизация группы G. Поиск факторизаций группы является фундаментальной математической задачей, решение которой позволит лучше понимать ее строение. Все группы лиева типа обладают факторизацией этого вида. Кроме того, тройные факто- ризации групп автоморфизмов естественным образом возникают при изучении таких структур, как графы, многообразия и геометрии. Целью данной работы является изучение ABA-факторизаций для спорадических групп ранга 3. Для некоторых спорадических групп известны факто- ризации вида G = AB. В то же время для таких спорадических групп ранга 3, как группа МакЛафлина M cL и группа Фишера F i22, факторизации вида G = ABA до настоящего момента были неизвестны. Основным результатом статьи является доказательство существования ABA – факторизаций у спорадических групп M cL и F i22, где A – стабили- затор точки у соответствующей группы подстановок ранга 3. Для группы F i22 имеется два представления ее в качестве группы подстановок ранга 3, причем существование ABA-факторизаций доказано в обоих случаях.

A finite group G with proper subgroups A and B has triple factorization G = ABA if every element g of G can be represented as g = aba0 , where a and a 0 are from A and b is from B. Such a triple factorization may be sometimes degenerate to AB-factorization. The task of finding triple factorizations for a group is fundamental and can be used for understanding the group structure. For instance, every simple finite group of Lie type has a natural factorization of such a type. Besides, the triple factorization is widely used in the study of graphs, geometries and varieties. The goal of this article is to find triple factorizations for sporadic groups of rank 3. We have proved the existence theorem of ABA-factorization for sporadic simple groups McL and F i22. There exist two rank 3 permutation representations of F i22. We have proved that ABA-factorizations exist in both cases.

факторизация группспорадические группыгруппа МакЛафлинагруппы Фишераgroup factorizationsporadic groupsMcLaughlin groupFisher groupReferencesЗагорин Д. Л., Казарин Л. С., “Абелевы ABA-факторизации конечных групп”, Докл. Акад. Наук, 347 (1996), 590–592; [Zagorin D. L., Kazarin L. S., “Abelevy ABAfaktorizacii konechnyh grupp”, Dokl. Akad. Nauk, 347 (1996), 590–592, (in Russian).]Загорин Д. Л., Казарин Л. С., “Абелевы ABA-факторизации конечных групп”, Докл. Акад. Наук, 347 (1996), 590–592; [Zagorin D. L., Kazarin L. S., “Abelevy ABAfaktorizacii konechnyh grupp”, Dokl. Akad. Nauk, 347 (1996), 590–592, (in Russian).]Alavi S. H., Praeger C. E., “On triple factorizations of finite groups”, Journal of Group Theory, 14 (2010), 341–360.Alavi S. H., Praeger C. E., “On triple factorizations of finite groups”, Journal of Group Theory, 14 (2010), 341–360.Amberg B., Kazarin L. S., “ABA-groups with cyclic subgroup B”, Tr. IMM UrO RAN, 18:3 (2012), 10–22.Amberg B., Kazarin L. S., “ABA-groups with cyclic subgroup B”, Tr. IMM UrO RAN, 18:3 (2012), 10–22.Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A., ATLAS of Finite Groups. Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups, Clarendon Press, Oxford, 1985.Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A., ATLAS of Finite Groups. Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups, Clarendon Press, Oxford, 1985.Giudici M., “Factorizations of sporadic simple groups”, Journal of Algebra, 304 (2006), 311–323.Giudici M., “Factorizations of sporadic simple groups”, Journal of Algebra, 304 (2006), 311–323.Gorenstein D., Finite Simple Groups. An Introduction to Their Classification, Plenum Press New York and London, 1982.Gorenstein D., Finite Simple Groups. An Introduction to Their Classification, Plenum Press New York and London, 1982.Gorenstein D., “On finite groups of the form ABA”, Can. J. Math., 14 (1962), 195–236.Gorenstein D., “On finite groups of the form ABA”, Can. J. Math., 14 (1962), 195–236.Gorenstein D., Herstein I. N., “A class of solvable groups”, Can. J. Math., 11 (1959), 311–320.Gorenstein D., Herstein I. N., “A class of solvable groups”, Can. J. Math., 11 (1959), 311–320.Guterman M., “On ABA-groups of finite order”, Trans. Amer. Math. Soc., 139 (1969), 109–143.Guterman M., “On ABA-groups of finite order”, Trans. Amer. Math. Soc., 139 (1969), 109–143.Wilson R., Walsh P., Tripp J., Suleiman I., Parker R., Norton S., Nickerson S., Linton S., Bray J., Abbott R., “ATLAS of Finite Group Representations – Version 3”, 2005, http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/.Wilson R., Walsh P., Tripp J., Suleiman I., Parker R., Norton S., Nickerson S., Linton S., Bray J., Abbott R., “ATLAS of Finite Group Representations – Version 3”, 2005, http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/.Wilson R., Walsh P., Tripp J., Suleiman I., Rogers S., Parker R., Norton S., Nickerson S., Linton S., Bray J., Abbott R., “ATLAS of Finite Group Representations – Version 2”, 1999, http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/.Wilson R., Walsh P., Tripp J., Suleiman I., Rogers S., Parker R., Norton S., Nickerson S., Linton S., Bray J., Abbott R., “ATLAS of Finite Group Representations – Version 2”, 1999, http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/.Sysak Ya. P., “Finite groups of the form ABA”, Algebra and Logic, 21:3 (1982), 234–241.Sysak Ya. P., “Finite groups of the form ABA”, Algebra and Logic, 21:3 (1982), 234–241.Струнков С. П., Введение в теорию линейных представлений конечных групп, МИФИ, 1993; [Strunkov S. P., Vvedenie v teoriju linejnyh predstavlenij konechnyh grupp, MIFI, 1993, (in Russian).]Струнков С. П., Введение в теорию линейных представлений конечных групп, МИФИ, 1993; [Strunkov S. P., Vvedenie v teoriju linejnyh predstavlenij konechnyh grupp, MIFI, 1993, (in Russian).]Сысак Я. П., “Конечные ABA-группы с абелевой p-подгруппой A и циклической p-подгруппой B”, Группы и системы их подгрупп, 1983, 31–42; [Sysak Ja. P., “Konechnye ABA-gruppy s abelevoj p-podgruppoj A i ciklicheskoj p-podgruppoj B”, Gruppy i sistemy ih podgrupp, 1983, 31–42, (in Russian).]Сысак Я. П., “Конечные ABA-группы с абелевой p-подгруппой A и циклической p-подгруппой B”, Группы и системы их подгрупп, 1983, 31–42; [Sysak Ja. P., “Konechnye ABA-gruppy s abelevoj p-podgruppoj A i ciklicheskoj p-podgruppoj B”, Gruppy i sistemy ih podgrupp, 1983, 31–42, (in Russian).]Сысак Я. П., “О строении конечных ABA-групп с абелевой подгруппой A и циклической подгруппой B”, Строение групп и их подгрупповая организация, 1984, 33–46; [Sysak Ja. P., “O stroenii konechnyh ABA-grupp s abelevoj podgruppoj A i ciklicheskoj podgruppoj B”, Stroenie grupp i ih podgruppovaja organizacija, 1984, 33–46, (in Russian).]Сысак Я. П., “О строении конечных ABA-групп с абелевой подгруппой A и циклической подгруппой B”, Строение групп и их подгрупповая организация, 1984, 33–46; [Sysak Ja. P., “O stroenii konechnyh ABA-grupp s abelevoj podgruppoj A i ciklicheskoj podgruppoj B”, Stroenie grupp i ih podgruppovaja organizacija, 1984, 33–46, (in Russian).]Сысак Я. П., “Конечные ABA-группы с абелевыми р-подгруппами A и B”, Укр. Мат. Журн., 40:3 (1988), 356–361; [Sysak Ja. P., “Konechnye ABA-gruppy s abelevymi podgruppami A i B”, Ukr. Mat. Zhurn., 40:3 (1988), 356–361, (in Russian).]Сысак Я. П., “Конечные ABA-группы с абелевыми р-подгруппами A и B”, Укр. Мат. Журн., 40:3 (1988), 356–361; [Sysak Ja. P., “Konechnye ABA-gruppy s abelevymi podgruppami A i B”, Ukr. Mat. Zhurn., 40:3 (1988), 356–361, (in Russian).]Сыскин С. А., “Абстрактные свойства простых спорадических групп”, Успехи математических наук, 5(215) (1980), 181–212; [Syskin S. A., “Abstraktnye svojstva prostyh sporadicheskih grupp”, Uspehi matematicheskih nauk, 5(215) (1980), 181–212, (in Russian).]Сыскин С. А., “Абстрактные свойства простых спорадических групп”, Успехи математических наук, 5(215) (1980), 181–212; [Syskin S. A., “Abstraktnye svojstva prostyh sporadicheskih grupp”, Uspehi matematicheskih nauk, 5(215) (1980), 181–212, (in Russian).]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.