maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-2-304-321mais-248Research ArticleОригинальные статьиArticlesУравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова с запаздываниемFisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piscounov Equation with DelayАлешинСергей ВладимировичAleshinS. V.

ассистент, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14;

старший лаборант-исследователь,  142432 Россия, Московская область, г. Черноголовка, ул. Лесная, д. 9

ассистент, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia;

старший лаборант-исследователь, Lesnaya str., 9, Chernogolovka, Moscow region, 142432, Russia

fktiby@yandex.ruГлызинСергей ДмитриевичGlyzinS. D.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14;

ведущий научный сотрудник,  142432 Россия, Московская область, г. Черноголовка, ул. Лесная, д. 9

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia;

ведущий научный сотрудник, Lesnaya str., 9, Chernogolovka, Moscow region, 142432, Russia

glyzin@uniyar.ac.ruКащенкоСергей АлександровичKaschenkoS. A.

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14;

115409, Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia;

Kashirskoye shosse 31, Moscow, 115409, Russia

kasch@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова; ОПСИ НЦЧ РАН;РоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University; Scientific Center in Chernogolovka RASRussian FederationЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова; Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»РоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University; National Research Nuclear University MEPhIRussian Federation201520042015222304321Copyright © Алешин С.В., Глызин С.Д., Кащенко С.А., 20152015Алешин С.В., Глызин С.Д., Кащенко С.А.Aleshin S.V., Glyzin S.D., Kaschenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/248

Рассматривается задача распространения волны плотности в логистическом уравнении с запаздыванием и диффузией (уравнение Фишера–Колмогорова–Петровского–Пискунова с запаздыванием). Для исследования качественного поведения решений этого уравнения вблизи единичного состояния равновесия было построено уравнение Гинзбурга–Ландау. Численный анализ процесса распространения волны показал, что при достаточно малых значениях запаздывания данное уравнение имеет решения, близкие к решениям стандартного уравнения КПП. Увеличение параметра запаздывания приводит сначала к появлению затухающей колебательной составляющей в пространственном распределении решения. Дальнейший рост данного параметра приводит к разрушению бегущей волны. Это выражается в том, что в окрестности участка начального возмущения сохраняются незатухающие по времени и медленно распространяющиеся по пространству колебания, близкие к решениям соответствующей краевой задачи с периодическими граничными условиями. Наконец, если значение запаздывания достаточно велико, то во всей области распространения волны наблюдаются интенсивные пространственно-временные колебания.

We considered the problem of density wave propagation in a logistic equation with delay and diffusion (Fisher–Kolmogorov equation with delay). It was constructed a Ginzburg–Landau equation in order to study the qualitative behavior of the solution near the equilibrium state. The numerical analysis of wave propagation shows that for a sufficiently small delay this equation has a solution similar to the solution of a classical Fisher–Kolmogorov equation. The delay increasing leads to existence of the oscillatory component in spatial distribution of solutions. A further increase of delay leads to the destruction of the traveling wave. That is expressed in the fact that undamped spatio-temporal fluctuations exist in a neighborhood of the initial perturbation. These fluctuations are close to the solution of the corresponding boundary value problem with periodic boundary conditions. Finally, when the delay is sufficiently large we observe intensive spatio-temporal fluctuations in the whole area of wave propagation.

аттракторбифуркацияуравнение Фишера–Колмогорова–Петровского–Пискуновауравнение Гинзбурга–ЛандауattractorbifurcationFisher–Kolmogorov equationGinzburg–Landau equationРоссийский научный фондReferencesКолмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С., "Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме”, Бюллетень МГУ. Сер. А. Математика и Механика, 1:6 (1937), 1–26; French transl.: Kolmogorov A., Petrovsky I., Piscounov N., “Etude de l’´equation ´ de la diffusion avec croissance de la quantit´e de mati`ere et son application `a un probl`eme biologique”, Moscou Univ. Bull. Math., 1 (1937), 1–25.Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С., "Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме”, Бюллетень МГУ. Сер. А. Математика и Механика, 1:6 (1937), 1–26; French transl.: Kolmogorov A., Petrovsky I., Piscounov N., “Etude de l’´equation ´ de la diffusion avec croissance de la quantit´e de mati`ere et son application `a un probl`eme biologique”, Moscou Univ. Bull. Math., 1 (1937), 1–25.Fisher R. A., “The Wave of Advance of Advantageous Genes”, Annals of Eugenics, 7 (1937), 355–369.Fisher R. A., “The Wave of Advance of Advantageous Genes”, Annals of Eugenics, 7 (1937), 355–369.Murray J. D., Mathematical Biology. I. An Introduction, Third Edition, Berlin, 2001.Murray J. D., Mathematical Biology. I. An Introduction, Third Edition, Berlin, 2001.Danilov V. G., Maslov V. P., Volosov K. A., Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes, Dordrecht, Kluwer, 1995.Danilov V. G., Maslov V. P., Volosov K. A., Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes, Dordrecht, Kluwer, 1995.Volpert A., Volpert V., Volpert V., “Traveling Wave Solutions of Parabolic Systems”, American Mathematical Society, 2000.Volpert A., Volpert V., Volpert V., “Traveling Wave Solutions of Parabolic Systems”, American Mathematical Society, 2000.Ablowitz M. J., Zeppetella A., “Explicit solutions of Fisher’s equation for a special wave speed”, Bull. Math. Biology, 41 (1979), 835–840.Ablowitz M. J., Zeppetella A., “Explicit solutions of Fisher’s equation for a special wave speed”, Bull. Math. Biology, 41 (1979), 835–840.Кудряшов Н. А., “О точных решениях уравнений семейства Фишера”, Теоретическая и математическая физика, 94:2 (1993), 296–306; English transl.: Kudryashov N. A., “On exact solutions of families of Fisher equations”, Theoretical and Mathematical Physics, 94:2 (1993), 211–218.Кудряшов Н. А., “О точных решениях уравнений семейства Фишера”, Теоретическая и математическая физика, 94:2 (1993), 296–306; English transl.: Kudryashov N. A., “On exact solutions of families of Fisher equations”, Theoretical and Mathematical Physics, 94:2 (1993), 211–218.Kakutani S., Markus L., “On the non-linear difference-differential equation y 0 (t) = (a − by(t−τ ))y(t) contributions to the theory of non-linear oscillations”, Ann. Math. Stud., IV (1958), 1–18.Kakutani S., Markus L., “On the non-linear difference-differential equation y 0 (t) = (a − by(t−τ ))y(t) contributions to the theory of non-linear oscillations”, Ann. Math. Stud., IV (1958), 1–18.Yang Kuang, Delay Differential Equations. With Applications in Population Dynamics, Academic Press, 1993.Yang Kuang, Delay Differential Equations. With Applications in Population Dynamics, Academic Press, 1993.Wright E. M., “A non-linear differential equation”, J. Reine Angew. Math., 194:1–4 (1955), 66–87.Wright E. M., “A non-linear differential equation”, J. Reine Angew. Math., 194:1–4 (1955), 66–87.Кащенко С. А., “Асимптотика периодического решения обобщенного уравнения Хатчинсона”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, ЯрГУ, Ярославль, 1981, 64–85; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of periodical solution of Hutchinson generalized equation”, Issledovaniya po ustoichivosti i teorii kolebanii (Studies of Stability and Theory of Oscillations), YarGU, Yaroslavl, 1981, 64–85, (in Russian).]Кащенко С. А., “Асимптотика периодического решения обобщенного уравнения Хатчинсона”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, ЯрГУ, Ярославль, 1981, 64–85; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of periodical solution of Hutchinson generalized equation”, Issledovaniya po ustoichivosti i teorii kolebanii (Studies of Stability and Theory of Oscillations), YarGU, Yaroslavl, 1981, 64–85, (in Russian).]Jones G. S., “The existence of periodic solutions of f(x) = −αf(x−1)[1+f(x)]”, T. Math. Anal. and Appl., 5 (1962), 435–450.Jones G. S., “The existence of periodic solutions of f(x) = −αf(x−1)[1+f(x)]”, T. Math. Anal. and Appl., 5 (1962), 435–450.Кащенко С. А., “К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона”, Нелинейные колебания в задачах экологии, ЯрГУ, Ярославль, 1985, 55–62; [Kashchenko S. A., “K voprosu ob otsenke v prostranstve parametrov oblasti global’noy ustoychivosti uravneniya Hutchinsona”, Nelineynyye kolebaniya v zadachakh ekologii, YarGU, Yaroslavl, 1985, 55–62, (in Russian).]Кащенко С. А., “К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона”, Нелинейные колебания в задачах экологии, ЯрГУ, Ярославль, 1985, 55–62; [Kashchenko S. A., “K voprosu ob otsenke v prostranstve parametrov oblasti global’noy ustoychivosti uravneniya Hutchinsona”, Nelineynyye kolebaniya v zadachakh ekologii, YarGU, Yaroslavl, 1985, 55–62, (in Russian).]Колесов А.Ю., “Об устойчивости пространственно однородного цикла в уравнении Хатчинсона с диффузией”, Математические модели в биологии и медицине, 1, Ин-т математики АН Лит. ССР, Вильнюс, 1985, 93–103 [Kolesov A. Yu., "Ob ustojchivosti prostranstvenno odnorodnogo cikla v uravnenii Hatchinsona s diffuziej", Matematicheskie modeli v biologii i medicine, 1. Vilnus: In-t. math. AN Lit. SSR, 1985. P. 93–103 (in Russian)].Колесов А.Ю., “Об устойчивости пространственно однородного цикла в уравнении Хатчинсона с диффузией”, Математические модели в биологии и медицине, 1, Ин-т математики АН Лит. ССР, Вильнюс, 1985, 93–103 [Kolesov A. Yu., "Ob ustojchivosti prostranstvenno odnorodnogo cikla v uravnenii Hatchinsona s diffuziej", Matematicheskie modeli v biologii i medicine, 1. Vilnus: In-t. math. AN Lit. SSR, 1985. P. 93–103 (in Russian)].Кащенко С. А., “Об установившихся режимах уравнения Хатчинсона с диффузией”, ДАН СССР, 292:2 (1987), 327–330; [Kashchenko S. A., “Ob ustanovivshihsja rezhimah uravnenija Hatchinsona s diffuziej”, DAN SSSR, 292:2 (1987), 327–330, (in Russian).]Кащенко С. А., “Об установившихся режимах уравнения Хатчинсона с диффузией”, ДАН СССР, 292:2 (1987), 327–330; [Kashchenko S. A., “Ob ustanovivshihsja rezhimah uravnenija Hatchinsona s diffuziej”, DAN SSSR, 292:2 (1987), 327–330, (in Russian).]Кащенко С. А., “Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией”, Математическое моделирование, 2:9 (1990), 49–69; English transl.: Kashchenko S. A., “Spatial heterogeneous structures in the simplest models with delay and diffusion”, Matem. mod., 2:9 (1990), 49–69.Кащенко С. А., “Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией”, Математическое моделирование, 2:9 (1990), 49–69; English transl.: Kashchenko S. A., “Spatial heterogeneous structures in the simplest models with delay and diffusion”, Matem. mod., 2:9 (1990), 49–69.Kashchenko S. A., “Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation”, Automatic Control and Computer Science, 47:7 (2013), 470–494.Kashchenko S. A., “Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation”, Automatic Control and Computer Science, 47:7 (2013), 470–494.Глызин С. Д., “Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке”, Моделирование и анализ информационных систем, 16:3 (2009), 96–116; [Glyzin S. D., “Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment”, Modeling and Analysis of Information Systems, 16:3 (2009), 96–116, (in Russian).]Глызин С. Д., “Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке”, Моделирование и анализ информационных систем, 16:3 (2009), 96–116; [Glyzin S. D., “Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment”, Modeling and Analysis of Information Systems, 16:3 (2009), 96–116, (in Russian).]Wu J., Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1996.Wu J., Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1996.Кащенко А. А., “Устойчивость бегущих волн в уравнении Гинзбурга–Ландау с малой диффузией”, Моделирование и анализ информационных систем, 18:3 (2011), 58–62; [Kashchenko A. A., “Analysis of Running Waves Stability in the Ginzburg–Landau Equation with Small Diffusion”, Modeling and Analysis of Information Systems, 18:3 (2011), 58–62, (in Russian).]Кащенко А. А., “Устойчивость бегущих волн в уравнении Гинзбурга–Ландау с малой диффузией”, Моделирование и анализ информационных систем, 18:3 (2011), 58–62; [Kashchenko A. A., “Analysis of Running Waves Stability in the Ginzburg–Landau Equation with Small Diffusion”, Modeling and Analysis of Information Systems, 18:3 (2011), 58–62, (in Russian).]Glyzin S. D., “Dimensional Characteristics of Diffusion Chaos”, Automatic Control and Computer Sciences, 47:7 (2013), 452–469.Glyzin S. D., “Dimensional Characteristics of Diffusion Chaos”, Automatic Control and Computer Sciences, 47:7 (2013), 452–469.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Конечномерные модели диффузионного хаоса”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 50:5 (2010), 860–875; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Finite-dimensional models of diffusion chaos”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 50:5 (2010), 816–830.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Конечномерные модели диффузионного хаоса”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 50:5 (2010), 860–875; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Finite-dimensional models of diffusion chaos”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 50:5 (2010), 816–830.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.