maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-3-372-391mais-257Research ArticleОригинальные статьиArticlesКОРПОРАТИВНАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ ЛОГИСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И С БОЛЬШИМ ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ УПРАВЛЕНИЕМCORPORATE DYNAMICS OF SYSTEMS OF LOGISTIC DELAY EQUATIONS WITH LARGE DELAY CONTROLБыковаН. Д.BykovaN. D.

Быкова Надежда Дмитриевна, Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», аспирант, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ассистент 

n.bykova90@gmail.comКащенкоС. А.KaschenkoS. A.

Кащенко Сергей Александрович, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», доктор физико-математических наук, зав. кафедрой математического моделирования

kasch@uniyar.ac.ruНациональный исследовательский ядерный университет «МИФИ», г. Москва; Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова , г. ЯрославльРоссияNational Research Nuclear University MEPhI, Moscow; P.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201520062015223372391Copyright © Быкова Н.Д., Кащенко С.А., 20152015Быкова Н.Д., Кащенко С.А.Bykova N.D., Kaschenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/257

Рассматривается система двух логистических уравнений с запаздыванием, связанных через запаздывающее управление. Показано, что при достаточно большом коэффициенте запаздывающего управления задача о динамике исходных систем сводится к исследованию нелокальной динамики специальных семейств уравнений с частными производными, не содержащих малые и большие параметры. На основе представленных результатов численного исследования таких уравнений обнаружен ряд новых и интересных динамических явлений. Рассмотрены системы из трех логистических уравнений с запаздыванием с двумя типами «диффузионных» связей. Для каждой из этих систем были так же построены специальные семейства уравнений с частными производными, не содержащие малых и больших параметров. Приведены результаты исследования динамических свойств исходных уравнений. Показано, что различие в динамике рассмотренных систем трех уравнений может носить принципиальных характер

A system of two logistic equations with delay coupled by delayed control is considered. It is shown that in the case of a sufficiently large delay control coefficient the problem of the dynamics of the initial systems is reduced to studying the non-local dynamics of special families of partial differential equations that do not contain small and large parameters. New interesting dynamic phenomena were discovered on the basis of the results of numerical analysis. Systems of three logistic delay equations with two types of ”diffusion” relation were considered. Special families of partial differential equations that do not contain small and large parameters were also constructed for each of these systems. The results of the study of the original equations dynamic properties are presented. It is shown that the difference in the dynamics of the considered systems of three equations may be of a fundamental nature.

большое управлениеквазинормальная формазапаздываниеlarge controlquasinormal formdelayЯрГУYaroslavl State UniversityReferencesKashchenko S. A., “Dynamics of the Logistic Equation with Delay and Delay Control”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 24:8 (2014), 1440017.Kashchenko S. A., “Dynamics of the Logistic Equation with Delay and Delay Control”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 24:8 (2014), 1440017.Хейл Дж., Теория функционально-дифференциальных уравнений, Мир, М., 1984; Hale J. K., Theory of functional differential equations, Springer-Verlag, New York, 1977.Хейл Дж., Теория функционально-дифференциальных уравнений, Мир, М., 1984; Hale J. K., Theory of functional differential equations, Springer-Verlag, New York, 1977.Diekmann O., van Gils S. A., Verduyn Lunel S. M., Walther H.-O., Delay Equations: Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, New York, 1995.Diekmann O., van Gils S. A., Verduyn Lunel S. M., Walther H.-O., Delay Equations: Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, New York, 1995.Wu J., Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, SpringerVerlag, 1996.Wu J., Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, SpringerVerlag, 1996.Haken H., Brain Dinamics; Synchronization and Activity Patterns in Pulse-Coupled Neural Nets with Delays and Noise, Springer, 2002.Haken H., Brain Dinamics; Synchronization and Activity Patterns in Pulse-Coupled Neural Nets with Delays and Noise, Springer, 2002.May R. M., Stability and Complexity in Model Ecosystems, 2nd ed., Princeton University Press, Princeton, 1974.May R. M., Stability and Complexity in Model Ecosystems, 2nd ed., Princeton University Press, Princeton, 1974.Kuramoto Y., Chemical Oscillations, Waves and Turbulence, Springer, 1984.Kuramoto Y., Chemical Oscillations, Waves and Turbulence, Springer, 1984.Kuang Y., Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, Academic Press, New York, 1993.Kuang Y., Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, Academic Press, New York, 1993.Huang W., “Global dynamics for a reaction-diffusion equation with time delay”, J. Differential Equations, 143 (1998), 293–326.Huang W., “Global dynamics for a reaction-diffusion equation with time delay”, J. Differential Equations, 143 (1998), 293–326.Pyragas K., “Continious control of chaos by self-controlling feedback”, Phys. Lett. A, 170 (1992), 42.Pyragas K., “Continious control of chaos by self-controlling feedback”, Phys. Lett. A, 170 (1992), 42.Nakajima H., Ueda Y., “Limitation of generalized delayed feedback control of chaos”, Physica D, 111 (1998), 143.Nakajima H., Ueda Y., “Limitation of generalized delayed feedback control of chaos”, Physica D, 111 (1998), 143.Hovel P., Scholl E., “Control of unstable steady states by time-delayed feedback methods”, Physical Review E, 75 (2005), 046203.Hovel P., Scholl E., “Control of unstable steady states by time-delayed feedback methods”, Physical Review E, 75 (2005), 046203.Fiedler B., Flunkert V., Georgi M., Hovel P., Scholl E., “Refuting the odd number limitation of time-delayed feedback control”, Phys. Rev. Lett., 98 (2007), 114101.Fiedler B., Flunkert V., Georgi M., Hovel P., Scholl E., “Refuting the odd number limitation of time-delayed feedback control”, Phys. Rev. Lett., 98 (2007), 114101.Кащенко С. А., “Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, ЯрГУ, Ярославль, 1981, 64–85; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of periodical solution of Hutchinson generalized equation”, Issledovaniya po ustoichivosti i teorii kolebanii (Studies of Stability and Theory of Oscillations, YarGU, Yaroslavl, 1981, 64–85, (in Russian).]Кащенко С. А., “Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, ЯрГУ, Ярославль, 1981, 64–85; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of periodical solution of Hutchinson generalized equation”, Issledovaniya po ustoichivosti i teorii kolebanii (Studies of Stability and Theory of Oscillations, YarGU, Yaroslavl, 1981, 64–85, (in Russian).]Wright E. M., “A non-linear differential equation”, J. Reine Angew. Math., 194:1–4 (1955), 66–87.Wright E. M., “A non-linear differential equation”, J. Reine Angew. Math., 194:1–4 (1955), 66–87.Kakutani S., Markus L., “On the non-linear difference-differential equation y 0 (t) = (a − by(t − τ )) y(t) contributions to the theory of non-linear oscillations”, Ann. Math. Stud., IV (1958), 1–18.Kakutani S., Markus L., “On the non-linear difference-differential equation y 0 (t) = (a − by(t − τ )) y(t) contributions to the theory of non-linear oscillations”, Ann. Math. Stud., IV (1958), 1–18.Jones G. S., “The existence of periodic solutions of f 0 (x) = −αf(x − 1)[1 + f(x)]”, T. Math. Anal. and Appl., 5 (1962), 435–450.Jones G. S., “The existence of periodic solutions of f 0 (x) = −αf(x − 1)[1 + f(x)]”, T. Math. Anal. and Appl., 5 (1962), 435–450.Кащенко С. А., “Асимптотика решений обобщенного уравнения Хатчинсона”, Моделирование и анализ информационных систем, 19:3 (2012), 32–62; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Solutions of the Generalized Hutchinson’s Equation”, Model. and Anal. Inform. Sist., 19:3 (2012), 32–62, (in Russian).]Кащенко С. А., “Асимптотика решений обобщенного уравнения Хатчинсона”, Моделирование и анализ информационных систем, 19:3 (2012), 32–62; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of Solutions of the Generalized Hutchinson’s Equation”, Model. and Anal. Inform. Sist., 19:3 (2012), 32–62, (in Russian).]Григорьева Е. В., Кащенко С. А., Релаксационные колебания в лазерах, УРСС, М., 2013; [Grigorieva E. V., Kashchenko S. A., Relaxation oscillations in lasers, URSS, Moscow, 2013, (in Russian).]Григорьева Е. В., Кащенко С. А., Релаксационные колебания в лазерах, УРСС, М., 2013; [Grigorieva E. V., Kashchenko S. A., Relaxation oscillations in lasers, URSS, Moscow, 2013, (in Russian).]Кащенко С. А., “Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу ”хищник-жертва“”, Моделирование и анализ информационных систем, 20:1 (2013), 52–98; [Kashchenko S. A., “Relaxation Oscillations in a System with Delays Modeling the Predator-Prey Problem”, Model. and Anal. Inform. Sist., 20:1 (2013), 52–98, (in Russian).]Кащенко С. А., “Релаксационные колебания в системе с запаздываниями, моделирующей задачу ”хищник-жертва“”, Моделирование и анализ информационных систем, 20:1 (2013), 52–98; [Kashchenko S. A., “Relaxation Oscillations in a System with Delays Modeling the Predator-Prey Problem”, Model. and Anal. Inform. Sist., 20:1 (2013), 52–98, (in Russian).]Кащенко С. А., “Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу хищник-жертва”, ДАН СССР, 266:4 (1982), 792–795; English transl.: Kashchenko S. A., “Study by large parameter method of system of nonlinear differential-difference equations modeling ‘predator-sacrifice’ problem”, Dokl. Akad. Nauk USSR, 266 (1982), 792–795.Кащенко С. А., “Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу хищник-жертва”, ДАН СССР, 266:4 (1982), 792–795; English transl.: Kashchenko S. A., “Study by large parameter method of system of nonlinear differential-difference equations modeling ‘predator-sacrifice’ problem”, Dokl. Akad. Nauk USSR, 266 (1982), 792–795.Кащенко С. А., “Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых”, Моделирование и анализ информационных систем, 19:5 (2012), 18–34; [Kashchenko S. A., “Stationary States of a Delay Differentional Equation of Insect Population’s Dynamics”, Model. and Anal. Inform. Sist., 19:5 (2012), 18–34, (in Russian).]Кащенко С. А., “Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых”, Моделирование и анализ информационных систем, 19:5 (2012), 18–34; [Kashchenko S. A., “Stationary States of a Delay Differentional Equation of Insect Population’s Dynamics”, Model. and Anal. Inform. Sist., 19:5 (2012), 18–34, (in Russian).]Кащенко С. А., “Стационарные режимы уравнения, описывающего численности насекомых”, Докл. АН СССР, 273:2 (1983), 328–330; [Kashchenko S. A., “Stationary regimes of equation describing numbers of insects”, Reports Academy of Sciences of the USSR, 273 (1983), 328–330, (in Russian).]Кащенко С. А., “Стационарные режимы уравнения, описывающего численности насекомых”, Докл. АН СССР, 273:2 (1983), 328–330; [Kashchenko S. A., “Stationary regimes of equation describing numbers of insects”, Reports Academy of Sciences of the USSR, 273 (1983), 328–330, (in Russian).]Эдварс Р., Функциональный анализ. Теория и приложения, Мир, М., 1969; Edwards R. E., Functional Analysis: Theory and Applications, Dover Pub, New York, 1965.Эдварс Р., Функциональный анализ. Теория и приложения, Мир, М., 1969; Edwards R. E., Functional Analysis: Theory and Applications, Dover Pub, New York, 1965.Кащенко С. А., “Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием”, Журнал вычисл. матем. и матем. физ., 40:4 (2000), 693–702; [Kashchenko S. A., “Bifurcations in the neighborhood of a cycle under small perturbations with a large delay”, Zh. vychisl. mat. i mat. fiz., 40:5 (2000), 693–702, (in Russian).]Кащенко С. А., “Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием”, Журнал вычисл. матем. и матем. физ., 40:4 (2000), 693–702; [Kashchenko S. A., “Bifurcations in the neighborhood of a cycle under small perturbations with a large delay”, Zh. vychisl. mat. i mat. fiz., 40:5 (2000), 693–702, (in Russian).]Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее приложения, Мир, М., 1980; Marsden J., McCracken M., The Hopf Bifurcation and Its Applications, SpringerVerlag, New York, 1976.Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее приложения, Мир, М., 1980; Marsden J., McCracken M., The Hopf Bifurcation and Its Applications, SpringerVerlag, New York, 1976.Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1970; Hartman P., Ordinary Differential Equations, Wiley, 1964.Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1970; Hartman P., Ordinary Differential Equations, Wiley, 1964.Кащенко С. А., “Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной”, Дифференциальные уравнения, 25:8 (1989), 1448–1451; [Kashchenko S. A., “Application of method of normalization for studying of differential-difference equations with small multiplier for derivative”, Differential Equations, 25:8 (1989), 1448–1451, (in Russian).]Кащенко С. А., “Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной”, Дифференциальные уравнения, 25:8 (1989), 1448–1451; [Kashchenko S. A., “Application of method of normalization for studying of differential-difference equations with small multiplier for derivative”, Differential Equations, 25:8 (1989), 1448–1451, (in Russian).]Kaschenko S. A., “Normalization in the systems with small diffusion”, International Journal of Bifurcations and chaos, 6:7 (1996), 1093–1109.Kaschenko S. A., “Normalization in the systems with small diffusion”, International Journal of Bifurcations and chaos, 6:7 (1996), 1093–1109.Кащенко С. А., “О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией”, ДАН СССР, 299:5 (1988), 1049–1053; [Kashchenko S. A., “On the quasinormal forms for parabolic equations with small diffusion”, Reports Academy of Sciences of the USSR, 299 (1988), 1049–1053, (in Russian).]Кащенко С. А., “О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией”, ДАН СССР, 299:5 (1988), 1049–1053; [Kashchenko S. A., “On the quasinormal forms for parabolic equations with small diffusion”, Reports Academy of Sciences of the USSR, 299 (1988), 1049–1053, (in Russian).]Кащенко С. А., “Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием”, Дифф. уравнения, 35:10 (1999), 1343–1355; [Kashchenko S. A., “Local Dynamics of non-linear singular perturbation systems with delay”, Diff. Equations, 35:10 (1999), 1343–1355, (in Russian).]Кащенко С. А., “Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием”, Дифф. уравнения, 35:10 (1999), 1343–1355; [Kashchenko S. A., “Local Dynamics of non-linear singular perturbation systems with delay”, Diff. Equations, 35:10 (1999), 1343–1355, (in Russian).]Кащенко С. А., “Уравнения Гинзбурга–Ландау – нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием”, Журнал выч. мат. и мат. физ., 38:3 (1998), 457–465; [Kashchenko S. A., “The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order differencedifferential equation with a large delay”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 38:3 (1998), 457–465, (in Russian).]Кащенко С. А., “Уравнения Гинзбурга–Ландау – нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием”, Журнал выч. мат. и мат. физ., 38:3 (1998), 457–465; [Kashchenko S. A., “The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order differencedifferential equation with a large delay”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 38:3 (1998), 457–465, (in Russian).]Кащенко И. С., “Динамика уравнения с большим коэффициентом запаздывающего управления”, Доклады Академии наук, 437:6 (2011), 743–747; English transl.: Kashchenko I. S., “Dynamics of an Equation with a Large Coefficient of Delay Control”, Doklady Mathematics, 83:2 (2011), 258–261.Кащенко И. С., “Динамика уравнения с большим коэффициентом запаздывающего управления”, Доклады Академии наук, 437:6 (2011), 743–747; English transl.: Kashchenko I. S., “Dynamics of an Equation with a Large Coefficient of Delay Control”, Doklady Mathematics, 83:2 (2011), 258–261.Кащенко И. С., “Асимптотическое исследование корпоративной динамики систем уравнений, связанных через запаздывающее управление”, Доклады Академии наук, 443:1 (2012), 9–13; English transl.: Kashchenko I. S., “Asymptotic Study of the Corporate Dynamics of Systems of Equations Coupled by Delay Control”, Doklady Mathematics, 85:2 (2012), 163–166.Кащенко И. С., “Асимптотическое исследование корпоративной динамики систем уравнений, связанных через запаздывающее управление”, Доклады Академии наук, 443:1 (2012), 9–13; English transl.: Kashchenko I. S., “Asymptotic Study of the Corporate Dynamics of Systems of Equations Coupled by Delay Control”, Doklady Mathematics, 85:2 (2012), 163–166.Кащенко С. А., “Динамика логистического уравнения с запаздыванием и запаздывающим управлением”, Моделирование и анализ информационных систем, 21:5 (2014), 61–77; [Kashchenko S. A., “Dinamika logisticheskogo uravneniya s zapazdyvaniem i zapazdyvayushchim upravleniem”, Modelirovanie i analiz informatsionnykh sistem, 21:5 (2014), 61–77, (in Russian).]Кащенко С. А., “Динамика логистического уравнения с запаздыванием и запаздывающим управлением”, Моделирование и анализ информационных систем, 21:5 (2014), 61–77; [Kashchenko S. A., “Dinamika logisticheskogo uravneniya s zapazdyvaniem i zapazdyvayushchim upravleniem”, Modelirovanie i analiz informatsionnykh sistem, 21:5 (2014), 61–77, (in Russian).]Кащенко С. А., “Динамика нелинейного уравнения второго порядка с большим коэффициентом запаздывающего управления”, Доклады Академии наук, 457:6 (2014), 635– 638; [Kashchenko S. A., “Dinamika nelineynogo uravneniya vtorogo poryadka s bol’shim koeffitsientom zapazdyvayushchego upravleniya”, Doklady Akademii nauk, 457:6 (2014), 635–638, (in Russian).]Кащенко С. А., “Динамика нелинейного уравнения второго порядка с большим коэффициентом запаздывающего управления”, Доклады Академии наук, 457:6 (2014), 635– 638; [Kashchenko S. A., “Dinamika nelineynogo uravneniya vtorogo poryadka s bol’shim koeffitsientom zapazdyvayushchego upravleniya”, Doklady Akademii nauk, 457:6 (2014), 635–638, (in Russian).]Kashchenko S. A., “Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation”, Automatic Control and Computer Science, 47:7 (2013), 470–494.Kashchenko S. A., “Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation”, Automatic Control and Computer Science, 47:7 (2013), 470–494.Кащенко И. С., “Локальная динамика уравнения с распределенным запаздыванием”, Дифференциальные уравнения, 50:1 (2014), 17–26; [Kashchenko I. S., “Lokal’naya dinamika uravneniya s raspredelennym zapazdyvaniem”, Differentsial’nye uravneniya, 50:1 (2014), 17–26, (in Russian).]Кащенко И. С., “Локальная динамика уравнения с распределенным запаздыванием”, Дифференциальные уравнения, 50:1 (2014), 17–26; [Kashchenko I. S., “Lokal’naya dinamika uravneniya s raspredelennym zapazdyvaniem”, Differentsial’nye uravneniya, 50:1 (2014), 17–26, (in Russian).]Kashchenko I., “Normalization of a system with two large delays”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 24:8 (2014), 1440021.Kashchenko I., “Normalization of a system with two large delays”, International Journal of Bifurcation and Chaos, 24:8 (2014), 1440021.Кащенко И. С., Кащенко С. А., “Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием и распределенным отклонением пространственной переменной”, Сибирский математический журнал, 55:2 (2014), 315–323; [Kashchenko I. S., Kashchenko S. A., “Lokal’naya dinamika uravneniya s bol’shim zapazdyvaniem i raspredelennym otkloneniem prostranstvennoy peremennoy”, Sibirskiy matematicheskiy zhurnal, 55:2 (2014), 315–323, (in Russian).]Кащенко И. С., Кащенко С. А., “Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием и распределенным отклонением пространственной переменной”, Сибирский математический журнал, 55:2 (2014), 315–323; [Kashchenko I. S., Kashchenko S. A., “Lokal’naya dinamika uravneniya s bol’shim zapazdyvaniem i raspredelennym otkloneniem prostranstvennoy peremennoy”, Sibirskiy matematicheskiy zhurnal, 55:2 (2014), 315–323, (in Russian).]Кащенко И. С., “Асимптотический анализ поведения решений уравнения с большим запаздыванием”, Доклады Академии Наук, 421:5 (2008), 586–589; English transl.: Kashchenko I. S., “Asymptotic analysis of the behavior of solutions to equations with large delay”, Doklady Mathematics, 78:1 (2008), 570–573.Кащенко И. С., “Асимптотический анализ поведения решений уравнения с большим запаздыванием”, Доклады Академии Наук, 421:5 (2008), 586–589; English transl.: Kashchenko I. S., “Asymptotic analysis of the behavior of solutions to equations with large delay”, Doklady Mathematics, 78:1 (2008), 570–573.Кащенко И. С., Кащенко С. А., “Динамика уравнения с большим пространственнораспределенным управлением”, Доклады Академии Наук, 438:1 (2011), 30–34; [Kashchenko I. S., Kashchenko S. A., “Dinamika uravneniya s bol’shim prostranstvennoraspredelennym upravleniem”, Doklady Akademii Nauk, 438:1 (2011), 30–34, (in Russian).]Кащенко И. С., Кащенко С. А., “Динамика уравнения с большим пространственнораспределенным управлением”, Доклады Академии Наук, 438:1 (2011), 30–34; [Kashchenko I. S., Kashchenko S. A., “Dinamika uravneniya s bol’shim prostranstvennoraspredelennym upravleniem”, Doklady Akademii Nauk, 438:1 (2011), 30–34, (in Russian).]Кащенко С. А., “Локальная динамика пространственно-распределенного логистического уравнения с запаздыванием и большим коэффициентом переноса”, Дифференциальные уравнения, 50:1 (2014), 73; [Kashchenko S. A., “Lokal’naya dinamika prostranstvenno-raspredelennogo logisticheskogo uravneniya s zapazdyvaniem i bol’shim koeffitsientom perenosa”, Differentsial’nye uravneniya, 50:1 (2014), 73, (in Russian).]Кащенко С. А., “Локальная динамика пространственно-распределенного логистического уравнения с запаздыванием и большим коэффициентом переноса”, Дифференциальные уравнения, 50:1 (2014), 73; [Kashchenko S. A., “Lokal’naya dinamika prostranstvenno-raspredelennogo logisticheskogo uravneniya s zapazdyvaniem i bol’shim koeffitsientom perenosa”, Differentsial’nye uravneniya, 50:1 (2014), 73, (in Russian).]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.