maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-3-404-419mais-259Research ArticleОригинальные статьиArticlesАВТОВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В КОЛЬЦЕВОЙ НЕЙРОННОЙ ЦЕПИ С ОДНОНАПРАВЛЕННОЙ СВЯЗЬЮSELF-EXCITED WAVE PROCESSES IN CHAINS OF UNIDIRECTIONALLY COUPLED IMPULSE NEURONSГлызинС. Д.GlyzinS. D.

Глызин Сергей Дмитриевич,  доктор физико-математических наук, зав. кафедрой компьютерных сетей; Отдел прикладных сетевых исследований НЦЧ РАН, ведущий научный сотрудник

glyzin@uniyar.ac.ruКолесовА. Ю.KolesovA. Yu.

Колесов Андрей Юрьевич,  доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений 

kolesov@uniyar.ac.ruРозовН. Х.RozovN. Kh.

Розов Николай Христович, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАЕН, декан факультета педагогического образования 

fpo.mgu@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State University; Scientific Center in Chernogolovka RASRussian FederationЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияM.V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian Federation201520062015223404419Copyright © Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х., 20152015Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х.Glyzin S.D., Kolesov A.Y., Rozov N.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/259

Статья посвящена проблеме математического моделирования нейронной активности. Предлагаются новые классы сингулярно возмущенных дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием вольтерровского типа, с помощью которых описывается функционирование как отдельного нейрона, так и нейронных сетей. Проводится исследование аттракторов кольцевой системы однонаправленно связанных импульсных нейронов при неограниченном увеличении числа звеньев цепочки. Для изучения ее периодических решений автоволнового типа используются некоторые специальные приемы, сводящие проблемы существования и устойчивости циклов к анализу вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. На этом пути устанавливается, что при увеличении числа звеньев цепочки количество сосуществующих в ней устойчивых автоволновых решений неограниченно растет, т.е. имеет место известное явление буферности.

The article is devoted to the mathematical modeling of neural activity. We propose new classes of singularly perturbed differential-difference equations with delay of Volterra type. With these systems, the models as a single neuron or neural networks are described. We study attractors of ring systems of unidirectionally coupled impulse neurons in the case where the number of links in the system increases indefinitely. In order to study periodic solutions of travelling wave type of this system, some special tricks are used which reduce the existence and stability problems for cycles to the investigation of auxiliary system with impulse actions. Using this approach, we establish that the number of stable self-excited waves simultaneously existing in the chain increases unboundedly as the number of links of the chain increases, that is, the well-known buffer phenomenon occurs.

импульсный нейронкольцо однонаправленно связанных осцилляторовбегущие волныасимптотическое поведениеустойчивостьфеномен буферностиimpulse neuronschain of unidirectionally coupled oscillatorstravelling waveasymptotic behaviourstabilitybuffer phenomenonReferencesМищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С., “Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным”, Докл. АН СССР, 102:5 (1955), 889–891; [Mishchenko E. F., Pontryagin L. S., “Periodicheskiye resheniya sistem differentsial’nykh uravneniy, blizkiye k razryvnym”, Dokl. AN SSSR, 102:5 (1955), 889–891, (in Russian).]Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С., “Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным”, Докл. АН СССР, 102:5 (1955), 889–891; [Mishchenko E. F., Pontryagin L. S., “Periodicheskiye resheniya sistem differentsial’nykh uravneniy, blizkiye k razryvnym”, Dokl. AN SSSR, 102:5 (1955), 889–891, (in Russian).]Колесов А.Ю., Колесов Ю. С., “Релаксационные колебания в математических моделях экологии”, Тр. МИРАН, 199 (1993); English transl.: Kolesov A. Yu., Kolesov Yu. S., “Relaxational oscillations in mathematical models of ecology”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 199 (1995), 1–126.Колесов А.Ю., Колесов Ю. С., “Релаксационные колебания в математических моделях экологии”, Тр. МИРАН, 199 (1993); English transl.: Kolesov A. Yu., Kolesov Yu. S., “Relaxational oscillations in mathematical models of ecology”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 199 (1995), 1–126.Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., “Реле с запаздыванием и его C 1 аппроксимация”, Тр. Мат. ин-та РАН, 216 (1997), 126–153; English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh., “Relay with delay and its C 1 approximation”, Dynamical systems and related topics. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 216 (1997), 119–146.Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., “Реле с запаздыванием и его C 1 аппроксимация”, Тр. Мат. ин-та РАН, 216 (1997), 126–153; English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh., “Relay with delay and its C 1 approximation”, Dynamical systems and related topics. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 216 (1997), 119–146.Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Дискретные автоволны в системах с запаздыванием из экологии”, Доклады академии наук, 434:6 (2010), 735–738; English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Discrete autowaves in delay systems in ecology”, Doklady mathematics, 82:2 (2010), 794–797.Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Дискретные автоволны в системах с запаздыванием из экологии”, Доклады академии наук, 434:6 (2010), 735–738; English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Discrete autowaves in delay systems in ecology”, Doklady mathematics, 82:2 (2010), 794–797.Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., “Об одной модификации уравнения Хатчинсона”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 50:12 (2010), 2099–2112; English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh., “A modification of Hutchinson’s equation”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 50:12 (2010), 1990–2002.Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., “Об одной модификации уравнения Хатчинсона”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 50:12 (2010), 2099–2112; English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh., “A modification of Hutchinson’s equation”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 50:12 (2010), 1990–2002.Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Теория релаксационных колебаний для уравнения Хатчинсона”, Матем. сб., 202:6 (2011), 51–82; English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “The theory of relaxation oscillations for Hutchinson’s equation”, Sbornik: Mathematics, 202:6 (2011), 829–858.Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Теория релаксационных колебаний для уравнения Хатчинсона”, Матем. сб., 202:6 (2011), 51–82; English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “The theory of relaxation oscillations for Hutchinson’s equation”, Sbornik: Mathematics, 202:6 (2011), 829–858.Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Автоволновые процессы в цепочках диффузионно связанных уравнений с запаздыванием”, УМН, 67:2(404) (2012), 109–156; English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Self-excited wave processes in chains of diffusion-linked delay equations”, Russian Math. Surveys, 67:2 (2012), 297–343.Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Автоволновые процессы в цепочках диффузионно связанных уравнений с запаздыванием”, УМН, 67:2(404) (2012), 109–156; English transl.: Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Self-excited wave processes in chains of diffusion-linked delay equations”, Russian Math. Surveys, 67:2 (2012), 297–343.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I”, Дифференц. уравнения, 47:7 (2011), 919–932; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: I”, Differential Equations, 47:7 (2011), 927–941.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I”, Дифференц. уравнения, 47:7 (2011), 919–932; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: I”, Differential Equations, 47:7 (2011), 927–941.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II”, Дифференц. уравнения, 47:12 (2011), 1675–1692; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: II”, Differential Equations, 47:12 (2011), 1697–1713.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II”, Дифференц. уравнения, 47:12 (2011), 1675–1692; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: II”, Differential Equations, 47:12 (2011), 1697–1713.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III”, Дифференц. уравнения, 48:2 (2012), 155–170; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: III”, Differential Equations, 48:2 (2012), 159–175.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III”, Дифференц. уравнения, 48:2 (2012), 155–170; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: III”, Differential Equations, 48:2 (2012), 159–175.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Дискретные автоволны в нейронных системах”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 52:5 (2012), 840–858; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Discrete autowaves in neural systems”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2:5 (2012), 702–719.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Дискретные автоволны в нейронных системах”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 52:5 (2012), 840–858; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Discrete autowaves in neural systems”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2:5 (2012), 702–719.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах”, Матем. заметки, 93:5 (2013), 684–701; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems”, Mathematical Notes, 93:5 (2013), 676–690.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах”, Матем. заметки, 93:5 (2013), 684–701; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems”, Mathematical Notes, 93:5 (2013), 676–690.Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, Наука, М, 1975, 248 с.; English transl.: Mishchenko E. F., Rozov N. Kh., Differential equations with small parameters and relaxation oscillations, Plenum Press, 1980, 228 pp.Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, Наука, М, 1975, 248 с.; English transl.: Mishchenko E. F., Rozov N. Kh., Differential equations with small parameters and relaxation oscillations, Plenum Press, 1980, 228 pp.Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. C., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах, Физматлит, М., 1995; [Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., Periodicheskiye dvizheniya i bifurkatsionnyye protsessy v singulyarno vozmushchennykh sistemakh, Fizmatlit, M., 1995, (in Russian).]Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. C., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах, Физматлит, М., 1995; [Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., Periodicheskiye dvizheniya i bifurkatsionnyye protsessy v singulyarno vozmushchennykh sistemakh, Fizmatlit, M., 1995, (in Russian).]Кащенко С. А., Майоров В. В., Модели волновой памяти, Книжный дом «ЛИБРОКОМ», М., 2009, 288 с.; [Kashchenko S. A., Mayorov V. V., Modeli volnovoy pamyati, Knizhnyy dom ”LIBROKOM”, M., 2009, 288 pp., (in Russian).]Кащенко С. А., Майоров В. В., Модели волновой памяти, Книжный дом «ЛИБРОКОМ», М., 2009, 288 с.; [Kashchenko S. A., Mayorov V. V., Modeli volnovoy pamyati, Knizhnyy dom ”LIBROKOM”, M., 2009, 288 pp., (in Russian).]Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Периодические решения типа бегущих волн в кольцевых цепочках однонаправленно связанных уравнений”, Теоретическая и математическая физика, 175:1 (2013), 62–83; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Periodic traveling-wave-type solutions in circular chains of unidirectionally coupled equations”, Theoretical and Mathematical Physics, 175:1 (2013), 499–517.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Периодические решения типа бегущих волн в кольцевых цепочках однонаправленно связанных уравнений”, Теоретическая и математическая физика, 175:1 (2013), 62–83; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Periodic traveling-wave-type solutions in circular chains of unidirectionally coupled equations”, Theoretical and Mathematical Physics, 175:1 (2013), 499–517.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Автоволновые процессы в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Избранные вопросы математической физики и анализа. Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Василия Сергеевича Владимирова, Тр. МИАН, 285, МАИК, М., 2014, 89– 106; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Autowave processes in continual chains of unidirectionally coupled oscillators”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 285, 2014, 81–98.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Автоволновые процессы в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Избранные вопросы математической физики и анализа. Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Василия Сергеевича Владимирова, Тр. МИАН, 285, МАИК, М., 2014, 89– 106; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Autowave processes in continual chains of unidirectionally coupled oscillators”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 285, 2014, 81–98.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Явление буферности в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Теоретическая и математическая физика, 181:2 (2014), 254–275; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Buffering effect in continuous chains of unidirectionally coupled generators”, Theoretical and Mathematical Physics, 181:2 (2014), 1349–1366.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Явление буферности в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Теоретическая и математическая физика, 181:2 (2014), 254–275; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Buffering effect in continuous chains of unidirectionally coupled generators”, Theoretical and Mathematical Physics, 181:2 (2014), 1349–1366.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Явление буферности и хаос в кольцевых цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Доклады Академии наук, 457:3 (2014), 278–281; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Buffer Phenomenon and Chaos in Circular Chains of Unidirectionally Coupled Oscillators”, Doklady Mathematics, 90:1 (2014), 509–513.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Явление буферности и хаос в кольцевых цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Доклады Академии наук, 457:3 (2014), 278–281; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Buffer Phenomenon and Chaos in Circular Chains of Unidirectionally Coupled Oscillators”, Doklady Mathematics, 90:1 (2014), 509–513.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Явление буферности в кольцевых цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Изв. РАН., Сер. матем., 78, 2014, 73–108; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “The buffer phenomenon in ring-like chains of unidirectionally connected generators”, Izvestiya: Mathematics, 78, 2014, 708–743.Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Явление буферности в кольцевых цепочках однонаправленно связанных генераторов”, Изв. РАН., Сер. матем., 78, 2014, 73–108; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “The buffer phenomenon in ring-like chains of unidirectionally connected generators”, Izvestiya: Mathematics, 78, 2014, 708–743.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.