maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-3-439-447mais-261Research ArticleОригинальные статьиArticlesИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ОДНОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕINVESTIGATION OF OSCILLATORY SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS OF SECOND ORDER IN A CRITICAL CASEКубышкинЕ. П.KubyshkinE. P.

Кубышкин Евгений Павлович, доктор физико-математических наук, профессор, orcid.org/0000-0003-1796-0190

kubysh.e@yandex.ruМоряковаА. Р.MoryakovaA. R.

Морякова Алёна Романовна, аспирант, orcid.org/0000-0003-2529-6277

alyona_moryakova@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201520062015223439447Copyright © Кубышкин Е.П., Морякова А.Р., 20152015Кубышкин Е.П., Морякова А.Р.Kubyshkin E.P., Moryakova A.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/261

Рассматривается дифференциально-разностное уравнение второго порядка запаздывающего типа. Уравнения такого типа возникают при моделировании работы ряда электронных устройств. Изучается характер потери устойчивости нулевого решения. Показана возможность потери устойчивости, связанная с прохождением через мнимую ось двух пар чисто мнимых корней характеристического квазиполинома, находящихся в резонансе 1:3. Изучаются бифурцирующие при этом автоколебательные решения. Отмечено существование хаотического аттрактора, для которого вычислены ляпуновские показатели и ляпуновская размерность. В качестве метода исследования используется теория интегральных многообразий и метод нормальных форм нелинейных дифференциальных уравнений.

We consider a differential-difference equation of second order of delay type, containing the delay of the function and its derivatives. Such equations occur in the modeling of electronic devices. The nature of the loss of the zero solution stability is studied. The possibility of stability loss related to the passing of two pairs of purely imaginary roots, that are in resonance 1:3, through an imaginary axis is shown. In this case bifurcating oscillatory solutions are studied. It is noted the existence of a chaotic attractor for which Lyapunov exponents and Lyapunov dimension are calculated. As an investigation techniques we use the theory of integral manifolds and normal forms method for nonlinear differential equations.

D-разбиенияметод интегральных многообразийтеория бифуркацийхаотические колебания: D-splittingmethod of integral manifoldsbifurcation theorychaotic oscillationsReferencesНеймарк Ю. И., “D-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем”, ПММ, 13:4 (1949), 349–380; [Neymark Yu. I., “Drazbienie prostranstva kvazipolinomov (k ustoychivosti linearizovannykh raspredelennykh sistem”, PMM, 13:4 (1949), 349–380, (in Russian).]Неймарк Ю. И., “D-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем”, ПММ, 13:4 (1949), 349–380; [Neymark Yu. I., “Drazbienie prostranstva kvazipolinomov (k ustoychivosti linearizovannykh raspredelennykh sistem”, PMM, 13:4 (1949), 349–380, (in Russian).]Куликов А. Н., “О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, ред. Ю. С. Колесова, ЯрГУ, Ярославль, 1976, 114–129; [Kulikov A. N., “O gladkikh invariantnykh mnogoobraziyakh polugruppy nelineynykh operatorov v banakhovom prostranstve”, Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy, ed. Yu. S. Kolesova, YarGU, Yaroslavl’, 1976, 114–129, (in Russian).]Куликов А. Н., “О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, ред. Ю. С. Колесова, ЯрГУ, Ярославль, 1976, 114–129; [Kulikov A. N., “O gladkikh invariantnykh mnogoobraziyakh polugruppy nelineynykh operatorov v banakhovom prostranstve”, Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy, ed. Yu. S. Kolesova, YarGU, Yaroslavl’, 1976, 114–129, (in Russian).]Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее приложения, Мир, М., 1980, 368 с.; English transl.: Marsden J. E., McCracken M., The Hopf Bifurcation and Its Applications, Springer-Verlag, New York, 1976.Марсден Дж., Мак-Кракен М., Бифуркация рождения цикла и ее приложения, Мир, М., 1980, 368 с.; English transl.: Marsden J. E., McCracken M., The Hopf Bifurcation and Its Applications, Springer-Verlag, New York, 1976.Хейл Дж., Колебания в нелинейных системах, Наука, М., 1966; English transl.: Hale J. K., Oscillations in Nonlinear Systems, McGraw-Hill, N.Y., 1963.Хейл Дж., Колебания в нелинейных системах, Наука, М., 1966; English transl.: Hale J. K., Oscillations in Nonlinear Systems, McGraw-Hill, N.Y., 1963.Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора”, Дифференциальные уравнения, 41:2 (2005), 268–273; Glyzin D. S., Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor”, Differential Equations, 41:2 (2005), 284–289.Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора”, Дифференциальные уравнения, 41:2 (2005), 268–273; Glyzin D. S., Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor”, Differential Equations, 41:2 (2005), 284–289.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.