maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-4-483-499mais-267Research ArticleОригинальные статьиArticlesО конечных группах с большой степенью неприводимого характераOn Finite Groups with an Irreducible Character Large DegreeКазаринЛ. С.KazarinL. S.

д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой алгебры и мат. логики

ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 Россия

 doctor of science, professor

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

kazarin@uniyar.ac.ruПоисееваС. С.PoiseevaS. S.

аспирант

ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 Россия

 graduate student

Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia

pss.iii@mail.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияP.G. Demidov Yaroslavl State UniversityRussian Federation201520082015224483499Copyright © Казарин Л.С., Поисеева С.С., 20152015Казарин Л.С., Поисеева С.С.Kazarin L.S., Poiseeva S.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/267

Пусть G – конечная неединичная группа с неприводимым комплексным характером χ степени d. Согласно соотношениям ортогональности для неприводимых характеров, сумма квадратов степеней этих характеров равна порядку группы G. Н. Снайдером доказано, что если |G| = d(d + e), то порядок группы G ограничен функцией e при e > 1. Я. Берковичем доказано, что в случае e = 1 группа G является группой Фробениуса с дополнением порядка d. В данной работе изучается конечная неединичная группа G, обладающая неприводимым комплексным характером Θ, для которого |G| ≤ 2Θ(1)2. Доказано, что в случае, когда Θ(1) – произведение двух различных простых чисел p и q, группа G является разрешимой группой с абелевой нормальной подгруппой K индекса pq. С помощью классификации простых конечных групп доказано, что простая неабелева группа, порядок которой делится на простое число p и не превышает 2p4, изоморфна одной из следующих групп: L2(q), L3(q), U3(q), Sz(8), A7, M11, J1.

Let G be a finite nontrivial group with an irreducible complex character χ of degree d = χ(1). It is known from the orthogonality relation that the sum of the squares of degrees of irreducible characters of G is equal to the order of G. N. Snyder proved that if |G| = d(d + e), then the order of G is bounded in terms of e, provided e > 1. Y. Berkovich proved that in the case e = 1 the group G is Frobenius with the complement of order d. We study a finite nontrivial group G with an irreducible complex character Θ such that |G| ≤ 2Θ(1)2 and Θ(1) = pq, where p and q are different primes. In this case we prove that G is solvable groups with abelian normal subgroup K of index pq. We use the classification of finite simple groups and prove that the simple nonabelian group whose order is divisible by a prime p and of order less than 2p4 is isomorphic to L2(q), L3(q), U3(q), Sz(8), A7, M11 or J1.

конечная группахарактер конечной группыстепень неприводимого характера конечной группыfinite groupcharacter of a finite groupirreducible character degree of a finite groupReferencesIsaacs I. M., Character theory of finite groups, Academic press, New York, San Francisco, London, 1976, 305 pp.Isaacs I. M., Character theory of finite groups, Academic press, New York, San Francisco, London, 1976, 305 pp.Казарин Л. С., Сагиров И. А., “О степенях неприводимых характеров конечных простых групп”, Тр. ИММ УрО РАН, 7, 2001, 113–123; English transl.:Kazarin L. S., Sagirov I. A., “On the degrees of irreducible characters of finite simple groups”, Proc. of the Steklov Inst. Math. Suppl.(Supplementary issues), 2001, suppl. 2, № 2, S71–S81.Казарин Л. С., Сагиров И. А., “О степенях неприводимых характеров конечных простых групп”, Тр. ИММ УрО РАН, 7, 2001, 113–123; English transl.:Kazarin L. S., Sagirov I. A., “On the degrees of irreducible characters of finite simple groups”, Proc. of the Steklov Inst. Math. Suppl.(Supplementary issues), 2001, suppl. 2, № 2, S71–S81.Snyder N., “Groups with a character of large degree”, Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, 1893–1903.Snyder N., “Groups with a character of large degree”, Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, 1893–1903.Berkovich Y., “Groups with few characters of small degree”, J. Math., 110 (1999), 325–332.Berkovich Y., “Groups with few characters of small degree”, J. Math., 110 (1999), 325–332.Isaacs I. M., “Bounding the order of a group with a large degree character”, J. Algebra, 348:1 (2011), 264–275.Isaacs I. M., “Bounding the order of a group with a large degree character”, J. Algebra, 348:1 (2011), 264–275.Durfee C., Jensen S., “A bound on the order of a group having a large character degree”, J. Algebra, 338 (2011), 197–206.Durfee C., Jensen S., “A bound on the order of a group having a large character degree”, J. Algebra, 338 (2011), 197–206.Lewis M. L., “Bounding group order by large character degrees: A question of Snyder”, Journal of Group Theory, 17:6 (2014), 1081–1116.Lewis M. L., “Bounding group order by large character degrees: A question of Snyder”, Journal of Group Theory, 17:6 (2014), 1081–1116.Feit W., The representation theory of finite groups, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, New York, Oxford, 1982, 510 pp.Feit W., The representation theory of finite groups, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, New York, Oxford, 1982, 510 pp.Белоногов В.А., Представления и характеры в теории конечных групп, УрО АН СССР, Свердловск, 1990; [Belonogov V. A., Predstavlenija i haraktery v teorii konechnyh grupp, UrO AN SSSR, Sverdlovsk, 1990 (in Russian)].Белоногов В.А., Представления и характеры в теории конечных групп, УрО АН СССР, Свердловск, 1990; [Belonogov V. A., Predstavlenija i haraktery v teorii konechnyh grupp, UrO AN SSSR, Sverdlovsk, 1990 (in Russian)].Bierbrauer J., “The uniformly 3-homogeneus subsets in PGL(2, q)”, J.Algebraic Combinatorics, 4 (1995), 99–102.Bierbrauer J., “The uniformly 3-homogeneus subsets in PGL(2, q)”, J.Algebraic Combinatorics, 4 (1995), 99–102.Walter J., “The characterization of finite groups with abelian Sylow 2-subgroups”, Ann. Math., 8 (1969), 405–514.Walter J., “The characterization of finite groups with abelian Sylow 2-subgroups”, Ann. Math., 8 (1969), 405–514.Chabot P., “Groups whose Sylow 2-subgroups have cyclic commutator groups, II, III”, J.Algebra, 19, 21, 29 (1971, 1972, 1974), 21–30, 312–320, 455–458.Chabot P., “Groups whose Sylow 2-subgroups have cyclic commutator groups, II, III”, J.Algebra, 19, 21, 29 (1971, 1972, 1974), 21–30, 312–320, 455–458.Gorenstein D., Finite Simple Groups. An introduction to their classification, PlenumGorenstein D., Finite Simple Groups. An introduction to their classification, PlenumPublishing Corporation, New York, 1982, 333 pp.Publishing Corporation, New York, 1982, 333 pp.Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A., Atlas of finite groups: maximal subgroups and ordinary characters for simple groups, Clarendon Press, Oxford, 1985, 255 pp.Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A., Atlas of finite groups: maximal subgroups and ordinary characters for simple groups, Clarendon Press, Oxford, 1985, 255 pp.Казарин Л. С., Поисеева С. С., “Конечные группы с большим неприводимым характером”, Матем. заметки, 98:2 (2015), 237–246; English transl.:Kazarin L. S., Poiseeva S. S., “Finite groups with large irreducible character”, Mathematical Notes, 98:2 (2015), 265–272.Казарин Л. С., Поисеева С. С., “Конечные группы с большим неприводимым характером”, Матем. заметки, 98:2 (2015), 237–246; English transl.:Kazarin L. S., Poiseeva S. S., “Finite groups with large irreducible character”, Mathematical Notes, 98:2 (2015), 265–272.Gorenstein D., Finite Group, Chelsea publishing company, New York, 1968, 522 pp.Gorenstein D., Finite Group, Chelsea publishing company, New York, 1968, 522 pp.Шмидт О. Ю., “Группы, все подгруппы которых специальные”, Матем. сб., 31:3–4 (1924), 3666372; English transl.: Schmidt O. Y., “Groups all whose subgroups are nilpotent”, Mat. Sb., 31 (1924), 366—372.Шмидт О. Ю., “Группы, все подгруппы которых специальные”, Матем. сб., 31:3–4 (1924), 3666372; English transl.: Schmidt O. Y., “Groups all whose subgroups are nilpotent”, Mat. Sb., 31 (1924), 366—372.Amberg B., Kazarin L. S., “ABA-groups with cyclic subgroup B”, Труды института математики и механики УрО РАН, 18, 2012, 10–22.Amberg B., Kazarin L. S., “ABA-groups with cyclic subgroup B”, Труды института математики и механики УрО РАН, 18, 2012, 10–22.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.