аспирант каф. алгебры и математической логики
ул. Ермака, 39, г. Иваново, 153025 Россия
graduate student
Universitetskaya str., 7, Voronezh, 394016, Russia
В 1973 году Аленби и Грегорас доказали следующее утверждение. Пусть G – расщепляемоерасширение конечно порожденной группы A с помощью группы B. 1) Если в группах A и B все подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы, то и в группе G все подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы; 2) если в группе A все подгруппы финитно отделимы, а в группе B все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы, то в группе G все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы. Напомним, что группа G называется расщепляемым расширением группы A с помощью группы B, если группа A является нормальной подгруппой группы G, B – подгруппа группы G, G = AB и A ∩ B = 1. Напомним также, что подгруппа H группы G называется финитно отделимой, если для каждого элемента g группы G, не принадлежащего подгруппе H, существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную группу, при котором образ элемента g не принадлежит образу подгруппы H. В данной работе получено обобщение теоремы Аленби и Грегораса за счет замены условия конечной порожденности группы A более общим: для любого натурального числа n число всех подгрупп группы A индекса n конечно. В действительности при этом условии удалось получить необходимое и достаточное условие финитной отделимости всех подгрупп (всех циклических подгрупп, всех конечно порожденных подгрупп) в группе G
In 1973, Allenby and Gregoras proved the following statement. Let G be a split extension of a finitely generated group A by the group B. 1) If in groups A and B all subgroups (all cyclic subgroups) are finitely separable, then in group G all subgroups (all cyclic subgroups) are finitely separable; 2) if in group A all subgroups are finitely separable, and in group B all finitely generated subgroups are finitely separable, then in group G all finitely generated subgroups are finitely separable. Recall that a group G is said to be a split extension of a group A by a group B, if the group A is a normal subgroup of G, B is a subgroup of G, G = AB and A ∩ B = 1. Recall also that the subgroup H of a group G is called finitely separable if for every element g of G, which does not belong to the subgroup H, there exists a homomorphism of G on a finite group in which the image of an element g does not belong to the image of the subgroup H. In this paper we obtained a generalization of the Allenby and Gregoras theorem by replacing the condition of the finitely generated group A by a more general one: for any natural number n the number of all subgroups of the group A of index n is finite. In fact, under this condition we managed to obtain a necessary and sufficient condition for finite separability of all subgroups (of all cyclic subgroups, of all finitely generated subgroups) in the group G.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.