maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2012-3-32-62mais-27Research ArticleОригинальные статьиArticlesАсимптотика решений обобщённого уравнения ХатчинсонаAsymptotics of Solutions of the Generalized Hutchinson’s EquationКащенкоСергей АлександровичKaschenkoS. A.

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования

kasch@uniyar.ac.ruЯрославский государственный университет им. П.Г. ДемидоваРоссияЯрославского государственного университета им. П.Г. ДемидоваRussian Federation2012270220151933262Copyright © Кащенко С.А., 20152015Кащенко С.А.Kaschenko S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/27

Рассматривается вопрос о поведении решений уравнения Хатчинсона и его обобщений. Получены результаты об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости положительного состояния равновесия. Основные утверждения касаются вопросов существования, устойчивости и асимптотики медленно осциллирующего периодического решения. В качестве приложения разработанных новых асимптотических методов рассмотрена задача о динамических свойствах системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей известную реакцию Белоусова — Жаботинского.

We discuss the dynamics of the Hutchinson’s equation and its generalizations. An estimate of the global stability region of a positive steady state is obtained. The main results refer to existence, stability and asymptotics of a slow oscillating solution. New asymptotic methods are applied to a problem of dynamical properties of ODE system describing Belousov — Zhabotinsky reaction.

дифференциальное уравнение с запаздываниемуравнение Хатчинсонабольшой параметрасимптотикапериодическое решениеdelay differential equationHutchinson’s equationlarge parameterasymptoticperiodic solutionПравительство РФReferencesYang Kuang. Delay Differential Equations. With Applications in Population Dynamics. Academic Press, 1993.Yang Kuang. Delay Differential Equations. With Applications in Population Dynamics. Academic Press, 1993.Wright E. M. A non-linear differential equation // J. Reine Angew. Math. 1955. Vol. 194, № 1—4. P. 66—87.Wright E. M. A non-linear differential equation // J. Reine Angew. Math. 1955. Vol. 194, № 1—4. P. 66—87.Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y'(t) = (a − by(t − τ )) y(t). contributions to the theory of non-linear oscillations // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. Princeton. 1958. Vol. IV. P. 1—18.Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y'(t) = (a − by(t − τ )) y(t). contributions to the theory of non-linear oscillations // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. Princeton. 1958. Vol. IV. P. 1—18.Кащенко С. А. К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль: ЯрГУ, 1985. С. 9.Кащенко С. А. К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль: ЯрГУ, 1985. С. 9.Jones G .S. The existence of periodic solutions of f'(x) = −αf(x − 1)[1 + f(x)] // T. Math. Anal. and Appl. 1962. Vol. 5. P. 435—450.Jones G .S. The existence of periodic solutions of f'(x) = −αf(x − 1)[1 + f(x)] // T. Math. Anal. and Appl. 1962. Vol. 5. P. 435—450.Кащенко С. А. Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 22.Кащенко С. А. Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 22.Кащенко С. А. О периодических решениях уравнения x'(t) = −lx(t−1)[1 +x(t)] // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 110—117.Кащенко С. А. О периодических решениях уравнения x'(t) = −lx(t−1)[1 +x(t)] // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 110—117.Эдварс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1071 с.Эдварс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1071 с.Кащенко С. А. Стационарные режимы в задаче хищник-жертва // Препринт института математики АН УССР. 1984. № 84.54. С. 59.Кащенко С. А. Стационарные режимы в задаче хищник-жертва // Препринт института математики АН УССР. 1984. № 84.54. С. 59.Кащенко С. А. Исследование системы дифференциально-разностных уравнений, описывающих работу ядерного реактора // Вопросы атомной науки и техники. Серия физика и техника ядерных реакторов. 1987. № 2. С. 66—69.Кащенко С. А. Исследование системы дифференциально-разностных уравнений, описывающих работу ядерного реактора // Вопросы атомной науки и техники. Серия физика и техника ядерных реакторов. 1987. № 2. С. 66—69.Кащенко С. А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально разностных уравнений, моделирующих задачу хищник— жертва // ДАН СССР. 1982. Т. 266. С. 792—795.Кащенко С. А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально разностных уравнений, моделирующих задачу хищник— жертва // ДАН СССР. 1982. Т. 266. С. 792—795.Кащенко С. А. Стационарные режимы уравнения, описывающего численности насекомых // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 2. С. 328—330.Кащенко С. А. Стационарные режимы уравнения, описывающего численности насекомых // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 2. С. 328—330.Дмитриев А. С., Дмитриев А. С. Динамика генератора с запаздывающей обратной связью и низкодобротным фильтром второго порядка // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 12. С. 16.Дмитриев А. С., Дмитриев А. С. Динамика генератора с запаздывающей обратной связью и низкодобротным фильтром второго порядка // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 12. С. 16.Grigorieva E. V., Kashchenko S. A. Regular and chaotic pulsations in laser diode with delayed feedback // Int.J. Bifur. & Chaos. 1993. Vol. 3, № 3. P. 1515—1528.Grigorieva E. V., Kashchenko S. A. Regular and chaotic pulsations in laser diode with delayed feedback // Int.J. Bifur. & Chaos. 1993. Vol. 3, № 3. P. 1515—1528.Grigorieva E. V., Kashchenko S. A. Complex temporal structures in models of a laser with optoelectronic delayed feedback // Optics Communications. 1993. Vol. 02, № 1—2. P. 83—92.Grigorieva E. V., Kashchenko S. A. Complex temporal structures in models of a laser with optoelectronic delayed feedback // Optics Communications. 1993. Vol. 02, № 1—2. P. 83—92.Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: ЛИБРОКОМ, 2009.Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: ЛИБРОКОМ, 2009.Кузьмичев А. В. Асимптотика периодического решения системы дифференциально-разностных уравнений, моделирующей иммунный отклик организма // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль, 1985. С. 63—70.Кузьмичев А. В. Асимптотика периодического решения системы дифференциально-разностных уравнений, моделирующей иммунный отклик организма // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль, 1985. С. 63—70.Кащенко С. А. Сложные стационарные режимы одного дифференциально-разностного уравнения, обобщающего уравнение Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1983. С. 8.Кащенко С. А. Сложные стационарные режимы одного дифференциально-разностного уравнения, обобщающего уравнение Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1983. С. 8.Кащенко С .А. Об установившихся режимах уравнения Хатчинсона с диффузией // ДАН СССР. 1987. Т. 292, № 2. С. 327—330.Кащенко С .А. Об установившихся режимах уравнения Хатчинсона с диффузией // ДАН СССР. 1987. Т. 292, № 2. С. 327—330.Кащенко С. А. Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией // Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 9. С. 49—69.Кащенко С. А. Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией // Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 9. С. 49—69.Кащенко С. А. Оптимизация процесса охоты // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 10. С 1706—1709.Кащенко С. А. Оптимизация процесса охоты // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 10. С 1706—1709.Nussbaum R. D. Differential-delay equations with two time lage. Memoirs of the Amer. Math. Soc., 1977.Nussbaum R. D. Differential-delay equations with two time lage. Memoirs of the Amer. Math. Soc., 1977.Kaplan T. L., Yorke T. A. Ordinary Differential Equations which Yield Periodic Solutions of Differential Delay Equations. T. Math. Anal. and Appl., 1974, 48, С. 317—424.Kaplan T. L., Yorke T. A. Ordinary Differential Equations which Yield Periodic Solutions of Differential Delay Equations. T. Math. Anal. and Appl., 1974, 48, С. 317—424.Колесов Ю. С., Майоров В. В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти-периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 10, № 10. С. 1778—1788.Колесов Ю. С., Майоров В. В. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти-периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 10, № 10. С. 1778—1788.Колесов А. Ю., Колесов Ю. С., Майоров В. В. Реакция Белоусова: математическая модель и экспериментальные факты // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1987. С. 43—51.Колесов А. Ю., Колесов Ю. С., Майоров В. В. Реакция Белоусова: математическая модель и экспериментальные факты // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1987. С. 43—51.Кащенко С. А. Асимптотика релаксационных колебаний в математической модели реакции Белоусова // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1987.Кащенко С. А. Асимптотика релаксационных колебаний в математической модели реакции Белоусова // Динамика биологических популяций. Горький: ГГУ, 1987.Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975.Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.