maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-5-629-647mais-282Research ArticleОригинальные статьиArticlesИзоморфизм компактификаций модулей векторных расслоений: неприведенные схемы модулейIsomorphism of Compactifications of Vector Bundles Moduli: Nonreduced ModuliТимофееваН. В.TimofeevaN. V.

канд. физ.-мат. наук, доцент

PhD

nadezdavtimofeeva@gmail.comЯрославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 РоссияРоссияYaroslavl State University, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, RussiaRussian Federation201520102015225629647Copyright © Тимофеева Н.В., 20152015Тимофеева Н.В.Timofeeva N.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/282

В работе продолжено изучение компактификации схемы модулей полустабильных по Гизекеру векторных расслоений на неособой неприводимой проективной алгебраической поверхности S с поляризацией L, локально свободными пучками. Исследуется связь основных компонент функтора модулей допустимых полустабильных пар и основных компонент функтора модулей Гизекера –Маруямы (полустабильных когерентных пучков без кручения) с тем же полиномом Гильберта на поверхности S. Рассматриваемая компактификация получается, если семейства полустабильных по Гизекеру векторных расслоений E на поляризованной неособой проективной поверхности (S,L) пополняются векторными расслоениями E на проективных поляризованных схемах (S,L) специального вида. Вид схемы S, поляризации L и расслоения E описан в тексте работы. Набор ((S,L),E) назван полустабильной допустимой парой. Векторные расслоения E на поверхности (S,L) и E на схемах (S,L) предполагаются имеющими равные ранги и полиномы Гильберта, вычисляемые относительно поляризаций L и L соответственно. Пары вида ((S,L),E), называемые S-парами, также входят в рассматриваемый класс. Поскольку целью исследования является изучение компактификации пространства модулей векторных расслоений, рассматриваются только семейства, содержащие S-пары. Построено естественное преобразование функтора модулей допустимых полустабильных пар в функтор модулей Гизекера – Маруямы полустабильных когерентных пучков без кручения на поверхности (S,L), имеющих те же ранг и полином Гильберта. Показано, что это естественное преобразование является двусторонним обратным к естественному преобразованию, построенному в предшествующей работе и определяемому стандартным разрешением семейства когерентных пучков без кручения, имеющего возможно неприведенную базисную схему. Построенный изоморфизм функторов модулей определяет изоморфизм компактификаций пространства модулей полустабильных векторных расслоений на поверхности (S,L) как алгебраических схем.

We continue the study of the compactification of the moduli scheme for Gieseker-semistable vector bundles on a nonsingular irreducible projective algebraic surface S with polarization L, by locally free sheaves. The relation of main components of the moduli functor or admissible semistable pairs and main components of the Gieseker – Maruyama moduli functor (for semistable torsion-free coherent sheaves) with the same Hilbert polynomial on the surface S is investigated. The compactification of interest arises when families of Gieseker-semistable vector bundles E on the nonsingular polarized projective surface (S, L) are completed by vector bundles E on projective polarized schemes (S, L) of special form. The form of the scheme S, of its polarization L and of the vector bundle E is described in the text. The collection ((S, L), E) is called a semistable admissible pair. Vector bundles E on the surface (S, L) and E on schemes (S, L) are supposed to have equal ranks and Hilbert polynomials which are compute with respect to polarizations L and L, respectively. Pairs of the form ((S, L), E) named as S-pairs are also included into the class under the scope. Since the purpose is to study the compactification of moduli space for vector bundles, only families which contain S-pairs are considered. We build up the natural transformation of the moduli functor for admissible semistable pairs to the Gieseker – Maruyama moduli functor for semistable torsion-free coherent sheaves on the surface (S, L), with same rank and Hilbert polynomial. It is demonstrated that this natural transformation is inverse to the natural transformation built in the preceding paper and defined by the standard resolution of a family of torsion-free coherent sheaves with a possibly nonreduced base scheme. The functorial isomorphism constructed determines the scheme isomorphism of compactifications of moduli space for semistable vector bundles on the surface (S, L).

пространство модулейполустабильные когерентные пучкиполустабильные допустимые парыфунктор модулейвекторные расслоенияалгебраическая поверхность.moduli spacesemistable coherent sheavessemistable admissible pairsmoduli functorvector bundlesalgebraic surfaceReferencesТимофеева Н.В., “Компактификация в схеме Гильберта многообразия модулей стабильных 2-векторных расслоений на поверхности”, Матем. заметки, 82:5 (2007), 756Тимофеева Н.В., “Компактификация в схеме Гильберта многообразия модулей стабильных 2-векторных расслоений на поверхности”, Матем. заметки, 82:5 (2007), 756– 769; [Timofeeva N. V., “Compactification in Hilbert scheme of moduli scheme of stable 2-vector bundles on a surface”, Math. Notes, 82:5 (2007), 677–690].– 769; [Timofeeva N. V., “Compactification in Hilbert scheme of moduli scheme of stable 2-vector bundles on a surface”, Math. Notes, 82:5 (2007), 677–690].Тимофеева Н.В., “О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности”, Матем. сборник, 199:7 (2008), 103–122; [Timofeeva N. V., “On a new compactification of the moduli of vector bundles on a surface”, Sb. Math., 199:7 (2008), 1051–1070].Тимофеева Н.В., “О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности”, Матем. сборник, 199:7 (2008), 103–122; [Timofeeva N. V., “On a new compactification of the moduli of vector bundles on a surface”, Sb. Math., 199:7 (2008), 1051–1070].Тимофеева Н.В., “О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, II”, Матем. сборник, 200:3 (2009), 95–118; [Timofeeva N. V., “On a new compactification of the moduli of vector bundles on a surface. II”, Sb. Math., 200:3 (2009), 405–427].Тимофеева Н.В., “О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, II”, Матем. сборник, 200:3 (2009), 95–118; [Timofeeva N. V., “On a new compactification of the moduli of vector bundles on a surface. II”, Sb. Math., 200:3 (2009), 405–427].Тимофеева Н.В., “О вырождении поверхности в компактификации Фиттинга модулей стабильных векторных расслоений”, Матем. заметки, 90:1 (2011), 143– 150; [Timofeeva N. V., “On degeneration of surface in Fitting compactification of moduli of stable vector bundles”, Math. Notes, 90 (2011), 142–148].Тимофеева Н.В., “О вырождении поверхности в компактификации Фиттинга модулей стабильных векторных расслоений”, Матем. заметки, 90:1 (2011), 143– 150; [Timofeeva N. V., “On degeneration of surface in Fitting compactification of moduli of stable vector bundles”, Math. Notes, 90 (2011), 142–148].Тимофеева Н.В., “О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, III: Функториальный подход”, Матем. сборник, 202:3 (2011), 107–160; [Timofeeva N. V., “On a new compactification of the moduli of vector bundles on a surface. III: Functorial approach”, Sb. Math., 202:3 (2011), 413–465].Тимофеева Н.В., “О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, III: Функториальный подход”, Матем. сборник, 202:3 (2011), 107–160; [Timofeeva N. V., “On a new compactification of the moduli of vector bundles on a surface. III: Functorial approach”, Sb. Math., 202:3 (2011), 413–465].Тимофеева Н.В., “О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, IV: Неприведенная схема модулей”, Матем. сборник, 204:1 (2013), 139– 160; [Timofeeva N. V., “On a new compactification of the moduli of vector bundles on a surface. IV: Nonreduced moduli”, Sb. Math., 204:1 (2013), 133–153].Тимофеева Н.В., “О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, IV: Неприведенная схема модулей”, Матем. сборник, 204:1 (2013), 139– 160; [Timofeeva N. V., “On a new compactification of the moduli of vector bundles on a surface. IV: Nonreduced moduli”, Sb. Math., 204:1 (2013), 133–153].Тимофеева Н.В., “О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, V: Существование универсального семейства”, Матем. сборник, 204:3 (2013), 107–134; [Timofeeva N. V., “On a new compactification of the moduli of vector bundles on a surface. V: Existence of universal family”, Sb. Math., 204:3 (2013), 411–437].Тимофеева Н.В., “О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, V: Существование универсального семейства”, Матем. сборник, 204:3 (2013), 107–134; [Timofeeva N. V., “On a new compactification of the moduli of vector bundles on a surface. V: Existence of universal family”, Sb. Math., 204:3 (2013), 411–437].Тимофеева Н.В., “Об одном изоморфизме компактификаций схемы модулей векторных расслоений”, Модел. и анализ информ. систем, 19:1 (2012), 37–50; [Timofeeva N. V., “On some isomorphism of compactifications of moduli scheme of vector bundles”, ArXiv:1103.5327v2].Тимофеева Н.В., “Об одном изоморфизме компактификаций схемы модулей векторных расслоений”, Модел. и анализ информ. систем, 19:1 (2012), 37–50; [Timofeeva N. V., “On some isomorphism of compactifications of moduli scheme of vector bundles”, ArXiv:1103.5327v2].Timofeeva N. V., “On a morphism of compactifications of moduli scheme of vector bundles”, Siberian Electronic Mathematical Reports, 12 (2015), 577–591.Timofeeva N. V., “On a morphism of compactifications of moduli scheme of vector bundles”, Siberian Electronic Mathematical Reports, 12 (2015), 577–591.Gieseker D., “On the moduli of vector bundles on an algebraic surface”, Annals of Math., 106 (1977), 45–60.Gieseker D., “On the moduli of vector bundles on an algebraic surface”, Annals of Math., 106 (1977), 45–60.Huybrechts D., Lehn M., The geometry of moduli spaces of sheaves, Vieweg, 1997.Huybrechts D., Lehn M., The geometry of moduli spaces of sheaves, Vieweg, 1997.Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, Мир, M., 1968; [Mumford D., Lectures on curves on an algebraic surface, Princeton Univ. Press, Princeton – New Jersey, 1966, Annals of Mathematical Studies, 59]Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, Мир, M., 1968; [Mumford D., Lectures on curves on an algebraic surface, Princeton Univ. Press, Princeton – New Jersey, 1966, Annals of Mathematical Studies, 59]Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, Мир, М., 1972; [Atiyah M. F., Macdonald I. G., Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publ. Co., Massachusets, 1969].Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, Мир, М., 1972; [Atiyah M. F., Macdonald I. G., Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publ. Co., Massachusets, 1969].Matsumura H., Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press, 1986, transl. from Japanese by M. Reid.Matsumura H., Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press, 1986, transl. from Japanese by M. Reid.Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, Мир, M., 1981; [Hartshorne R., Algebraic geometry, Springer, 1977, Graduate Texts in Mathematics, 52].Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, Мир, M., 1981; [Hartshorne R., Algebraic geometry, Springer, 1977, Graduate Texts in Mathematics, 52].Newstead P. E., Lectures on introduction to moduli problems and orbit spaces, Springer- Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1978, Publ. for the Tata Institute for Fundamental Research, Bombay. Lectures on mathematics and Physics, vol. 51.Newstead P. E., Lectures on introduction to moduli problems and orbit spaces, Springer- Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1978, Publ. for the Tata Institute for Fundamental Research, Bombay. Lectures on mathematics and Physics, vol. 51.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.