maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2015-5-648-664mais-283Research ArticleОригинальные статьиArticlesЧисленное решение уравнения Пуассона в полярных координатах методом коллокаций и наименьших невязокNumerical Solution of the Poisson Equation in Polar Coordinates by the Method of Collocations and Least ResidualsВорожцовЕ. В.VorozhtsovE. V.

доктор физ.-мат. наук, профессор

Doctor of physical and mathematical sciences, professor

vorozh@itam.nsc.ruШапеевВ. П.ShapeevV. P.

доктор физ.-мат. наук, профессор

Doctor of physical and mathematical sciences, professor

vshapeev@ngs.ruИнститут теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, ул. Институтская, 4/1, г. Новосибирск, 630090 РоссияРоссияKhristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Institutskaya str., 4/1, Novosibirsk, 630090, RussiaRussian FederationИнститут теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, ул. Институтская, 4/1, г. Новосибирск, 630090 Россия Новосибирский национальный исследовательский университет, ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск, 630090 РоссияРоссияKhristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Institutskaya str., 4/1, Novosibirsk, 630090, Russia Novosibirsk National Research University, Pirogov str., 2, Novosibirsk, 630090, RussiaRussian Federation201520102015225648664Copyright © Ворожцов Е.В., Шапеев В.П., 20152015Ворожцов Е.В., Шапеев В.П.Vorozhtsov E.V., Shapeev V.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/283

Предложен вариант метода коллокаций и наименьших невязок для численного решения уравнения Пуассона в полярных координатах на неравномерных сетках. Путем введения общих криволинейных координат исходное уравнение Пуассона приводится к уравнению Бельтрами. В криволинейных координатах используется равномерная сетка. Неравномерность сетки в плоскости исходных полярных координат обеспечивается с помощью функций, управляющих растяжением сетки и входящих в формулы перехода от полярных координат к криволинейным. Метод верифицирован на двух тестовых задачах, имеющих точные аналитические решения. Результаты расчетов показывают, что если начало радиальной координатной оси не входит в расчетную область, то предлагаемый метод имеет второй порядок точности. Если расчетная область содержит эту сингулярность, то применение неравномерной сетки вдоль радиальной координаты позволяет повысить точность численного решения в 1.7–5 раз по сравнению со случаем равномерной сетки при том же количестве ее узлов.

A version of the method of collocations and least residuals is proposed for the numerical solution of the Poisson equation in polar coordinates on non-uniform grids. By introducing general curvilinearcoordinates the original Poisson equation is reduced to the Beltrami equation. A uniform grid is used in curvilinear coordinates. The grid non-uniformity in the plane of the original polar coordinates is ensured with the aid of functions which control the grid stretching and entering the formulas of the passage from polar coordinates to the curvilinear ones. The method was verified on two test problems having exact analytic solutions. The examples of numerical computations show that if the radial coordinate axis origin lies outside the computational region, the proposed method has the second order of accuracy. If the computational region contains the singularity, the application of a non-uniform grid along the radial coordinate enables an increase in the numerical solution accuracy by factors from 1.7 to 5 in comparison with the uniform grid case at the same number of grid nodes.

уравнение Пуассонаполярные координатыметод коллокаций и наименьших невязокPoisson equationpolar coordinatesthe method of collocations and least residualsReferencesPeskin C., “Numerical analysis of blood flow in the heart”, J. Comput. Phys., 25 (1977), 220–252.Peskin C., “Numerical analysis of blood flow in the heart”, J. Comput. Phys., 25 (1977), 220–252.Gibou F., Fedkiw R., Cheng L.-T., Kang M., “A second-order-accurate symmetric discretization of the poisson equation on irregular domains”, J. Comput. Phys., 176 (2002), 205–227.Gibou F., Fedkiw R., Cheng L.-T., Kang M., “A second-order-accurate symmetric discretization of the poisson equation on irregular domains”, J. Comput. Phys., 176 (2002), 205–227.Gibou F., Fedkiw R., “A fourth order accurate discretization for the laplace and heat equations on arbitrary domains, with applications to the stefan problem”, J. Comput. Phys., 202 (2005), 577–601.Gibou F., Fedkiw R., “A fourth order accurate discretization for the laplace and heat equations on arbitrary domains, with applications to the stefan problem”, J. Comput. Phys., 202 (2005), 577–601.Johansen H., Colella P., “A cartesian grid embedded boundary method for poisson’s equation on irregular domains”, J. Comput. Phys., 147 (1998), 60–85.Johansen H., Colella P., “A cartesian grid embedded boundary method for poisson’s equation on irregular domains”, J. Comput. Phys., 147 (1998), 60–85.Шапеев А.В., Шапеев В.П., “Разностные схемы повышенной точности для решения эллиптических уравнений в области с криволинейной границей”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 40:2 (2000), 223–232; English transl.: Shapeev A. V., Shapeev V. P., “Difference schemes of increased order of accuracy for solving elliptical equations in domain with curvilinear boundary”, Computat. Math. and Math. Phys., 40:2 (2000), 213–221.Шапеев А.В., Шапеев В.П., “Разностные схемы повышенной точности для решения эллиптических уравнений в области с криволинейной границей”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 40:2 (2000), 223–232; English transl.: Shapeev A. V., Shapeev V. P., “Difference schemes of increased order of accuracy for solving elliptical equations in domain with curvilinear boundary”, Computat. Math. and Math. Phys., 40:2 (2000), 213–221.Беляев В.В., Шапеев В.П., “Метод коллокаций и наименьших квадратов на адаптивных сетках в области с криволинейной границей”, Вычисл. технологии, 5:4 (2000), 12-–21; (Belyaev V. V., Shapeev V. P., “Metod kollokatsiy i naimenshih kvadratov na adaptivnyh setkah v oblasti s krivolineynoi granitsey”, Vychislitelnye tehnologii, 5:4 (2000), 12–21.)Беляев В.В., Шапеев В.П., “Метод коллокаций и наименьших квадратов на адаптивных сетках в области с криволинейной границей”, Вычисл. технологии, 5:4 (2000), 12-–21; (Belyaev V. V., Shapeev V. P., “Metod kollokatsiy i naimenshih kvadratov na adaptivnyh setkah v oblasti s krivolineynoi granitsey”, Vychislitelnye tehnologii, 5:4 (2000), 12–21.)Popinet S., “Gerris: a tree-based adaptive solver for the incompressible euler equations in complex geometries”, J. Comput. Phys., 190 (2003), 572–600.Popinet S., “Gerris: a tree-based adaptive solver for the incompressible euler equations in complex geometries”, J. Comput. Phys., 190 (2003), 572–600.Chen H., Min C., Gibou F., “A supra-convergent finite difference scheme for the Poisson and heat equations on irregular domains and non-graded adaptive Cartesian grids”, J. Sci. Computing, 31:1/2 (2007), 19–60.Chen H., Min C., Gibou F., “A supra-convergent finite difference scheme for the Poisson and heat equations on irregular domains and non-graded adaptive Cartesian grids”, J. Sci. Computing, 31:1/2 (2007), 19–60.Swartztrauber P. N., Sweet R. A., “The direct solution of the discrete Poisson equation on a disc”, SIAM J. Numer. Anal., 10 (1973), 900–907.Swartztrauber P. N., Sweet R. A., “The direct solution of the discrete Poisson equation on a disc”, SIAM J. Numer. Anal., 10 (1973), 900–907.Lai M.-C., Lin W.-W., Wang W., “A fast spectral/difference method without pole conditions for Poisson-type equations in cylindrical and spherical geometries”, IMA J. Numer. Anal., 22:4 (2002), 537–548.Lai M.-C., Lin W.-W., Wang W., “A fast spectral/difference method without pole conditions for Poisson-type equations in cylindrical and spherical geometries”, IMA J. Numer. Anal., 22:4 (2002), 537–548.Lai M.-C., “A simple compact fourth-order Poisson solver on polar geometry”, J. Comput. Phys., 182 (2002), 337–345.Lai M.-C., “A simple compact fourth-order Poisson solver on polar geometry”, J. Comput. Phys., 182 (2002), 337–345.Ворожцов Е.В., “Аналитическое и численное исследование течения газа в кожухе с вращающимся диском”, Вычислит. методы и программирование, 10:2 (2009), 162– 176; (Vorozhtsov E. V., “Analytic and Numerical Investigation of Gas Flow in a Casing with Rotating Disc”, Vychisl. Metody Programm., 10:2 (2009), 162–176, [in Russian].)Ворожцов Е.В., “Аналитическое и численное исследование течения газа в кожухе с вращающимся диском”, Вычислит. методы и программирование, 10:2 (2009), 162– 176; (Vorozhtsov E. V., “Analytic and Numerical Investigation of Gas Flow in a Casing with Rotating Disc”, Vychisl. Metody Programm., 10:2 (2009), 162–176, [in Russian].)Слепцов А.Г., “Коллокационно-сеточное решение эллиптических краевых задач”, Моделирование в механике, 5(22):2 (1991), 101–126; (Sleptsov A. G., “Kollokatsionno-setochnoe reshenie ellipticheskih kraevyh zadach”, Modelirovanie v mekhanike, 5(22):2Слепцов А.Г., “Коллокационно-сеточное решение эллиптических краевых задач”, Моделирование в механике, 5(22):2 (1991), 101–126; (Sleptsov A. G., “Kollokatsionno-setochnoe reshenie ellipticheskih kraevyh zadach”, Modelirovanie v mekhanike, 5(22):2(1991), 101–126, [in Russian].)(1991), 101–126, [in Russian].)Verzicco R., Orlandi P., “A finite-difference scheme for three-dimensional incompressible flows in cylindrical coordinates”, J. Comput. Phys., 123:2 (1996), 402–414.Verzicco R., Orlandi P., “A finite-difference scheme for three-dimensional incompressible flows in cylindrical coordinates”, J. Comput. Phys., 123:2 (1996), 402–414.Thompson J. F., Warsi Z. U. A., Mastin C. W., Numerical Grid Generation: Foundations and Applications, North-Holland, New York, 1985, 483 pp.Thompson J. F., Warsi Z. U. A., Mastin C. W., Numerical Grid Generation: Foundations and Applications, North-Holland, New York, 1985, 483 pp.Knupp P., Steinberg S., Fundamentals of Grid Generation, CRC Press, Boca Raton, 1994, 286 pp.Knupp P., Steinberg S., Fundamentals of Grid Generation, CRC Press, Boca Raton, 1994, 286 pp.Borges L., Daripa P., “A fast parallel algorithm for the Poisson equation on a disk”, J. Comput. Phys., 169 (2001), 151–192.Borges L., Daripa P., “A fast parallel algorithm for the Poisson equation on a disk”, J. Comput. Phys., 169 (2001), 151–192.Ray R. K., Kalita J. C., “A transformation-free HOC scheme for incompressible viscous flows on nonuniform polar grids”, Int. J. Numer. Methods in Fluids, 62 (2010), 683–708.Ray R. K., Kalita J. C., “A transformation-free HOC scheme for incompressible viscous flows on nonuniform polar grids”, Int. J. Numer. Methods in Fluids, 62 (2010), 683–708.Семин Л.Г., Слепцов А.Г., Шапеев В.П., “Метод коллокаций–наименьших квадратов для уравнений Стокса”, Вычисл. технологии, 1:2 (1996), 90–98; (Semin L. G., Sleptsov A. G., Shapeev V. P., “Metod kollokatsiy–naimenshih kvadratov dlia uravneniy Stoksa”, Vychislitelnye tehnologii, 1:2 (1996), 90–98, [in Russian].)Семин Л.Г., Слепцов А.Г., Шапеев В.П., “Метод коллокаций–наименьших квадратов для уравнений Стокса”, Вычисл. технологии, 1:2 (1996), 90–98; (Semin L. G., Sleptsov A. G., Shapeev V. P., “Metod kollokatsiy–naimenshih kvadratov dlia uravneniy Stoksa”, Vychislitelnye tehnologii, 1:2 (1996), 90–98, [in Russian].)Исаев В.И., Шапеев В.П., “Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье–Стокса”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:10 (2010), 1758–1770; (English transl.: Isaev V. I., Shapeev V. P., “High-accuracy versions of the collocations and least squares method for the numerical solution of the Navier–Stokes equations”, Computat. Math. and Math. Phys., 50:10 (2010), 1670–1681.)Исаев В.И., Шапеев В.П., “Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье–Стокса”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:10 (2010), 1758–1770; (English transl.: Isaev V. I., Shapeev V. P., “High-accuracy versions of the collocations and least squares method for the numerical solution of the Navier–Stokes equations”, Computat. Math. and Math. Phys., 50:10 (2010), 1670–1681.)Исаев В.И., Шапеев В.П., “Метод коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для решения уравнений Навье–Стокса”, Докл. Академии наук, 442:4 (2012), 442–445; (English transl.: Isaev V. I., Shapeev V. P., “High-order accurate collocations and least squares method for solving the Navier - Stokes equations”, Dokl. Math., 85 (2012), 71–74.)Исаев В.И., Шапеев В.П., “Метод коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для решения уравнений Навье–Стокса”, Докл. Академии наук, 442:4 (2012), 442–445; (English transl.: Isaev V. I., Shapeev V. P., “High-order accurate collocations and least squares method for solving the Navier - Stokes equations”, Dokl. Math., 85 (2012), 71–74.)Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., “CAS application to the construction of the collocations and least residuals method for the solution of 3D Navier–Stokes equations”, LNCS, 8136, eds. Gerdt V. P., Koepf W., Mayr E. W., Vorozhtsov E. V., Springer, Heidelberg, 2013, 381–392.Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., “CAS application to the construction of the collocations and least residuals method for the solution of 3D Navier–Stokes equations”, LNCS, 8136, eds. Gerdt V. P., Koepf W., Mayr E. W., Vorozhtsov E. V., Springer, Heidelberg, 2013, 381–392.Шапеев В.П., Ворожцов Е.В., Исаев В.И., Идимешев С.В., “Метод коллокаций и наименьших невязок для трехмерных уравнений Навье–Стокса”, Вычислительные методы и программирование, 14:3 (2013), 306–322; (Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., Isaev V. I., Idimeshev S. V., “The Method of Collocations and Least Residuals for Three- dimensional Navier–Stokes Equations”, Vychisl. Metody Programm., 14:3 (2013), 306–322, [in Russian].)Шапеев В.П., Ворожцов Е.В., Исаев В.И., Идимешев С.В., “Метод коллокаций и наименьших невязок для трехмерных уравнений Навье–Стокса”, Вычислительные методы и программирование, 14:3 (2013), 306–322; (Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., Isaev V. I., Idimeshev S. V., “The Method of Collocations and Least Residuals for Three- dimensional Navier–Stokes Equations”, Vychisl. Metody Programm., 14:3 (2013), 306–322, [in Russian].)Шапеев В.П., Ворожцов Е.В., “Применение систем компьютерной алгебры для построения метода коллокаций и наименьших невязок решения трехмерных уравнений Навье-Стокса”, Моделирование и анализ информационных систем, 21:5 (2014), 131–147; (Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., “Application of Computer Algebra Systems to the Construction of the Collocations and Least Residuals Method for Solving the 3D Navier–Stokes Equations”, Modeling and Analysis of Information Systems, 21:5 (2014), 131–147, [in Russian].)Шапеев В.П., Ворожцов Е.В., “Применение систем компьютерной алгебры для построения метода коллокаций и наименьших невязок решения трехмерных уравнений Навье-Стокса”, Моделирование и анализ информационных систем, 21:5 (2014), 131–147; (Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., “Application of Computer Algebra Systems to the Construction of the Collocations and Least Residuals Method for Solving the 3D Navier–Stokes Equations”, Modeling and Analysis of Information Systems, 21:5 (2014), 131–147, [in Russian].)Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., “CAS application to the construction of the collocations and least residuals method for the solution of the Burgers and Korteweg–de Vries–Burgers equations”, LNCS, 8660, eds. Gerdt V. P., Koepf W., Mayr E. W., Vorozhtsov E. V., Springer, Heidelberg, 2014, 432–446.Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., “CAS application to the construction of the collocations and least residuals method for the solution of the Burgers and Korteweg–de Vries–Burgers equations”, LNCS, 8660, eds. Gerdt V. P., Koepf W., Mayr E. W., Vorozhtsov E. V., Springer, Heidelberg, 2014, 432–446.Исаев В.И., Шапеев В.П., Еремин С.А., “Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье–Стокса”, Вычислительные технологии, 12:3 (2007), 53–70; (Isaev V. I., Shapeev V. P., Eremin S. A., “Issledovanie svoistv metoda kollokatsii i naimenshih kvadratov resheniya kraevyh zadach dlia uravneniya Puassona i uravneniy Navie–Stoksa”, Vychislitelnye tehnologii, 12:3 (2007), 53–70, [in Russian].)Исаев В.И., Шапеев В.П., Еремин С.А., “Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье–Стокса”, Вычислительные технологии, 12:3 (2007), 53–70; (Isaev V. I., Shapeev V. P., Eremin S. A., “Issledovanie svoistv metoda kollokatsii i naimenshih kvadratov resheniya kraevyh zadach dlia uravneniya Puassona i uravneniy Navie–Stoksa”, Vychislitelnye tehnologii, 12:3 (2007), 53–70, [in Russian].)Ferziger J. H., Pericґ M., Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd Edition, Springer-Verlag, Berlin, 2002, 423 pp.Ferziger J. H., Pericґ M., Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd Edition, Springer-Verlag, Berlin, 2002, 423 pp.Schwarz H. A., “UЁber einen GrenzuЁbergang durch alternierendes Verfahren”, Vierteljahrs-schrift der naturforschenden Gesellschaft in ZuЁrich, 15 (1870), 272–286.Schwarz H. A., “UЁber einen GrenzuЁbergang durch alternierendes Verfahren”, Vierteljahrs-schrift der naturforschenden Gesellschaft in ZuЁrich, 15 (1870), 272–286.Golub G. H., Van Loan C. F., Matrix Computations, 3rd Edition, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996, 694 pp.Golub G. H., Van Loan C. F., Matrix Computations, 3rd Edition, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996, 694 pp.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.